资源简介

《从函数观点看一元二次方程》教学设计
教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第一册§2.2节》
一、内容分析
学生在义务教育阶段已经学习了一元二次方程和二次函数，但没有从函数观点系统认知函数与方程的联系.本节定位于初高中衔接，通过探究三个具体的一元二次方程的实根和对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标的关系，归纳得到二次函数的零点与一元二次方程根的关系.这既体现了函数与方程的内在联系，也将为后续学习解一元二次不等式、用二分法求方程的近似解等知识打下坚实的基础.
二、教学目的
理解二次函数零点的概念，掌握一元二次方程的实根与其所对应的二次函数零点之间的关系；经历探索“一元二次方程与其所对应的二次函数之间的关系”的过程，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养从具体到抽象、从特殊到一般的归纳概括能力.
三、重点难点
重点：掌握一元二次方程的实根与其所对应的二次函数零点之间的关系.
难点：从函数的观点来看方程，理解函数与方程之间的联系，利用数形结合讨论方程的根，函数的零点.
四、核心素养
○直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
希沃白板5课件.
六、教学流程
问题导入 ->微课学习->新知探索->->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 问题导入 思考：一元二次方程与二次函数是我们学习过的两个重要内容，对于方程，我们关心的是它的根，而对于函数则关注它的图象，那么一元二次方程的实根与二次函数的图象之间存在怎样的联系？ 引导学生思考，先研究具体问题，再扩展到一般性证明. 课前提出本节课主要研究的问题，激发学生思考. 2分钟
㈡ 微课学习 微课：《【趣味微课】2.2从函数观点看一元二次方程》通过实例，探究具体的一元二次方程的实根与对应的二次函数图象与x轴交点横坐标之间的关系，进而归纳出一般的一元二次方程的实根与对应的二次函数的零点的关系. 请学生带着上述思考题看微课. 利用微课帮助学生理解新知识. 10分钟
㈢ 新知探索 通过具体的实例探究：问题1：方程有实根吗？若有，是多少？函数图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标.问题2：观察方程的实根与函数图象与x轴交点横坐标，你发现它们有什么关系？问题3：试根据你的理解去解释上述关系.问题4：只计算的实根的情况，你能否直接说出其对应的函数零点的情况？通过上述三个例子让学生在具体计算过程中进一步认识并理解一元二次方程的实根与对应的二次函数零点之间的关系.为下面一般性探究做准备.问题5：一般的一元二次方程的实根与其对应的二次函数的零点有什么关系？问题6：归纳完成如下表格（以a>0为例）：判别式二次函数的图象一元二次方程的根 结合微课，适时暂停，请学生计算并回答问题.由具体实例进而得到二次函数零点的概念，引导学生辨析零点不是点，而是实数.教师引导学生分析，求二次函数的零点，即令y=0，得到，再解即可.因此求函数的零点与求方程的根所要解的是同一个方程. 通过计算，引导学生从个数和大小关系两方面去分析问题2，并引导学生追因溯源回答问题3，进而提出二次函数零点的概念，并知道一元二次方程的实根就是其对应的二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.学生通过对具体问题的探究得到一般结论，经历了由特殊到一般的研究过程. 10分钟
㈣ 典例剖析 例1.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 例2.已知二次函数的图象与y 轴交于点，与x轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式. 例1引导学生思考方程的根与函数图象的关系，体会利用数形结合思想解决问题.例2继续强调函数观点解决问题，让学生讲思路，注意此例用到了韦达定理这个重要结论. 例1和例2都运用了数形结合的思想，通过函数观点解决方程问题.加深学生对方程与函数之间关系的理解，并在两者之间灵活转化.例2还用到了韦达定理. 8分钟
㈤ 练习巩固 练习1.已知二次函数（m为常数），求证：不论m为何值，该二次函数均没有零点.练习2.已知二次函数有最小值3，且函数的零点为和2，求该二次函数的表达式. 依次给出练习1、练习2，学生在学案、或书本、或练习本上写出各题答案. 利用希沃授课助手，依次展示两位学生练习，并请其余学生纠错点评后小结. 练习1，2，及时巩固所学知识，将二次函数的零点问题转化为其对应的一元二次方程的实数根的问题. 8分钟
㈥归纳小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
（二次函数的零点的概念）（一元二次方程的实数根与其对应的二次函数的零点的等价关系） 希沃课件投影区域 （列表格归纳）（讲课草稿演算区）
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