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《简单的分段函数》教学设计
教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第一册§3.1.3节》
一、内容分析
学生在湘教版高中教材《数学.必修.第一册》第三章第1、2节中，已学习了函数的三要素及基本表示法，能够根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，初步树立了数形结合的思想．在此基础上，我们通过具体实例抽象出分段函数的解析式，研究分段函数的性质及相关图象，是对函数“对应关系”的进一步理解，并为后续学习数学建模及解决复杂的函数问题打好基础．课程标准对本节课内容提出具体要求，即通过具体事例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
二、教学目的
通过具体实例了解简单的分段函数，掌握分段函数的作图技巧，提高应用函数解决实际问题的能力，渗透分类讨论、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法．
三、重点难点
重点：了解分段函数的定义及性质；并会画出分段函数的图象．
难点：画出分段函数的图像，由实际问题抽象出数学解析式并提升数学建模素养．
四、核心素养
●直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模．
五、教学准备
希沃白板5课件.
六、教学流程
问题导入 ->新知探索 ->微课学习 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 问题导入 问题：某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100，按0.57元/计费；每月用电量超过100，其中100仍按原标准收费，超过部分按1.5元/计费．(1)设月用电x，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式；(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：月份123合计计费金额/元1147545.6234.6问：小赵家第一季度共用电多少？ 1.教师带领学生认真读题，引导学生理解如何从实际问题抽象出数学模型，启发学生思考．2.学生通过小组讨论的形式，共同写出电费与用电量之间的函数关系式.教师引导学生写出电量超过100的解析式．3.由小组合作，回答第二问的解题思路． 从实际情况出发，设计与学生日常生活的息息相关的场景实例，符合学生的年龄特点和认知规律，能够引起学生的兴趣，同时引入分段函数的概念，提升学生的数学建模素养． 6分钟
㈡ 新知探索 定义：一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫做分段函数．思考：分段函数是一个还是多个函数？分段函数的定义域和值域又是什么？分段函数可以表示成一个式子吗？ 教师板书分段函数的定义，并提出相关问题． 由分段函数的定义引出新问题，深化同学们对分段函数概念的理解． 2分钟
㈢ 微课学习 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；它说明在一个函数中，自变量与函数值的对应关系并不是单一的、一成不变的．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 回到思考，请学生带着问题看微课，教师适时暂停回答问题. 剪辑微课授课，轻松、生动、精细. 5分钟
㈣ 典例剖析 例1．画出函数的图象，并求,,,的值．变式练习：1.画出函数的图象．2.画出函数的图象．思考：你能用分段函数的形式写出上述3个函数吗？例2．画出函数的图象．变式练习：1.在例2中，求的值．2.在例2中，若，求x的值． 1.先给出例1，教师板演．再依次给出变式1、变式2，学生自己作答，继续思考，同时教师给出画法2：先画函数的图象，将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方，与函数的图象位于x轴上方的部分合起来得函数的图象．2. 给出例2，教师引导学生思考：如何将原函数转化成不含绝对值符号的函数？并启发学生去掉绝对值后如何根据函数每一段的结构特征画出函数图像．最后教师呈现完整解答，进行解题小结：解决分段函数有关的问题通常要分段讨论，但最后要有一个统一的结论．再依次给出变式1和2，学生作答后教师讲评． 例1说明解决分段函数有关的问题通常要“分段处理”，另外分段函数的表示形式也可以是一个式子，强化学生对函数“对应关系”的进一步理解.例2是对多个绝对值符号的函数进行分类讨论，体现出课标中对数学运算的内容要求，再通过“四点法”画图，不仅渗透分类讨论的数学思想方法，还可以提升学生的数学抽象素养.变式2是对“对应关系”的逆向运用，具有一定思维难度. 15分钟
㈤ 练习巩固 练习1．作出下列函数的图像，并写出函数的值域：； ．练习2．已知函数：求的值；对函数，若存在点，使得，求实数的值．练习3．一个质点沿直线运动.质点由静止匀加速T s后速度达到8m/s；然后质点以恒定速度8m/s运动了5T s；之后质点在40s内匀减速到完全停下．(1)画出质点运动的速度时间图象；(2)已知质点总共运动的位移是600m，求T的值；(3)画出质点运动的加速度时间图象． 同时给出练习1、练习2，练习3，每个学生各从中选择1个当堂练习． 利用希沃授课助手，展示学生练习，点评后小结解法：分类讨论，数形结合. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正． 10分钟
㈥ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容． 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
（分段函数定义）（分段函数的注意点） 希沃课件投影区域 （讲课草稿演算区）

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