资源简介

《指数爆炸和指数衰减》教学设计
教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第一册§4.2.1节》
一、内容分析
本节课是学生在已经掌握了函数的一般性质、研究函数性质的基本工具和简单的有理数指数运算的基础上，探究新的一类基本函数——指数函数．借助幂函数的学习方法，继续探究指数函数性质，一方面可以深化对函数概念的理解与认识，系统地应用函数知识和研究函数的方法，另一方面也与之前掌握的幂函数图像和性质作对比以及为今后研究对数函数打下坚实的基础，起到承上启下的作用．此外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义．
本节课为指数函数的第一课时，旨在让学生通过实际例子建立指数函数的模型，感受指数函数的增长和衰减速度，重点区分与幂函数的异同．课程标准对本节课内容提出具体要求，通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
二、教学目的
理解指数函数的概念；掌握指数函数的两种增长方式；借助指数爆炸和指数衰减解决实际问题；通过分析实例自主建构指数函数；逐步提高实际应用和研究函数方法的能力；在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值．
三、重点难点
重点：指数函数的概念，理解指数爆炸和指数衰减和增长率的概念．
难点：构建指数函数模型，借助指数爆炸和指数衰减解决实际问题．
四、核心素养
○直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
希沃白板5课件．
六、教学流程
创设情境 ->新知探索 ->微课学习 ->讨论升华 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 创设情境 引例1：在铀核裂变释放出巨大能量的同时，还放出两个中子． 若一个中子打碎一个铀核，产生能量，释放两个中子；这两个中子又打中另外两个铀核……以此类推，这样的链式反应，又称连锁反应． 则在第x次，中子的个数为y，如何描述这两个变量的关系？引例2：自然界中存在少量的14C，植物枯死后，遗体内的14C的含量经过1年后含量会衰减为原来的99．98%，因此可以根据遗体内的14C含量来算出植物死亡的时间．如果经过x年，该物质剩余的质量为y，如何描述这两个变量的关系？ 问题1：类似的函数，你能再举出一些例子吗？这些函数有什么共同特点？能否写成一般形式？和幂函数有什么异同点？问题2：形如的函数，底数需要满足什么条件吗？思考：能取负数吗？当取0时会怎样？当取1时函数又变成什么？ 1．开始语：在生活中很多现象都伴随着函数关系引导学生分析，找到两个变量之间的函数关系，并得到解析式y=2x和y=0．9998x．2．共同特点（1）都是以指数幂的指数为自变量；（2）指数幂的底数为常数；（3）指数幂的前的系数均为1．3．底数需要满足条件为：且 通过列举生活中指数函数的具体例子，感受指数函数的与实际生活的联系．引导学生从具体实例中概括典型特征，初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示．初步得到y=ax这个形式后，引导学生关注底数的取值范围，完成概念建构．指数范围扩充到实数后，关注x∈R时，y=ax是否始终有意义，因此规定a＞0且a≠1． 6分钟
㈡ 新知探索 一般地，函数叫做指数函数，其中为自变量，为常数．（且） 例1：判断下列函数是否为指数函数？ （2）（3） （4）（5）（6） 师生共同归纳函数的定义，并区分其与幂函数的异同．给出例1，由学生思考并回答． 归纳生成指数函数的定义，通过例题1来加深学生对指数函数定义的理解，尤其是对其中底数范围的理解． 4分钟
㈢ 微课学习 微课：《【趣味微课】4.2.1指数函数》梳理指数函数定义的生成过程，并整理指数函数定义结构中需要关注的点． 请学生带着任务看微课． 剪辑微课授课，轻松、生动、精细． 6分钟
㈣ 讨论升华 对于引例1和引例2中的两个函数y=2x和y=0.9998x底数有什么不同？对函数的影响是什么？对于指数函数在一个长为T的时间周期中，它的增长率为为一个常量．根据增长率的定义易知当底数时，，指数函数值随自变量的增长而增大，特别地，当底数较大时，指数函数值增长速度非常快，称为指数爆炸．当底数时，，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，称为指数衰减． 提出问题，结合实例以及增长率的概念引出指数函数的两种增长形式，即指数爆炸和指数衰减．教师应在指数爆炸和指数衰减中结合幂函数的单调性之处两者单调性的异同．教师可适时增加其他实例，例如棋盘上麦粒或细胞分裂等． 通过实例的分析让学生更容易辨析指数函数的单调性和幂函数单调性的区别．尤其时对指数爆炸的理解． 4分钟
㈤典例剖析 例2．2012年某地区人均GDP为38852元，2013年为43992；假定增速不变，取自变量为2012年后的年数，将该地区人均GDP用函数来近似地表示，写出此函数的解析式，依次估计2020年该地区人均GDP数量和相对于2012年的增长倍数，并说明底数的意义．例3．医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568，穿过厚度为cm的铅板后的强度于原来的强度之比为．若铅板厚度为12 cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 给出两道例题，学生思考，引导学生结合指数函数定义，重点突出对指数函数底数和指数实际意义的理解，教师板演． 例2主要考查学生对指数爆炸的理解和应用例3主要考查学生对指数衰减的理解和应用 12分钟
㈥ 练习巩固 练习1．某城市现有人口为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试问多少年后该城市人口将达到120万人（1.01215.28≈1.2）练习2．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效，而低于500mg，病人就有危险．现给某病人静脉注射2500mg这种药，如果这种药以每小时20%的比例衰减，那么应该在什么时间范围再向病人补充这种药？（参考数据：0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.25） 给出两道练习，分别对应指数爆炸和指数衰减知识点，巩固学生对知识点的理解；利用希沃授课助手，展示学生练习，点评后小结解法：构造函数，取特值计算． 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正． 6分钟
㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结． 系统梳理整节课所学内容． 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
（指数函数的定义）（指数爆炸和指数衰减）（例1的简解） 希沃课件投影区域 （练习1和练习2）（讲课草稿演算区）
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