资源简介

《方程的根与函数的零点》教学设计
教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第一册§4.4.1节》
一、内容分析
学生在湘教版高中教材《数学.必修.第一册》第二章第2节中，已学习了从函数观点看一元二次方程这一内容，知道了函数零点的概念，并理解了一元二次方程的根与二次函数零点的等价关系. 在本节课之前，学生还学习了一些基本初等函数，包括幂函数、指数函数、对数函数等，掌握了这些基本初等函数的图象与性质. 在此基础上，我们深入研究方程的根与函数零点的关系，进一步学习函数零点存在定理，为研究复杂方程的解提供基础理论与方法支撑. 课程标准对本节课内容提出具体要求，即结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.
二、教学目的
掌握零点存在定理，并会运用该定理解决问题；理解函数与方程的关系，会利用图象或函数解决方程根的相关问题，渗透函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法.
三、重点难点
重点：掌握零点存在定理，并会运用该定理解决问题.
难点：体会函数零点与方程的根之间的关联性，形成用函数观点处理问题的意识.
四、核心素养
●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
希沃白板5课件；
联网演示电脑（能在线打开GGB课件：https:///classic/fpbs4den）.
六、教学流程
旧知回顾 ->问题导入 ->新知探索 ->微课学习 ->讨论升华 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 旧知回顾 复习1：一元二次方程的根与二次函数的图象之间存在怎样的联系？复习2：教材P48习题2.2第7题的求解思路是怎样的？ [7].若一元二次方程的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内，求实数a的取值范围？ 1. 开始语：前面我们学习过从函数的观点看一元二次方程，先看复习1，请一个同学回答. （教师板书等价关系）2. 继续看复习2，教师引导学生思考，先构造函数，由图象列出不等式组. 1.回顾一元二次方程与二次函数的关系.2.回顾一元二次方程根的分布问题之构造函数列出不等式的解法. 4分钟
㈡ 问题导入 问题1：一元二次方程的根，就是二次函数的零点，也就是函数图象与x轴交点的横坐标. 能由此推广到一般情形吗？ 问题2：根据教材P48习题2.2第7题的求解思路，函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分条件是什么？ 1. 给出问题1，学生思考.2. 给出问题2，学生思考. 由复习引出新的问题，为新知学习铺垫. 2分钟
㈢ 新知探索 一般的，方程的根，就是函数的零点，也就是函数图象与x轴交点的横坐标. 回到问题1，请学生回答，教师板书等价关系. 旧知类比新知. 2分钟
㈣ 微课学习 函数零点存在定理：如果函数的图象连续，且有，则存在，使得. 回到问题2，请学生带着问题看微课. 剪辑微课授课，轻松、生动、精细. 6分钟
㈤ 讨论升华 讨论1：如果函数的图象连续，且有，则函数在区间(a,b)内，存在多少个零点？何时唯一零点？讨论2：如果函数图象连续，且在区间(a,b)内存在零点，成立吗？ 利用微课学习零点存在定理后，强化理解一下定理. 依次给出讨论1、讨论2，先学生回答，再教师画图分析. 深度理解函数零点存在定理. 4分钟
㈥ 典例剖析 例1．讨论函数在区间(1,2)内零点个数． （要求：运用零点存在定理）变式练习（口答）：1. 分析在区间(2,3)内零点个数．2. 分析在区间(1,2)内零点个数．思考：如何研究方程的解的个数.例2．讨论方程 解的个数与分布情况．例3．讨论三次方程的根的个数与分布情况．尝试1：尝试画出图象，并与GGB作图对比.尝试2：借助GGB编制一例三次方程研究根的分布. 1.先给出例1，学生口述解答，教师板演. 再依次给出变式1、变式2，学生口答. 继续思考，引出例2.2. 给出例2，引导学生思考：问题可以如何转化？继续带着问题看微课，要求学生：高度集中精神；积极思考问题；齐声回答答案. 看微课后，呈现完整解答，进行解题小结：方程的解，即零点，或与交点横坐标.3. 给出例3，引导思考：三次方程最多多少个根？如何定区间计算函数值？再解题并小结：方程f(x)=0根的分布，研究函数y=f(x)零点，区间一般用特殊值计算. 最后用GGB尝试. 例1代表研究连续且单调的函数零点问题.例2代表运用函数观点研究方程的解，可以作差法构造一个函数，也可以分拆两个函数，用图象解决.例3代表试值法研究连续但单调性不确定的函数的零点.GGB的尝试，数学更为直观，问题更为开放. 15分钟
㈦ 练习巩固 练习1.讨论下列函数的零点个数：(1) ； (2) ；(3) ；(4) .练习2.讨论下列方程根的个数与分布情况：(1) ； (2) ；(3) . 同时给出练习1、练习2，每个学生各从中选择1个当堂练习. 利用希沃授课助手，展示学生练习，点评后小结解法：构造函数，取特值计算. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 5分钟
㈧ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
（二次等价关系）（方程根与函数零点等价关系）（复习2简解） 希沃课件投影区域 （函数零点存在定理）（讨论1、2图示）（讲课草稿演算区）
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