资源简介

分式方程
学习目标：
掌握分式方程的概念
会解可化为一元一次方程的分式方程
理解增根产生的原因
发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识
学习重点：
解分式方程
学习难点：
解分式方程
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
注意：
分式方程的重要特征：①是等式。②方程里含有分母。③分母中含有未知数。
在判断一个方程是否为分式方程时，不能先约分再判断
分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程-9=x，这里的字母c不是未知数，所以不是分式方程。
分式方程和整式方程的区别与联系
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数。分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。
分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。
常见题型：
给出下列关于x的方程：
，
其中，分式方程有哪些？
下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解分式方程
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程。
转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原分式方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）。
解这个整式方程，求出整式方程的解。
检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生使原方程得最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
产生增根的原因：
将分式方程转化成整式方程后，未知数的取值范围扩大了，可能会存在这样的未知数的值，它使整式方程成立，但使得分式方程的最简公分母为零。
增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的。去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子，这个式子有可能为零。根据方程的同解原理，方程的两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程。如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根。
注意：
同解方程的概念：
同解方程又称“等值方程”、“等价方程”，在两个方程中，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，我们就说这两个方程的解相同，这两个方程就叫做同解方程。
方程的同解原理：
方程得两边都加上或减去同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。
方程的两边都乘或除以同一个在方程的未知数的取值范围内都有意义且值不为零的代数式，所得的方程和原方程是同解方程。
若方程的一端为零，另一端是几个因式的乘积，则使各个因式分别等于零而得到的几个方程与原方程同解。
同解变形：
用一个方程(组)的同解方程(组)代替这个方程(组)，这种代换称为原方程(组)的同解变形。通常，在解方程(组)的过程中，主要是不断进行同解变形；如果出现了非同解变形，则应对得出的结果进行讨论或验根，找出遗解舍弃增解。
解分式方程一定要检验，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。
检验增根的方法：
看未知数的值能否使最简公分母为零的或使组成分式方程的某个分式的分母为零。
常见题型：
将分式方程转化为整式方程时，方程两边都应乘以（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．找出分式方程的最简公分母即可．
【详解】解：将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘以最简公分母为．
故选：C．
将分式方程去分母后，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是找到分式方程分母的最简公分母，解题过程注意不要漏乘． 根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，方程左右两边分别乘最简公分母即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为D．
小明同学解方程的过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
解：方程两边同时乘以，得 第一步
即 第二步
解得， 第三步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．三步都正确
【答案】B
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的基本步骤成为解题的关键．
先根据解分式方程的步骤解分式方程并结合题意即可解答．
【详解】解：
方程两边同时乘以，可得:
，即从第二步出现错误．
故选B．
已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程．将代入得，，然后解分式方程即可．正确的解分式方程是解题的关键．
【详解】
解：将代入得，，
∴，
解得，，
经检验，当时，，
∴是分式方程的解，
故选：C．
解方程：
解：两边同乘以得，，
解得，，
当时，，
∴是分式方程的解；
．
解：两边同乘以得，，
解得，，
当时，，
经检验是增根，
∴原分式方程无解．
解：，
方程两边都乘以，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
则原方程的解是．
解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
小军在解方程去分母时，方程右边的没有乘6,求得方程的解为，求原方程的解.
【答案】
【分析】根据错解可求的值，继而可求原分式方程的正确解．
【详解】解：由题意得：方程的解为：
将代入得：
解得：
∴原方程为
解得.
经检验：是原方程的解
【点睛】本题考查求解分式方程．掌握各求解步骤是解题关键．
若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可；
【详解】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故选：．
时，关于x的方程会产生增根．
【答案】
【分析】
本题考查了解分式方程，分式方程的增根，解题的关键是掌握使分式方程分母为0的未知数的值，是分式方程的增根．先去分母，将分式方程化为整式方程，得出，再根据增根的定义，即可求出m．
【详解】解：，
，
，
当时，原方程会产生增根，
即当时，原方程会产生增根，
∴，
解得：．
故答案为：．
已知关于的分式方程．
(1)当时，求分式方程的解．
(2)若分式方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义．
（1）将代入分式方程，再解方程即可；
（2）分式方程化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，分式方程为．
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
当分式方程无解时，，，
当分式方程产生增根时，增根为或，
把代入，的值不存在；
把代入，解得，
综上所述，或．
学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）
(2)且
(3)当或时原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
（2）解方程，得，
方程的解为非负数，
，
，
，
，
且；
（3）原方程化简为：
原方程无解，
或
①当时，解得；
②当时，解得
当或时原方程无解．
已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式组，先求出分式方程的解，根据，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，又由最简公分母的值不等于，可得不符合条件的取值，最后综合即可得到最终的取值范围，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：由分式方程得，，
∵分式方程的解满足，
∴，
即，
解得，
又∵，
∴且，
即且，
解得且，
∴的取值范围为且，
故答案为：且．
如果点是一次函数与图像的交点，那么 ， ．
【答案】 3
【分析】把点分别代入和中，得一个关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系．两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的二元一次方程组的解．熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：把点分别代入和中，得
，
解得，
经检验，为原方程组的解，
故答案为：；3．
要使分式没有意义，则的值为 ．
【答案】0或
【分析】本题是繁分式，根据分式没有意义，分式的分母为0列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，分式没有意义，
则3a=0或=0，
解得a=0或a=，
经检验a=是方程=0的解，
故答案为：0或．
【点睛】本题主要考查了分式没有意义的条件是分母等于0．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零．
一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，经过次共倒出水，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，解分式方程，由题意可得n次共倒出：，再令，求出n的值即可．
【详解】解：第一次倒出水，
第次倒出，
第次倒出，
第次倒出，
次共倒出：
，
经过次共倒出水，
，
，经检验是原方程的解，
经过次共倒出水，
故答案为：．
阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解，
∴当时，，解得；
当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：．
方程的解为y= .
【答案】5
【分析】此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.
【详解】移项，得：
,
方程两边通分，得：
,
即，
方程的两边同乘以，得：
，
即
解得：y=5，
经检验，y=5是原方程的根.
∴原方程的解为：y=5.
【点睛】在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大.若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使解分式方程的过程大大简化.总之，要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验.检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验.
已知为有理数，且、、、中恰有三个数相等，则 ．
【答案】0或-2．
【分析】根据确定，并得出，进而得出或，再计算即得．
【详解】解：∵有意义
∴
∴
∵、、、恰有三个数相等
∴或
∴
解得：或
经检验，得：是的解．
当时，，不成立；
当时
∵
∴，无解；
∵
∴，无解；
当时
∵
∴
解得：
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：0或-2．
【点睛】本题考查代数式求值及求解分式方程，蕴含了分类讨论和反证法等思想方法，解题关键是熟知分式方程转化为整式方程求解，并检验是否为增根．
若正数a，b，c满足abc=1，，则 ．
【答案】
【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．
阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是．例如：，．
(1)按照这个规定，请你计算的值．
(2)请你根据上述规定求出等式中的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解分式方程等知识点，正确理解题目所给新定义是解题的关键．
（1）利用题中的新定义化简所求式子并计算即可；
（2）利用题中的新定义化简等式得到方程，然后解分式方程即可解答．
【详解】（1）解：．
（2）解：把
整理得，即：，解得．
经检验，是原方程的解
∴．
阅读材料，下列关于的方程：
的解为：，； 的解为：，；
的解为：，； 的解为：，；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；
（2）根据材料中方程的解法求解即可；
（3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为，
故答案为：，
（2）由方程可得或，
解得，，
故答案为：，
（3）将方程变形为，
可得或，
解得，
【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解．
课后练习
解分式方程去分母时，等式两边都乘以————？
小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时， 左边． 右边左边．
解方程：
关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚．
(1)他把“◆”猜成5，请你解方程：；
(2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？
若关于的方程有解，则必须满足条件（ ）.
A． B．
C． D．，
已知关于的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是 。
若关于的分式方程会产生增根，则的值为 ．
关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ．
对于实数，，定义运算“”如下：，例如．若，则的值为 ．
阅读下列材料：
方程的解为，
方程的解为x=2，
方程的解为，
……
(1)根据上述规律，可知解为的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
解分式方程
解下列方程：
（1）；
（2）；
解方程组：
如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式，，，故M为N的“差整分式”，“差整值”．
(1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
①，， ②，， ③，；
(2)已知分式，，C为D的“差整分式”，且“差整值”，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
已知分式，（其中m为常数），是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由．
“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　．
（2）解分式方程：；
（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
拓展练习
满足的整数对的组数为 ；
现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 .
解方程：
解方程：3++5x-=20
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则______，______．
(2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．

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