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3.1 因数与倍数
在整数乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是任何一个乘数的倍数。因数与倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或一个数是倍数
研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。
12×1=12 12和1是12的因数，12是12和1的倍数。
例1：甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数。那么丙数是甲数的（ ）。
A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数
答案：C
分析：设甲、乙、丙分别为A、B、C；根据因数和倍数的意义可得：A＝xB，B＝yC，故A＝xyC，所以甲数是丙数的倍数，丙数是甲数的因数，据此解答。
详解：解：设甲、乙、丙分别为A、B、C；可得：
A＝xB
B＝yC
即：A＝xyC。
所以，甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数。那么丙数是甲数的因数。
故答案为：C
分析：本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
例2：48÷6＝8，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。
答案： 6 8 48 48 6 8
分析：因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数的特点：因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
详解：48÷6＝8换成乘法算式为8×6＝48，则6和8是48的因数，48是6和8的倍数。
例3：因为1.2÷0.4＝3，所以1.2是3的倍数。( )
答案：×
分析：只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
详解：1.2÷0.4＝3，1.2和0.4都是小数，不在因数、倍数的研究范围，所以1.2不是3的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
例4：下面哪些数是12的因数？哪些数是18的因数？哪些数既是12的因数，又是18的因数？
1 2 3 4 6 12 18
答案：12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、18；既是12的因数，又是18的因数：1、2、3、6
分析：根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。据此解答。
详解：12的因数：1、2、3、4、6、12；
18的因数：1、2、3、6、18；
既是12的因数，又是18的因数：1、2、3、6。
分析：此题是考查因数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
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一、选择题
1．因为5×8＝40，所以8是40的（ ）。
A．质因数 B．公因数 C．因数 D．倍数
2．质数的倍数（ ）。
A．一定是质数 B．一定是合数 C．可能是质数也可能是合数
3．4×3＝12，4和3都是12的（ ）。
A．倍数 B．因数 C．公倍数 D．公因数
4．我们学过的很多数学知识之间有着密切的联系，下面（ ）不能正确表示它们之间的关系。
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的有（ ）个。
（1）5和7没有公因数，但5和7有公倍数。
（2）一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b，这个数可表示为8b。
（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。
（4） 3的倍数一定是9的倍数，9的倍数也一定是3的倍数。
（5） 若（a、b为非0自然数），则a和b的最小公倍数是ab。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列说法正确的是（ ）。
A．9的倍数都是3的倍数，4的倍数都是8的倍数。
B．a是b的倍数，b是c的倍数，那么a一定是c的倍数。
C．一个大于0的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
D．甲和乙都是质数，那么甲和乙的积一定也是质数。
7．a是一个质数，则5a的因数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．15的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数就是15的( )。
9．mn＝k（m，n，k是非0自然数），m和n是k的( )，k是m和n的( )。
10．3×4＝12，( )和( )是12的因数，12是3和4的( )。
11．一个数的最小倍数是14，那么它的最大因数是( )。
12．在45÷9＝5中，5和9是45的( )，45是5的( )，也是9的( )。
三、判断题
13．因为2.4÷0.6＝4，所以2.4是0.6的倍数。( )
14．3的倍数不一定是9的倍数。( )
15．因为40×0.9＝36，所以36是0.9的倍数。( )
16．一个自然数（0除外）的因数是有限的，倍数个数是无限的。( )
17．因为24÷8＝3，所以24是倍数，8是因数。( )
18．如果一个数是12的倍数，那么它一定是3和6的倍数。( )
培优提升练
四、解答题
19．小熊饼干每袋有7块。把下表填写完整，并填空。
袋数 1 2 3 4 5 6 7
饼干块数 7 14
（1）小熊饼干的块数一定是7的（ ）。
（2）表中7的倍数有（ ）。
20．你能写出几个乘积是24的算式吗？
21．用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？
22．观察后面一组自然数。284、122、128、366、460、1728…
（1）找出能被4整除的数。
（2）仔细观察能被4整除的这些数的末两位，看看能否被4整除。你有什发现？把它写下来。
（3）要使326□，能被4整除，□里可填（ ），（ ），（ ）。
23．21的因数有哪些？21是哪些数的倍数？
1．C
分析：根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。质因数表示因数里面的质数，公因数表示两个数公有的因数。
详解：因为5×8＝40，所以8是40的因数，不是40的质因数、倍数和公因数。
故答案为：C
分析：此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
2．C
分析：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。据此举例说明。
详解：3是质数，3的倍数有3、6、9、12…，其中3是质数，其它数除了1和它本身，还有3等因数，即都是合数。则质数的倍数可能是质数，也可能是合数。
故答案为：C
分析：一个数的最小倍数是它本身，则质数的最小倍数还是质数，但其它倍数都是合数。
3．B
分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。
详解：因为12÷3＝4，12÷4＝3，所以3和4都是12的因数，12是3和4的倍数。
4×3＝12，4和3都是12的因数。
故答案为：B
分析：本题考查因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在。
4．B
分析：A．等式包含方程，方程是等式的一种。据此解答；
B．根据质数、奇数的意义，一个自然数，如果只有1和它的倍数两个因数，这样数叫做质数；不是2的倍数的数叫做奇数。据此解答；
C．一个非0的自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。据此解答；
D．两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，据此求解。
详解：A．表示方程是特殊的等式，关系图表示正确；
B．2是质数，但是2不是奇数，所以关系图表示错误；
C．a的最大因数和最小倍数相等，关系图表示正确；
D．如：a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；b的因数有1、2、5、7、10、14、35、70；
它们的公有的因数有1、2、5、10；关系图表示正确。
故答案为：B
分析：本题考查了方程与等式的关系、因数倍数质数、奇数以及公因数的意义。
5．B
分析：（1）先列举出5和7的因数、倍数，再求出它们的公因数和公倍数，即可得出答案；
（2）因为十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一，由此得出两位数的表示方法：十位数字×10＋个位数字；
（3）方程是含有未知数的等式，表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；
（4）举例说明：6是3的倍数，但是6不是9的倍数；
（5）因为a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积；据此判断即可。
详解：（1）5的因数有1和5，7的因数有1和7，5和7的公因数是1；
所以说5和7没有公因数，错误。
5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70……
7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70……
5和7的公倍数有35、70……
所以5和7有公倍数，正确。
所以5和7没有公因数，但5和7有公倍数，说法错误。
（2）这个两位数可写成8×10＋b＝80＋b，所以原题说法错误。
（3）根据方程与等式的意义可知，方程一定是等式，但等式不一定是方程，说法正确。
（4）由以上分析，6是3的倍数，但是6不是9的倍数；因此9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数，原题说法错误。
（5）因为a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，则a和b的最小公倍数是ab，说法正确。
说法正确的有2个。
故答案为：B
分析：此题主要考查了求两个数的最小公倍数，方程与等式的关系，公因数等知识，要熟练掌握。
6．B
分析：根据倍数、奇数、偶数、质数、合数等知识依次分析各个选项即可。
详解：A．9的倍数最小的是9，9除了有1和它本身2个约数外，还有3，所以9的倍数也都是3的倍数，这是正确的；4是4的倍数，但不是8的倍数，所以说法错误；
B．根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。那么，a是b的倍数，b是c的倍数，那么a一定是c的倍数，所以说法正确；
C．一个大于0的自然数不是奇数就是偶数，这是正确的；但是1是自然数，1既不是质数也不是合数，所以说法错误；
D．举例：2×3＝6，2和3是质数，6是合数，所以说法错误。
故答案为：B
分析：此题考查的有：①4、8、3、9的倍数特征。②奇数、偶数、质数、合数与自然数的关系。注意1既不是质数也不是合数。③倍数和因数的意义。
7．C
分析：根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身。依此即可求解。
详解：a是一个质数，则5a的因数有1，5，a，5a，一共有4个。
故答案为：C
分析：此题主要考查求一个数的因数的方法。
8． 1、3、5、15 3、5 质因数
分析：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。先应用列乘法算式法找到15的所有因数，再根据质数的概念，找出是质数的因数，据此解答。
详解：，，所以15的因数有1，3，5，15，其中是质数的是3、5，这几个质数就是15的质因数。
9． 因数 倍数
分析：根据因数和倍数的概念可知：两个非零自然数相乘，其中这两个数都叫做积的因数；积就是两个 因数的倍数。由此解答。
详解：mn＝k（m，n，k是非0自然数），m和n是k的（因数），k是m和n的（倍数）。
10． 3 4 倍数
分析：在整数除法中，被除数和除数是非0自然数，同时商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，因数和倍数的概念互相依存，不能单独存在，根据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答即可。
详解：由分析可得：
因为3×4＝12，所以12÷3＝4或12÷4＝3，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。
综上所述：3×4＝12，3和4是12的因数，12是3和4的倍数。
11．14
分析：一个数的最小倍数是1倍，即它本身；最大的因数也是它本身。据此可得出答案。
详解：，。即一个数的最小倍数是14，那么它的最大因数是14。
12． 因数 倍数 倍数
分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
详解：由分析可得：在45÷9＝5中，5和9是45的因数，45是5的倍数，也是9的倍数。
13．×
分析：根据倍数的定义：一个整数能被另一个整数整除，则这个整数就是另一个整数的倍数。根据定义可知两个数都是整数，据此可得出答案。
详解：2.4÷0.6＝4，被除数2.4和除数0.6都不是整数，不符合倍数的定义。即2.4不是0.6的倍数，题干表述错误。
故答案为：×
14．√
分析：由于9是3的倍数，那么9的倍数一定是3的倍数，3的倍数中，例如6是3的倍数，但是6不是9的倍数，据此判断。
详解：3的倍数不一定是9的倍数，如3和6是3的倍数，但不是9的倍数；所以原题说法正确。
故答案为：√。
分析：本题主要考查了找一个数的倍数，解题的关键是列举出3的倍数中不是9的倍数的数。
15．×
分析：若整数a能够被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
详解：36÷40＝0.9，但是0.9是小数，不符合因数和倍数的意义。
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
16．√
分析：根据因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，可得一个数（0除外）的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可。
详解：因为一个数（0除外）的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，所以题中说法正确。
故答案为：√
分析：此题主要考查了因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，要熟练掌握。
17．×
分析：如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数
详解：根据24÷8＝3可得3×8＝24，所以3和8是24的因数，24是3和8的倍数。原说法错误。
故答案为：×
分析：因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
18．√
分析：根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。
详解：因为12＝3×4＝2×6
所以一个数是12的倍数，这个数一定是3和6的倍数。例如：
24是12的倍数，也是3和6的倍数。
故答案为：√
分析：本题主要考查了倍数的认识。
19．
21；28；35；42；49
（1）倍数
（2）7、14、21、28、35、42、49
分析：每袋饼干的数量×袋数＝饼干块数，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，c是a、b的倍数，所以饼干块数是每袋饼干数量的倍数，即小熊饼干的块数是7的倍数，然后依次写出表中7的倍数即可。
详解：
填表如下：
袋数 1 2 3 4 5 6 7
饼干块数 7 14 21 28 35 42 49
由分析可知：
（1）小熊饼干的块数一定是7的倍数。
（2）表中7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。
20．见详解
分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此写出乘积是24的算式。
详解：1×24＝24
2×12＝24
3×8＝24
4×6＝24
答：有4个乘积是24的算式。
分析：本题根据列乘法算式找因数的方法求解。
21．48张
分析：正方形的边长可以剪出24÷4＝6个长，同理正方形的边长可以剪出24÷3＝8个宽，据此即可求出小长方形有6×8＝48个。据此解答。
详解：（24÷4）×（24÷3）
＝6×8
＝48（个）
答：一共能够裁剪成48张。
分析：解答此题的关键是求出分别以长边和宽边剪出的小正方形的个数，再相乘即可。
22．（1）284、128、460、1728。
（2）一个数的末两位能被4整除，这个数就能被4整除。
（3）0、4、8
分析：（1）用所给的这组数据除以4，找出能被4整除的数即可。
（2）根据题目要求观察这些数的末两位与4的关系，进而写出发现。
（3）根据第二小题的发现，填空即可。
详解：（1）284÷4＝71；
122÷4＝30……2；
128÷4＝32；
366÷4＝91……2；
460÷4＝115；
1728÷4＝432
所以能被4整除的数有284、128、460、1728。
（2）通过观察发现一个数的末两位能被4整除，这个数就能被4整除。
（3）能被4整除的十位上是6的数有：60、64、68，所以要使326□，能被4整除，□里可填0、4、8。
分析：此题考查了4的倍数特征，根据题目提示，要善于发现和总结。
23．1、3、7、21；1、3、7、21
分析：如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，据此解答。
详解：21＝1×21＝3×7
21的因数有1、3、7、21；21是1、3、7、21的倍数。
分析：本题考查因数和倍数的认识，根据因数和倍数的意义即可解答。

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