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3.2 找一个数的因数、倍数
找一个数的倍数的方法：
可以用这个数分别去乘1，2，3，…所得的积都是这个数的倍数，也可以找出除以这个数后商分别是1，2，3，…的数。一个数最小的倍数是它本身。
没有最大的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。
找一个数的因数的方法：
可以从1开始依次列举积是这个数的乘法算式或被除数是这个数的除法算式，则算式中的乘数或者除数和商就是这个数的因数。
一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数个数是有限的。
例1：一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。下面几个数中，（ ）也是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．48
答案：C
分析：求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
详解：A．8的因数有：1、2、4、8，所以
1＋2＋4
＝3＋4
＝7；
B．18的因数：1、2、3、6、9、18，所以
1＋2＋3＋6＋9
＝3＋3＋6＋9
＝6＋6＋9
＝12＋9
＝21；
C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28；
D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以
1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝3＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝6＋4＋6＋8＋12＋24
＝10＋6＋8＋12＋24
＝16＋8＋12＋24
＝24＋12＋24
＝36＋24
＝60；
因此只有C项符合题意。
故答案为：C
分析：本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
例2：( )( )( )( )( )( )。
答案： 2 15 3 10 5 6
分析：根据列乘法算式找一个数的因数的方法：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个数就是这个数的因数，据此解答。
详解：30＝1×30
30＝2×15
30＝3×10
30＝5×6
因此30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。
分析：解答本题的关键是掌握求一个数的因数的方法，也可以列除法算式找因数。
例3：一个数的因数是偶数个。( )
答案：×
详解：一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身，一个数的因数个数是有限的。
如6的因数有：1、6、2、3，共4个；9的因数有1、3、9共3个。所以一个数的因数可能是偶数个也可能是奇数个；原说法错误。
故答案为：×
例4：某社区广场舞队由60人组成，跳舞时要排成一个长方形的队形，要求每行或每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？试着写一写。
答案：5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
分析：根据题意可知，先找出60的因数，可以一对一对的找；因为每行或每列不得少于5人，所以60的因数中，小于5的不考虑；去掉小于5的因数，60的因数中还剩下5、6、10、12，而5×12＝6×10＝60，进而可确定出每行每列的人数。
详解：60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
因为每行或每列不得少于5人，
所以行、列分别是5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
答：共有4种排法。
分析：解答本题关键是掌握找一个数的因数的方法。
基础过关练
一、选择题
1．如果一个数恰好等于除它本身之外所有因数的和，这个数就是“完美数”。下面（ ）是完美数。
A．16 B．28 C．20 D．48
2．一盒棋子共有48枚，要求不一次性拿出，也不一枚一枚地拿出，但每次拿出的枚数要相同，最后一次正好拿完。共有（ ）种不同的拿法。
A．10 B．8 C．12
3．把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有（ ）种分法。
A．5 B．4 C．3 D．6
4．一个三位数，个位上是最小的合数，十位上是3的最小倍数，百位上是6的最大因数，这个三位数是（ ）。
A．364 B．634 C．632 D．463
5．五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（ ）人。
A．42 B．45 C．48 D．42或48
6．N＝2×2×3，它的全部因数有（ ）个。
A．3 B．5 C．6
二、填空题
7．一个数，它既是24的因数，又是24的倍数，它有( )个不同的因数。
8．一个数的最大因数是36，这个数是( )，这个数的最小倍数是( )。
9．小红和小明玩猜数游戏。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111.”小红的数是( )，小明的数是( )。
10．240有( )个因数。自然数123456789是( )。（填质数或合数）
11．36的因数有( )，其中合数有( )个。
12．一个数的最小倍数是72，这个数的因数有( )。
三、判断题
13．如果两个数都是质数，那它们一定没有公因数。( )
14．15的因数有4个，15的倍数有无数个。( )
15．若a＝5×6，则a有2个因数。( )
16．一个数的最大因数等于它的最小倍数。( )
17．4的倍数只有8，12，16，20，24。( )
培优提升练
四、计算题
18．写出4和6的倍数。（各写5个）
19．分别写出12和18的因数。
五、解答题
20．雯雯家打算给卧室的地面铺正方形地砖，要求只铺一种规格的地砖，且铺得既整齐又没有剩余。地面的形状是一个长42分米、宽36分米的长方形，有几种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择？如果选用最大规格的正方形地砖，那么需要多少块？（只考虑地砖的大小，地砖边长为整分米数）
21．在本学期的因数和倍数的学习中，我们了解过像6、28等这样的完全数（6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6），这是古希腊的数学家毕达哥拉斯在对数的研究过程中发现的。其实他在研究的过程中还发现了有趣的“亲和数”。例如：A的所有因数除去本身外，其它的因数加起来等于B；而B的所有因数除去本身外，所有的因数加起来等于A。那么A和B这两个数字就被称为“亲和数”。人类发现的最小的一对“亲和数”是220和（ ）。你知道括号里的数字是多少吗？请写出你的计算过程。
22．用20个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？
23．把40人排成不同的队列，每排人数一样多，有几种排法？请分别写出来。
24．一个小于40的自然数，它既是15的倍数，又是6的倍数，这个数是几？
1．B
分析：将每个选项中数的因数写出来，再将除本身之外的所有因数相加，看是否等于它本身即可。
详解：A．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4≠16，不是“完美数”；
B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，是“完美数”；
C．20的因数有：1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20，不是“完美数”；
D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24≠48，不是“完美数”。
故答案为：B
分析：此题主要考查的是如何寻找一个数的因数的方法的灵活应用。
2．B
分析：如果每次拿出的粒数相同，且最后一次刚好拿完，则每次拿出的粒数是总粒数的因数，求出48的因数，48的因数中1和48不符合题意要舍去。
详解：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
一次可以拿2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个，一共有8种不同的拿法。
一盒棋子共有48枚，要求不一次性拿出，也不一枚一枚地拿出，但每次拿出的枚数要相同，最后一次正好拿完。共有8种不同的拿法。
故答案为：B
分析：熟练掌握求一个数因数的方法是解答本题的关键。
3．C
分析：把45本书平均分成若干份，则每份中书的数量是45的因数；将45写成两数乘积的形式可得到45的因数；接下来，找出大于等于5且小于等于20的因数，满足这个条件的因数有几个就有几种分法。
详解：45＝1×45＝3×15＝5×9
45的因数有1、3、5、9、15、45，其中大于等于5且小于等于20的因数有5、9、15，共3个，所以把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有3种分法。
故答案为：C
分析：此题考查的是因数的应用，学生还要熟练掌握找一个数因数的方法。
4．B
分析：一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；这个数个位上是4；一个数，最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，3的最小倍数是3，这个数十位上是3；6的最大因数是6，这个数百位上是6，据此解答。
详解：根据分析可知，一个三位数，个位上是最小的合数，十位上是3的最小倍数，百位上是6的最大因数，这个三位数是634。
故答案为：B
分析：明确一个数最小的倍数和最大的因数是它本身是解答本题的关键。
5．D
分析：根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……，从中找出符合要求的倍数，即可解答。
详解：在40～50之间3的倍数有：42，45，48，又因为五（1）的学生人数是偶数，所以这个班人数可能有42人或48人。
五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有42或48人。
故答案为：D
分析：本题的关键是根据能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除进行解答。
6．C
分析：先计算出N的值，然后根据列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而N判断有几个因数。
详解：2×2×3＝12
N的值为12，
12＝1×12＝2×6＝3×4
据此可知，12有6个因数。
故答案为：C
分析：本题主要考查了分解质因数的认识以及因数的求法。
7．8
分析：根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；求出它既是24的因数，又是24的倍数的数是24，再求出这个数的所有因数即可。
详解：一个数，它既是24的因数，又是24的倍数，这个数是24；
它的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个不同的因数。
分析：本题主要是考查因数和倍数的意义及灵活运用。
8． 36 36
分析：根据因数与倍数的意义，一个数的最大的因数是它本身；最小倍数是它本身；据此填写即可。
详解：一个数的最大因数是36，这个数是36，这个数的最小倍数是36。
分析：此题考查的目的是理解掌握最大因数与最小倍数的方法及灵活运用。
9． 9 74
分析：找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；所以，如果这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数；这个数是9，9＝1×9，9＝3×3；因为“一个数的最大因数是它本身”，所以这个数最大的因数是第二大的因数的倍数，即：这个数最大的因数与第二大的因数的和应该是第二大因数的倍数；又：111＝3×37，当第二大因数是37、最大因数是“37×2＝74”时，满足题目条件。
详解：根据分析可得：
9＝1×9
9＝3×3
所以，一个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数，这个数是9。
111＝3×37
37×2＝74
所以，一个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111，这个数是74。
所以，小红和小明玩猜数游戏。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111”小红的数是9，小明的数是74。
分析：正确理解因数、倍数和奇数的意义，逐层分析，找出内在关系，是解答此题的关键。
10． 20 合数
分析：240＝1×240＝2×120＝3×80＝4×60＝5×48＝6×40＝8×30＝10×24＝12×20＝15×16，即因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240，共20个因数，据此解答即可。除了1和它本身，没有其他因数的正整数，叫质数；除了1和它本身，还有其他因数的正整数，叫合数。各个数位上数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。123456789各数位数字之和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45÷3＝15，即是3的倍数，所以123456789还有因数3，是合数，据此解答即可。
详解：240有20个因数。自然数123456789是合数。
分析：本题考查因数、倍数、质数、合数的概念及判断方法，要重点掌握。
11． 9 6
分析：先用列举法找出36的因数，再根据合数的定义，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，据此解答即可。
详解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个，其中合数有：4、6、9、12、18、36共6个。
分析：此题考查了找一个数因数的方法和对合数与质数的认识。
12．1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9
分析：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身；据此解答。
详解：72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
所以24的因数有1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。
一个数的最小倍数是72，这个数的因数有1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。
分析：本题主要考查求一个数的因数的方法，解题的关键是明确：一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。
13．×
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
详解：两个质数一定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
因此两个质数没有公因数.此说法错误。
故答案为：×
分析：此题考查的目的是理解公因数的意义，明确：两个质数一定是互质数，成为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。
14．√
分析：根据求一个数因数、倍数的方法解答即可。
详解：15的因数有：1、3、5、15，共4个；15的倍数有：15、30、45……。所以15的因数有4个，15的倍数有无数个。
故答案为：√
分析：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
15．×
分析：若a＝5×6，则a＝30，根据找因数的方法找出30的因数，判断即可。
详解：若a＝5×6，则a＝30
30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个因数。
故答案为：×
分析：本题主要考查找一个数因数的方法。
16．√
分析：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以一个数的最大因数等于它的最小倍数，据此解答。
详解：由分析可知，一个数的最大因数等于它的最小倍数。说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查了因数和倍数的认识，牢记一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
17．×
分析：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
详解：4的倍数有4，8，12，16，20，24……，4的倍数的个数是无限的。
故答案为：×。
分析：本题主要考查倍数的特点及求法。
18．4的倍数：4、8、12、16、20
6的倍数6、12、18、24、30
分析：求一个数的倍数，就用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…就得到了这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍……（答案不唯一）。
详解：4的倍数有：4、8、12、16、20
6的倍数有：6、12、18、24、30
19．12的因数：1，2，3，4，6，12；
18的因数：1，2，3，6，9，18。
分析：借助乘法算式，找出12和18的因数即可。
详解：12＝1×12＝2×6＝3×4
所以，12的因数有1，2，3，4，6，12；
18＝1×18＝2×9＝3×6
所以，18的因数有1，2，3，6，9，18。
20．4；42块
分析：首先求出42和36的公因数，它们之间有几个公因数就有几种不同规格的正方形地砖可选择；地面是一个长方形，用长和宽分别除以最大公因数，可得长能放的块数和宽能放的块数，最后相乘，就是需要砖的块数。
详解：42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36
42和36的公因数有：1，2，3，6，有4个公因数。
42和36的最大公因数是：6
42÷6＝7（块）
36÷6＝6（块）
6×7＝42（块）
答：有4种不同规格的正方形地砖可供雯雯家选择。如果选用最大规格的正方形地砖，那么需要42块。
分析：本题是一道关于最大公因数应用题目，注意求最大公因数的方法和计算的正确性。
21．284，过程见详解
分析：根据“亲和数”的意义，先找出220的所有因数，再将除了它本身以外的其他因数相加，即可解答。
详解：220＝1×220＝2×110＝4×55＝5×44＝10×22＝11×20
220的因数有：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
答：最小的一对”亲和数“是220和284。
分析：解答本题需准确理解”亲和数“的意义和计算方法。
22．3种
分析：根据题意可知，拼成的长方形的长和宽一定是整数，面积一定是20平方厘米，据此将20拆分成2个整数相乘，也就是列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，再看有几个算式，就有几种不同的拼法。
详解：20＝1×20＝2×10＝4×5
答：有3种不同的拼法。
分析：本题考查了找因数的方法和应用。
23．8种
分析：把40写成两个整数相乘的形式，其中一个因数就是排数，另一个因数就是每排的人数。
详解：，可以排成40排，每排1人，或者排成1排，每排40人；
，排成20排，每排2人，或者排成2排，每排20人；
，排成10排，每排4人，或者排成4排，每排10人；
，排成8排，每排5人，或者排成5排，每排8人；
所以40人可以排成1排、2排、4排、5排、8排、10排、20排、40排，一共8种排法。
答：有8种不同的排法。
分析：此题重点考查求一个数因数的方法在实际生活中的灵活运用。
24．30
分析：一个小于40的自然数，这个数最小是多少，分析可知是要求15和6的最小公倍数，可以用列举法求两个数的最小公倍数进行解答即可。
详解：因为：15的倍数有：15、30、45、60
6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42
15和6的最小公倍数为：30，且30小于40，所以这个数是30。
答：这个数是30。
分析：此题主要考查求两个数最小公倍数的方法：可以用列举法，数字大的也可以用短除法。

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