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3.3 2、3、5的倍数特征
个位上是5或0的数是5的倍数；
个位上是2，4，6，8或0的数都是2的倍数。
各位上数的和是3的倍数的数都是3的倍数。
6的因数有1,2,3,6,这几个因数之间的关系是： 1+2+3=6。像6这样的数叫做完全数（也叫做完美数）。
整数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数叫作奇（jī）数。
例1：一个三位数41，当里填（ ）时，它既是3的倍数又是2的倍数。
A．6 B．4 C．2
答案：B
分析：3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。已知这个三位数的百位是4，十位是1，根据2、3倍数定义就算可得出答案。
详解：这个三位数是2的倍数，则它的个位上的数可能是0、2、4、6、8；它又是3的倍数，则这几个数分别与4、1的和，只有，能被3整除，即这个三位数是414。
故答案为：B
例2：根据要求填一填。
15 30 28 45 201 48 900
93 76 57 120 92 36 720
(1)3的倍数有( )。
(2)既是3的倍数又是2的倍数的数有( )。
(3)同时是2、3和5的倍数的数有( )。
答案：(1)15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720
(2)30、48、900、120、36、720
(3)30、900、120、720
分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
详解：（1）3的倍数有15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720。
（2）既是3的倍数又是2的倍数的数有30、48、900、120、36、720。
（3）同时是2、3和5的倍数的数有30、900、120、720。
例3：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是1。( )
答案：×
分析：2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，5的倍数特征：个位是0、5的数是5的倍数，据此即可知道既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位是0，据此即可判断。
详解：由分析可知：
既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是0，原说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查2和5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
例4：63个小朋友参加表演，如果每5个小朋友分成一组，那么至少再来几个小朋友才能正好分完？如果既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉几个小朋友？
答案：2个；3个
分析：5个小朋友分成一组，要求正好分完，则小朋友的个数是5的倍数，即个位上是0或者5，比63大的个位上是5的数最小是65，所以至少再来65－63＝2（个）小朋友。既能平均分成五组又能平均分成两组，则小朋友的个数是2和5的倍数，即个位上是0，比63小的个位上是0的数最大是60，所以至少要去掉63－60＝3（个）小朋友。据此解答。
详解：(个）
（组）
（个）
(个)
（个）
答：如果每5个小朋友分成一组，那么至少再来2个小朋友才能正好分完；如果既能平均分成五组又能平均分成两组，那么至少要去掉2个小朋友。
基础过关练
一、选择题
1．下面四个数中，N是任意自然数，S是0，因数中一定有2和3的是（ ）。
A．NSSNS B．NSNSS C．NSSNN D．NNSNS
2．一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有（ ）个。
A．7 B．6 C．8 D．5
3．小青用2、3、5、8四张数字卡片摆出的所有四位数（ ）。
A．一定是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．一定是5的倍数
4．一个四位数35，它是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最大是（ ）。
A．3950 B．3959 C．3850 D．3750
5．100以内既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2的最大的数是（ ）。
A．95 B．90 C．75 D．99
6．五（1）班第一小组20名同学围成一圈玩“3的倍数和尾数”这个游戏，游戏规则是：从1开始一个一个往后数，遇到3的倍数或个位上是3的数时要说“过”。每人说1次，一圈下来，一共要说（ ）次“过”字。
A．4 B．5 C．7
7．在25的方框中填入一个数字，使它是3的倍数，中可以填（ ）。
A．4 B．5 C．6
二、填空题
8．请你用下面四张数字卡片按要求组成两位数。
0 7 4 5
(1)组成的奇数有( )，其中最大的是( )，最小的是( )。
(2)组成的数中是2的倍数有( )，5的倍数有( )。
(3)组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是( )，最小的数是( )。
9．484是( )数（填“奇”或“偶”），至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是5的倍数。
10．要使601既是2的倍数，又是5的倍数，那么里应该填( )。
11．283至少减去( )可以变为3的倍数，至少加上( )可以变为2、3、5的公倍数。
12．要使四位数286既是2的倍数又是3的倍数，里可以填( )；要使三位数7同时是2、3、5的倍数，它的后两位可以填( )。
13．同时是2、3、5的倍数的最大四位数是( )，最小四位数是( )。
三、判断题
14．既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。( )
15．4AA0A5这个数一定是3和5的倍数。( )
16．既是2的倍数又是5的倍数的数，它的个位上一定是0。( )
17．27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大可填8。( )
18．一个不为0的自然数的个位是0，这个数一定既是2的倍数又是5的倍数。( )。
培优提升练
四、解答题
19．有一个三位数，它百位上的数字与十位上的数字相同，已知这个三位数既是3的倍数，又有因数5，则这个三位数可能是多少？（列举所有情况）
20．有三个连续的自然数，它们的和是三位数，且是2和5的倍数，这个三位数最小是多少？此时这三个连续的自然数分别是多少？想一想，三个连续的自然数的和是几的倍数？
21．摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。
（1）组成的数是3的倍数。
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。
22．甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？
23．如图是一张4×4的方格图，它由16个小正方形组成，每个小正方形里都写了一个数。
（1）在这个方格图上框出形，那么框出的4个数的和一共有多少种？其中和最大是多少？最小呢？
（2）在这个方格图上框出形，那么框出的5个数的和一共有多少种？每5个数的和一定是15的倍数吗？为什么？
3 6 9 12
15 18 21 24
27 30 33 36
39 42 45 48
1．D
分析：因数中一定有2和3，说明这个数同时是2和3的倍数。
2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
详解：A．NSSNS，S是0，是2的倍数，N＋N＝2N，不一定是3的倍数；
B．NSNSS，S是0，是2的倍数，N＋N＝2N，不一定是3的倍数；
C．NSSNN，N是任意自然数，不一定是2的倍数；
D．NNSNS，S是0，是2的倍数，N＋N＋N＝3N，是3的倍数。
因数中一定有2和3的是NNSNS。
故答案为：D
2．A
分析：5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
详解：一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这个四位数的个位数是0或5。
当个位数是0时，1＋3＋0＝4
比4大的3的倍数有6、9、12…
6－4＝2
9－4＝5
12－4＝8
百位数可以是2、5、8，有3个；
当个位数是5时，1＋3＋5＝9
9是3的倍数，比9大的3的倍数有12、15、18…
9－9＝0
12－9＝3
15－9＝6
18－9＝9
百位数可以是0、3、6、9，有4个。
3＋4＝7（个）
一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有7个。
故答案为：A
分析：熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
3．B
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此分析解题。
详解：用2、3、5、8四张数字卡片摆出的四位数个位上不一定是2或8，也可能是3或5，那么摆成的所有四位数不一定是2的倍数；
同理，摆成的四位数个位不一定是5，也可能是2、3、8，那么摆成的所有四位数不一定是5的倍数；
2＋3＋5＋8＝18，18是3的倍数，那么不论怎么摆，用2、3、5、8四张数字卡片摆出的所有四位数一定是3的倍数。
故答案为：B
分析：本题考查了2、3、5的倍数，掌握2、3、5的倍数特征是解题的关键。
4．D
分析：3的倍数特征：各位数之和能被3整除；同时是2、3、5的倍数的数个位上是0，并且各个数位上数的和是3的倍数，据此写出符合要求的数，据此解答即可。
详解：3□5□能被2、3、5整除，说明个位上的数是0
当个位上的数是0时，那么百位上的数可以是1、4、7，即3150、3450、3750；
这个数最大是3750。
故答案为：D
分析：解决本题的关键是明确同时是2、3、5的倍数的数个位上是0，并且各个数位上数的和是3的倍数。
5．B
分析：3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0、5的数是5的倍数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，同时是2、3、5的倍数，个位上的数字一定是0。由此求解。
详解：根据分析可知，100以内既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2的最大的数是90。
故答案为：B
分析：熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。
6．C
分析：根据3的倍数的特征是：各个数位的数字之和是3的倍数答：3的倍数的特征是各个数位的数字之和是3的倍数；据此选择。
详解：20以内是3的倍数和尾数是3的数有：3、6、9、12、13、15、18，所以每人说1次，一圈下来，一共要说7次“过”字。
故答案为：C
7．B
分析：3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
详解：A．如果是4，则2＋4＋5＝11，11不是3的倍数，不符合题意；
B．如果是5，则2＋5＋5＝12，12是3的倍数，符合题意；
C．如果是6，则2＋6＋5＝13，13不是3的倍数，不符合题意。
故答案为：B
8．(1) 47、45、57、75 75 45
(2) 70、74、50、54、40 40、45、50、70、75
(3) 70 40
分析：根据奇数与偶数、质数与合数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；能被5整除的数末尾是0或5是5的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0；据此写出符合条件的最小的数和最大的两位数即可。
详解：（1）组成的奇数有47、45、57、75，其中最大的是75，最小的是45。
（2）组成的数中是2的倍数有70、74、50、54、40，5的倍数有40、45、50、70、75。
（3）组成的既是2的倍数又是5的倍数的数中，最大的数是70，最小的数是40。
9． 偶 2 4
分析：偶数是指能被2整除的数，奇数是指不能被2整除的数。3的倍数特征：一个数的每一个数位上的数相加的和是3的倍数，则这个数是3的倍数。5的倍数特征：一个数的个位上是0或5，则这个数是5的倍数。据此可计算得出答案。
详解：，即484能被2整除，是偶数。，即484至少加上2就是3的倍数。，即484至少减去4就是5的倍数。
10．0
分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
详解：要使601既是2的倍数，又是5的倍数，那么里应该填0。
11． 1 17
分析：3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；据此解答。
详解：2＋8＋3＝13
13－1＝12，12是3的倍数。
所以283至少减去1可变为3的倍数。
分析可知，个位数字为0，283＋7＝290，2＋9＝11，则290不是3的倍数；283＋17＝300，3＋0＋0＝3，则300是3的倍数。所以，283至少加上17可变为2、3、5的公倍数。
12． 2、8 20、50、80
分析：2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
详解：要使四位数286既是2的倍数又是3的倍数，先考虑是2的倍数，那么个位必须是0、2、4、6、8；其中2＋8＋6＋2＝18，是3的倍数；2＋8＋6＋8＝24，是3的倍数，所以里可以填2、8；
要使三位数7同时是2、3、5的倍数，先考虑同时是2、5的倍数，那么个位一定是0；还要满足7＋＋0是3的倍数，因为7＋2＋0＝9，是3的倍数；7＋5＋0＝12，是3的倍数；7＋8＋0＝15，是3的倍数；所以它的后两位可以填20、50、80。
13． 9990 1020
分析：根据题意，这个四位数同时是2、3、5的倍数，由既是2的倍数又是5的倍数的数末尾是0，可知这个四位数的末尾是0；当这个四位数最大时，千位和百位上都是9，即99□0，要使99□0是3的倍数，□里最大取9；当这个四位数最小时，千位上是1，百位上是0，即10□0，要使10□0是3的倍数，□里最小取2。据此解答。
2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
详解：同时是2、3、5的倍数的最大四位数是9990，最小四位数是1020。
14．√
分析：2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数的个位必须是0，据此解答。
详解：根据分析可知，既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。
15．√
分析：根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数；根据5的倍数的特征：个位上是0，5的数是5的倍数，据此解答。
详解：4＋A＋A＋0＋A＋5
＝4＋3A＋5
＝9＋3A
9＋3A为3的倍数，4AA0A5末位为5，是5的倍数，因此4AA0A5这个数一定是3和5的倍数，原题说法正确。
故答案为：√
分析：此题主要考查了3、5的倍数特征。
16．√
分析：因为5的倍数的特点是：个位上的数是0或5；2的倍数的特点是：个位上的数是0、2、4、6、8的数；所以既是2的倍数又是5的倍数，个位上一定是0。
详解：由分析可知，既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上一定是0；原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了2，5倍数的特点，要记住这些特点，并灵活运用。
17．×
分析：2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。
详解：2＋7＝9，27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中可填0、6，最大填6。
故答案为：×
分析：关键是掌握2和3的倍数的特征。
18．√
分析：2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数，两个结合在一起，既是2又是5的倍数特征：个位是0的数。
详解：根据分析可知，如果这个不为0的自然数的个位是0，那么这个数一定既是2的倍数又是5的倍数。
故答案为：√
分析：此题主要考查学生对2和5的倍数特征的认识与理解。
19．225、330、555、660、990。
分析：根据3、5的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是3和5的倍数的数，个位上是0或5且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答。
详解：一个三位数，它百位上的数字与十位上的数字相同，已知这个三位数既是3的倍数，又有因数5，可使百位、十位上的数字为1，再令个位上的数分别是0、5，看哪一个数字是3的倍数，同理推导出所有符合条件的数字；则这个三位数可能是225、330、555、660、990。
答：这个三位数可能是225、330、555、660、990。
分析：此题考查的目的是理解掌握3、5的倍数的特征及应用。
20．这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41；三个连续的自然数的和是3的倍数。
分析：本题考查2、3和5的倍数的特征。设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和一定是3的倍数。这个三位数同时是2，3和5的倍数，它的个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，所以这个三位数最小是120，120÷3＝40，这三个连续的自然数分别是39、40、41。
详解：设三个连续的自然数分别是a－1、a和a＋1，它们的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三个连续的自然数之和一定是3的倍数。它们的和又同时是2和5的倍数，即个位上的数只能是0，最小的数字组合为：，故同时是2、3和5的倍数的最小三位数是120。
中间的数为：120÷3＝40，则前一个数为：40－1＝39，后一个数为：40＋1＝41。
答：这个三位数最小是120，此时这三个连续的自然数分别是39、40、41，三个连续的自然数的和是3的倍数。
21．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）810、180
分析：（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；
（2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
详解：故分析可知，
（1）组成的数是3的倍数有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5的数有：810、180；
分析：熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。
22．甲获胜可能性大；原因见详解
分析：先把任意两个数的和列出来，看一共有几种情况，再看能被2整除和能被3整除的数的个数，再进行比较，个数越多，获胜的可能性越大，据此解答。
详解：2＋4＝6
2＋6＝8
2＋7＝9
4＋6＝10
4＋7＝11
6＋7＝13
甲获胜的数字有6，8，10，一共3个；
乙获胜的数字有6，9，一共2个；
和既能被2整除又能被3整除的数字没有，既不能被2整除，又不能被3整除的数有11，13一共2个。
3＞2，甲获胜的可能性大于乙获胜的可能性。
答：甲获胜的可能性大，因为几个数字任意抽取一张，和能被2整除的可能性大于和能被3整除的可能性。
分析：本题考查可能性大小，明确可能性的大小与数量的多少有关是解答本题的关键。
23．（1）6种；最大165，最小57
（2）4种；原因见详解
分析：（1）根据题意，按一定的规律，找出所有，进而找出和的最大值和最小值；
（2）框出形，那么中心的数有4个，分别是18、21、30、33，是有意一共有4中，如果这5个数的和既是3的倍数，又是5的倍数，那么它就是15的倍数，据此解答。
详解：（1）可框出的四个数有3、15、18、21；6、18、21、24；15、27、30、33；18、30、33、36；27、39、42、45；30、42、45、48。一共有6种情况；
最大：30＋42＋45＋48＝165；
最小：3＋15＋18＋21＝57。
（2）一共有4种，根据框中心数与周围数的关系，可知和是中心数的5倍，中心的数18、21、30、33都是3的整数倍，5×3＝15，所以每5个数的和一定是15的倍数。
分析：此题考查了数表的规律以及3和5的倍数特征，根据题意认真解答即可，注意按照一定的顺序防止多写或漏写。

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