资源简介
3.5 质因数与分解因数
如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
人们经常用短除法来分解质因数。
把每个除数和最后的商写成连乘的形式： 30=2×3×5
例1：永星小学五年级有4个班，五（1）班37人，五（2）班40人，五（3）班41人，五（4）班43人。能够把全班分成人数相同小组的是（ ）。
A．五（1）班 B．五（2）班 C．五（3）班 D．五（4）班
答案：B
分析：这些班的人数中，是合数的可以分成每组人数相同的组数，是质数的就不能分成每组人数相同的组数。
详解：40＝2×2×2×5
37＝1×37
41＝1×41
43＝1×43
40是合数，可以平均分成人数相同的小组，37、41、43是质数，不可以分成人数相同的小组，所以五（2） 班、可以平均分成人数相同的小组。
故答案为：B
分析：本题考查了根据质数和合数的性质进行求解。
例2：下面各数是由哪些质数相乘得到的？
22＝( )×( ) 130＝( )×( )×( )
34＝( )×( ) 27＝( )×( )×( )
65＝( )×( ) 98＝( )×( )×( )
答案： 2 11 2 5 13 2 17 3 3 3 5 13 2 7 7
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数，由此解答。
详解：22＝2×2 130＝2×5×13
34＝2×17 27＝3×3×3
65＝5×13 98＝2×7×7
例3：把42分解质因数。42＝1×2×3×7。( )
答案：×
分析：分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此分析解答。
详解：42＝2×3×7，所以把42分解质因数，42＝1×2×3×7是错误的；
故答案为：×
分析：本题主要考查分解质因数的意义，注意是几个质数相乘的形式，1既不是质数也不是合数。
例4：三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是60，这三个小朋友年龄最大的是多少岁？
答案：5岁
分析：本题考查利用分解质因数解决问题，可先把60分解质因数，然后把结果写成三个连续自然数的积的形式，即可求得这三个小朋友中最大的年龄。
详解：60＝2×2×3×5
＝3×4×5
因为3＜4＜5
因此年龄最大的是5岁。
答：这三个小朋友年龄最大的是5岁。
基础过关练
一、选择题
1．下列说法中有（ ）句是正确的。
①自然数（0除外）不是质数就是合数；
②自然数（0除外）不是奇数就是偶数。
③两个质数的和一定是合数。
④把17分解质因数为：17＝l×17。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．将12分解质因数，正确的是（ ）。
A．12＝1×2×2×3 B．12＝2×2×3 C．2×2×3＝12
3．5和7都是35的（ ）。
A．质因数 B．互质数 C．公因数
4．a＝2×2×5，b＝2×7×5，那么a、b的最小公倍数是（ ）。
A．10 B．60 C．140
5．将40分解质因数，下列选项正确的是（ ）。
A． B． C．
6．如果A＝2×3×5，那么A的因数有（ ）个。
A．8 B．6 C．7
7．四（2）班用彩带装扮教室，他们要将两根分别长42米、28米的彩带，剪成同样长的短彩带，且没有剩余。每根短彩带最长是（ ）米。
A．2 B．6 C．7 D．14
二、填空题
8．42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”）
9．A＝2×2×t，B＝2×t×5，已知A和B的最大公因数是6，那么t＝( )，A和B的最小公倍数是( )。
10．如果a÷b＝36，那么a和b的最小公倍数是( )，把36分解质因数是( )。
11．从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是( )，把这个数分解质因数是( )。
12．一个两位数“5”，它是2和3的公倍数，里填的数是( )，把这个两位数分解质因数：( )。
三、判断题
13．66＝6×11，6和11都是66的质因数。( )
14．24既是4的倍数，又是6的倍数，所以24是4和6的最小公倍数。( )。
15．把28分解质因数是。( )。
16．因为20＝2×2×5，所以2和5都是20的质因数。( )
17．凡是合数都能用质数相乘的形式表示出来。( )
培优提升练
四、计算题
18．分解质因数。
44 78 105
19．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
12和48 26和39 13和15
五、解答题
20．学校召开运动会，开幕式上每个年级派出一个方队进行风采展示。方队中每行的人数和行数都是质数（每行人数都相等）。四个小朋友在看台上数出五年级方队的总人数如下表，其中只有一个小朋友数对了。五年级方队有多少人？为什么？
芳芳 亮亮 红红 兵兵
66 72 77 80
21．用96朵红花和72朵黄花做成若干同样的花束，没有剩余。那么最多可以做多少束花？每束有几朵花？
22．有一块长方形彩板，长18厘米，宽15厘米，将这块彩板裁成同样大小的小正方形，不能有剩余，每块小正方形的面积最大是多少平方厘米？可以裁成多少块？
23．有4个小朋友，他们的年龄恰好是4个连续的自然数，他们的年龄的积是360，最大的小朋友多少岁？
24．放假时，杭老师用216元钱买了若干支钢笔当奖品发给“三好学生”，如果每支钢笔便宜1元，那么他可以多买3支。杭老师买了多少支钢笔？每支钢笔多少元？
25．五（1）班要在学校的空地上栽30棵树苗，要求每行的棵数相同（至少栽2行，每行至少栽2棵），有几种不同的栽法？请列举出来。
1．A
分析：1既不是质数，也不是合数；
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数；
只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，叫做分解质因数。
详解：①自然数1不是质数也不是合数，原说法错误；
②因为自然数包括奇数和偶数，所以自然数（0除外）不是奇数就是偶数，原说法正确；
③质数2和质数3的和是质数5，5是质数，所以两个质数的和一定是合数说法错误；
④因为1不是质数也不是合数，所以把17分解质因数为：17＝l×17错误。
只有②这一句正确。
故答案为：A
分析：掌握质数和合数、奇数和偶数、分解质因数的意义是解题的关键。
2．B
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此进行选择。
详解：A．12＝1×2×2×3；1不是质数，不符合题意；
B．12＝2×2×3；正确，符合题意；
C．2×2×3＝12，格式错误，不符合题意。
将12分解质因数，正确的是12＝2×2×3。
故答案为：B
分析：此题考查了分解质因数，注意相乘的数必须是质数。
3．A
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
详解：把35分解质因数：35＝5×7
所以5和7是35的质因数。
故答案为：A
分析：此题主要考查互质数、公因数、质因数的概念及意义，和分解质因数的方法。
4．C
分析：a和b相同的因数有：2、5，不同的因数有：2、7，注意a中有两个2，其中一个2与b中一个因数相同，另一个2则视作不同的因数，把相同的因数和不同的因数相乘即可得解。
详解：由分析可知：
、b的最小公倍数为：2×5×2×7＝140
故选：C
分析：本题考查通过分解质因数法求两个数的最小公倍数，先分别找到这两个数相同的因数和不同的因数，然后计算它们的乘积即可。
5．B
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
详解：将40分解质因数为：40＝2×2×2×5
故答案为：B
分析：熟练掌握分解质因数的方法是解决此题的关键。
6．A
分析：A＝2×3×5＝30，根据找一个数因数的方法成对的找出30的因数即可。
详解：A＝2×3×5＝30
30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30共8个，即A的因数有8个。
故答案为：A。
分析：本题主要考查求一个数因数的方法。
7．D
分析：剪成同样长的短彩带，且没有剩余，那么每根短彩带的长度是42和28的公因数；求每根短彩带最长的长度，就是求42和28的最大公因数。42、28分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。
详解：42＝2×3×7
28＝2×2×7
42和28的最大公因数是：2×7＝14
即每根短彩带最长是14米。
故答案为：D
分析：本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。
8． 不是 是
分析：分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。
详解：42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。
因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。
9． 3 60
分析：A＝2×2×t，B＝2×t×5，相同的质因数是2和t，则最大公因数是2×t＝6，则t＝3。即A＝2×2×3，B＝2×3×5，最小公倍数是最小公倍数乘两个数剩下的质因数。即2×3×2×5＝60。
详解：最大公因数：2×t＝6
t＝6÷2
t＝3
最小公倍数：2×3×2×5＝60
则t＝3，A和B的最小公倍数是60。
10． a 36＝2×2×3×3
分析：根据题意：a÷b＝3，a和b成倍数关系；如果两个数是倍数关系，那么两个数中较大数是它们的最小公倍数，再根据分解质因数的方法：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；据此解答。
详解：a÷b＝36，也就是a是b的倍数，所以a和b的最小公倍数是a。
36＝2×2×3×3
如果a÷b＝36，那么a和b的最小公倍数是a，把36分解质因数是36＝2×2×3×3。
分析：熟练掌握求最小公倍数的方法以及分解质因数的方法是解答本题的关键。
11． 75 75＝3×5×5
分析：根据3、5倍数的特征可知：这个数的个位上要么是0，要么是5，且个位和十位的数相加的和必须是3的倍数，由此可知，这个数最大是75，然后进行分解质因数。
详解：根据分析可知，
从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75；
75＝3×5×5
所以，从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75，把这个数分解质因数是75＝3×5×5。
分析：本题主要考查了3、5的倍数的数的特征，注意基础知识的灵活运用；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
12． 4 54＝2×3×3×3
分析：根据2、3的倍数的特征：个位数是0、2、4、6、8是都是2的倍数；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。因此，既有因数2，又是3的倍数，里的能填的数最大是4，再把54分解质因数即可。
详解：因为5□是3的倍数，假设方框里的数字是a，那么a＋5可以为6，9，12，即a可以取1，4，7，又因为5□是2的倍数，所以方框里只可能填4，这个两位数为54；
一个两位数“5”，它是2和3的公倍数，里填的数是4，把这个两位数分解质因数：54＝2×3×3×3
分析：掌握能被2、3整除的数的特征是解答此题的关键。
13．×
分析：根据质因数的意义和分解质因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数；由此解答。
详解：66＝2×3×11，质因数由2、3、11，所以原题干表述错误。
故答案为：×
分析：此题主要考查分解质因数的意义和分解质因数的方法，明确在自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫质数，是解题的关键。
14．×
分析：由于24＝4×6，所以24是4的倍数也是6的倍数，根据分解质因数的方法找两个数的最小公倍数：4＝2×2；6＝2×3，由此即可知道4和6的最小公倍数：2×2×3，算出结果即可。
详解：由分析可知：24是4和6的倍数。
4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数：2×2×3
＝4×3
＝12
故答案为：×。
分析：本题主要考查最小公倍数的找法，可以根据分解质因数的方法或者短除法。
15．×
分析：根据分解质因数的意义：把一个合数写成几个质因数相乘的形式，叫做分解质因数，而4虽是28的因数但不是质数，1既不是质数也不是合数，据此判断。
详解：28＝1×4×7，1、4不是质数
正确分解为：28＝2×2×7
所以把28分解质因数是：28＝1×4×7说法错误。
故答案为：×
分析：此题主要考查分解质因数的意义，理解质因数的意义是解答本题的关键。
16．√
分析：把一个合数写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，也是这个合数的质因数，据此判断。
详解：因为20＝2×2×5，所以2和5都是20的质因数。说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查了对质因数的认识，如果一个数既是另一个数的因数，还是质数，那么这个数就是另一个数的质因数。
17．√
分析：根据合数和分解质因数的概念即可判断此题。
详解：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
故答案为：√
分析：1、一个数除了1和它本身以外还有其他的因数，这样的数叫作合数；2、一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
18．44＝2×2×11；78＝2×3×13；105＝3×5×7
分析：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，据此解答。
详解：44＝2×2×11
78＝2×3×13
105＝3×5×7
19．12和48的最大公因数是12，最小公倍数是48；
26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78；
13和15的最大公因数是1，最小公倍数是195
分析：用分解质因数的方法求两个数的最大公因数、最小公倍数：两个合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如果两个数是互质数，那么最大公因数是1，最小公倍数是它俩的乘积；据此解答。
详解：12和48
48是12的倍数，所以12和48的最大公因数是12；最小公倍数是48
26和39
26＝2×13
39＝3×13
26和39的最大公因数是：13；最小公倍数是：2×3×13＝78
13和15
13和15是互质数，所以最大公因数是1；最小公倍数是：13×15＝195
20．77人；见详解
分析：分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
根据题意，方队中每行的人数和行数都是质数；据此把四个人数的总人数分解质因数，其中能分解成两个质数相乘形式的合数即是五年级方队的总人数。
详解：66＝2×3×11
72＝2×2×2×3×3
77＝7×11
80＝2×2×2×2×5
答：五年级方队有77人。因为只有77能分解成两个质数相乘，而其他三个数都不能分解为两个质数相乘，所以五年级方队有77人。
21．24束；7朵
分析：求出96和72的最大公因数，即为最多可以做多少束花，把两种花的朵数相加，再除以最大公因数，即可求出每束花有几朵。
详解：96＝2×2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
所以，96和72的最大公因数是24。
（96＋72）÷24
＝168÷24
＝7（朵）
答：最多可以做24束花，每束有7朵花。
分析：本题考查了公因数的计算与应用，理解题意，找出最大公因数是解题的关键。
22．9平方厘米；30块
分析：把一块长方形彩板，裁成同样大小的小正方形且没有剩余，说明小正方形的边长是长、宽的公因数；求每块小正方形最大的面积，那么正方形的边长要最大，也就是求长、宽的最大公因数，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出最大的面积；再分别求出长、宽里各有几个最大的边长，就是长、宽各可以裁几块，最后相乘就是可以裁成的块数。
详解：15＝3×5
18＝2×3×3
15和18的最大公因数是3；
即小正方形的最大边长是3厘米。
面积：3×3＝9（平方厘米）
18÷3＝6（块）
15÷3＝5（块）
一共：6×5＝30（块）
答：每块小正方形的面积最大是9平方厘米，可以裁成30块。
分析：本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。
23．6岁
分析：解答本题时首先把360分解质因数，然后把这些质因数转化为4个相邻的自然数。
详解：根据分析可得：
360
＝2×2×2×3×3×5
＝3×（2×2）×5×（2×3）
＝3×4×5×6
所以这四个小朋友的年龄分别是3岁、4岁、5岁、6岁。
6＞5＞4＞3
答：最大的小朋友6岁。
分析：本题是一道分解质因数类型的题目，解决这类问题的关键是明确相邻自然数相差1；分解质因数就是把一个合数分解成几个质因数的乘积的形式。
24．24支；9元
分析：先把216分解质因数：216＝3×3×3×2×2×2＝9×24＝8×27；考虑到降价1元，可以多买3支钢笔，9－8＝1，原来钢笔的价钱为9元，27－24＝3，降价1元后多买了3支，杭老师买了24支钢笔，据此解答。
详解：216＝3×3×3×2×2×2
＝9×24
＝8×27
9－8＝1
27－24＝3，符合题意，每支钢笔的原价是9元，买了24支。
答：杭老师买了24支钢笔，每支钢笔9元。
分析：解答本题的关键是分析题意，找到关键描述语，利用分解质因数的方法解答问题。
25．6种；列举见详解
分析：根据找因数的方法，把30写成2个整数乘积的形式，进而根据题意求出有几种不同的栽法；由此解答。
详解：30＝2×15＝3×10＝5×6
每一对因数，都有两种栽法，共有6种，
即栽2行，每行栽15棵；或栽15行，每行栽2棵；
或栽3行，每行栽10棵；或栽10行，每行栽3棵；
或栽5行，每行栽6棵；或栽6行，每行栽5棵。
分析：此题主要考查找一个数因数的方法的灵活应用。
展开更多......
收起↑
