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3.6 公因数与最大公因数
1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因数。
两个数中，如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数；
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大公因数就是1，我们也说这两个数互质。
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
例1：把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。这个组最多有（ ）位同学。
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：B
分析：根据题意可知，如果水果糖有40＋2＝42块，巧克力有35＋1＝36块，正好分完，由此可知，求这个组最多有几名同学，就是求42和36的最大公因数，最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数，据此解答。
详解：40＋2＝42（块）
35＋1＝36（块）
42＝2×3×7
36＝2×3×2×3
42和36的最大公因数是2×3＝6；最多有6位同学。
把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。这个组最多有6位同学。
故答案为：B
例2：4和12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
答案： 4 12
分析：如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。
详解：，12是4的倍数，所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12。
例3：13和26的最大公因数是26。( )
答案：×
分析：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较小的那个数为两个数的最大公因数；如果两个数为互质数，两个数的最大公因数是1，据此解答。
详解：13和26是倍数关系，13和26的最大公因数是13。
原题干说法错误。
故答案为：×
例4：在18的因数上画“”，在30的因数上画“”。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
18和30的公因数有（ ），其中最大公因数是（ ）。
答案：如图所示
1、2、3、6；6
分析：应用列乘法算式法分别找到18和30的因数，18和30公有的因数就是它们的公因数，据此解答。
详解：，，
所以18的因数有1、2、3、6、9、18；如图在图上画出；
，，，
所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30；如图在图上画出；
18和30的公因数有1、2、3、6，其中最大公因数是6。
基础过关练
一、选择题
1．从4、5、7、8这四个数中选出2个数，能组成（ ）组公因数只有1的数。
A．2 B．4 C．5 D．无数
2．下列的说法中，正确的有（ ）个。
①1420除以40，商是35，余数是2；
②a÷b＝8（a、b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是b；
③用6个同样大的正方体可以摆成从前面、右面和上面看到的形状完全相同的物体。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是（ ）厘米。
A．2 B．4 C．8 D．6
4．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（ ）。（单位：厘米。其中“”表示长108厘米、宽80厘米）
A． B． C． D．
5．东东的卧室长5.6米、宽4.8米，选用下面边长最大是（ ）分米的方砖铺地不需要切割。
A．4 B．6 C．7 D．8
6．有一块长方形地，长120米，宽48米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最少要种（ ）棵树。
A．7 B．14 C．18 D．24
7．一根细木棒长24cm，另一根细木棒长32cm，分别将它们截成同样长的小段。如果要求截的小棒尽可能长，且都没有剩余，一共可以截成（ ）段。
A．3 B．4 C．7 D．14
二、填空题
8．求出下面每组数的最大公因数，并说说你发现了什么。
(1)6和30( ) 48和24( ) 20和60( ) 25和75( )
我发现：较小数是较大数的因数时，它们的最大公因数是( )。
(2)7和9( ) 12和13( ) 31和46( ) 25和16( )
我发现：两个数只有公因数1时，它们的最大公因数是( )。
9．找出下面每组数的公因数。
4和6( ) 9和12( )
50和60( ) 64和80( )
10．想一想，填一填。
24的因数： 54的因数：
（1）既是24的因数，又是54的因数的有（ ），这些因数是24和54的公因数。
（2）24和54的公因数中最大的是（ ），这个数是24和54的（ ）。
11．甲数＝a×b，乙数＝a×c（a、b、c为不同的质数），甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
12．一个两位数“2”是3和4的公倍数，里的数是( )，这个两位数与18的最大公因数是( )。
三、判断题
13．13和17没有公因数，只有公倍数。( )
14．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数可能是8和12。( )
15．如果3a＝b，a和b的最大公因数是a。( )
16．把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。( )
17．两个数的公倍数一定是这两个数的公因数的倍数。( )
18．两个数的公倍数的个数一定多于这两个数的公因数的个数。( )
培优提升练
四、计算题
19．求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
18和24 8和9 65和13
五、解答题
20．2023年4月8日郏县姚庄樱花节半程马拉松赛在姚庄乡开赛。右下图是赛道的一部分，赛道在B处拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且ABC三处必须安排志愿者。这段赛道至少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“●”表示出志愿者的大致位置。

21．体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？
22．“六一”儿童节期间，李老师要将一根长24分米的黄彩带和一根长42分米的红彩带，剪成同样长的整分米数的短彩带，且没有剩余。
（1）每根短彩带最长是多少分米？
（2）一共可以剪成几根这样的短彩带？
23．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸裁剪成大小相同的正方形，要求正方形尽可能大且纸没有剩余。一共可以剪多少个这样的正方形？
24．两根电线，第一根长56米，第二根长48米，要把它们剪成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少米？一共能剪成几段？
25．五（4）班学生为庆祝“六一”儿童节，需要用彩带装饰花篮。如果把下边的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？

1．C
分析：先确定一个数，依次写出选出2个数的所有情况，如图，找到所有的搭配结果，再确定公因数只有1的有几组即可。
详解：4和5、4和7、4和8、5和7、5和8、7和8
4和5的公因数只有1；
4和7的公因数只有1；
4和8的公因数除了1还有2、4；
5和7的公因数只有1；
5和8的公因数只有1；
7和8的公因数只有1。
能组成5组公因数只有1的数。
故答案为：C
2．B
分析：运用1420除以40得到的商与余数是不是35和2，由此进行判断即可。
②根据因数、倍数的意义，如果a÷b＝8（a，b都是不为0的自然数），a叫做b的倍数，b叫做a的因数，a和b的最大公因数是b；据此判断；
6个相同的小正方体摆两层，下行层摆4个，分两行，每行2个，从上面看4个正方体的面积呈“田”字，再把另外两个放在“田”字的两个对角上，这样不论从前面、右面、上面看到的形状都是相同的，即4个正方形，呈“田”字；据此判断。
详解：1420÷40＝35……20，所以题干的说法是错误的。
②a÷b＝8（a、b是不为0的自然数），可知a和b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数的a，a和b的最大公因数是b，所以原题说法正确；
如图
用6个同样大小的正方体可以摆成如图的形状，从前面、右面和上面看到的图形完全相同的形状都是4个正方形，呈“田”字；原题说法正确；
综上所述，这三个说法中正确的有2个；
故答案为：B
分析：此题主要考查的知识点比较多，根据各自的意义和解答方法解答即可。
3．B
分析：求每个正方形边长最大，就是求12和8的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数，据此解答。
详解：12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最大公因数是2×2＝4
正方形边长最大是4厘米。
把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是4厘米。
故答案为：B
分析：熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解答本题的关键。
4．C
分析：用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，那么正方形边长12厘米是长方形长和宽的公因数，据此解答。
详解：A．108和80的最大公因数是4，12不是108和80的公因数，不符合题意；
B．90和60的最大公因数是30，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，12不是90和60的公因数，不符合题意；
C．120和72的最大公因数是24，24是12的倍数，所以12是120和72的公因数，符合题意；
D．90和72的最大公因数是18，18的因数有1、2、3、6、9、18，12不是90和72的公因数，不符合题意。
故答案为：C
分析：解答本题的关键是理解要使正方形画纸正好能铺满且没有浪费，也就是正方形画纸的边长是长方形桌面长和宽的公因数，据此作出判断。
5．D
分析：先把卧室的长和宽单位化成分米，再找出长和宽的公因数，即方砖的边长，然后从其中找出与选项相符的即可。
详解：5.6米＝56分米
4.8米＝48分米
56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
56和48的公因数：2，4，8。
小明的卧室长5.6米、宽4.8米，选用边长8分米的正方形砖铺地不需要切割。
故答案为：D
分析：本题主要考查怎么求两个数的公因数，因此掌握求两个数的公因数的方法是解答本题的关键。
6．B
分析：求最少要种多少棵树，就是先求这两个树之间的距离，也就是求两个数的最大公因数，求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；据此求出120和48的最大公因数；要在它的四周和四角种树，封闭图形种树相当于一端植树，一端不植树，即间距数＝棵数；用长方形的周长÷两棵树的间距，据此解答。
详解：120＝2×2×2×3×5
48＝2×2×2×2×3
120和48的最大公因数是2×2×2×3＝24
两棵树的间距是24米。
（120＋48）×2÷24
＝168×2÷24
＝336÷24
＝14（棵）
有一块长方形地，长120米，宽48米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最少要种14棵树。
故答案为：B
分析：本题考查求两个数的最大公因数方法以及植树问题，掌握植树问题的几种情况是解题的关键。
7．C
分析：根据题意，要把两根木棒截成同样长的小段，截的小棒尽可能长，且都没有剩余，则小棒的长度是24和32的最大公因数，求出最大公因数后，再分别用24和32除以这个最大公因数，求出每根木棒截成的段数，最后把段数加起来即可。
把两个数分解质因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。
详解：24＝2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
24和32的最大公因数是2×2×2＝8，则每段长8cm。
24÷8＋32÷8
＝3＋4
＝7（段）
则一共可以截成7段。
故答案为：C
分析：本题考查最大公因数的应用。明确最长小棒的长度是24和32的最大公因数是解题的关键。
8．(1) 6 24 20 25 较小数
(2) 1 1 1 1 1
分析：（1）用质因数分解法求两个数的最大公因数时，先把这两个数分解质因数，则全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。这几组数中，较小数是较大数的因数，那么它们的最大公因数是其中的那个较小数。
（2）两个数公有的因数叫这两个数的公因数，其中最大的一个即是它们的最大公因数。这几组数是互质数，它们的最大公因数是1。
详解：（1）6＝2×3
30＝2×3×5
则6和30的最大公因数是2×3＝6；
48＝2×2×2×2×3
24＝2×2×2×3
则48和24的最大公因数是2×2×2×3＝24；
20＝2×2×5
60＝2×2×3×5
则20和60的最大公因数是2×2×5＝20；
25＝5×5
75＝3×5×5
则25和75的最大公因数是5×5＝25。
通过观察可以发现：较小数是较大数的因数时，它们的最大公因数是较小数。
（2）7的因数有：1、7；
9的因数有：1、3、9；
则7和9的最大公因数是1。
12的因数有：1、2、3、4、6、12；
13的因数有：1、13；
则12和13的最大公因数是1。
31的因数有：1、31；
46的因数有：1、2、23、46；
则31和46的最大公因数是1。
25的因数有：1、5、25；
16的因数有：1、2、4、8、16；
则25和16的最大公因数是1。
通过分析可得：两个数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。
9． 1、2 1、3 1、2、5、10 1、2、4、8、16
分析：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身．两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数，由此解答。
详解：4＝2×2
6＝2×3
4和6的公因数有1、2。
9＝1×9＝3×3
12＝1×12＝2×6＝3×4
9和12的公因数有：1、3。
50＝1×50＝2×25＝5×10
60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10
50和60的公因数有：1、2、5、10。
64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8
80＝1×80＝2×40＝4×40＝5×16＝8×10
64和80的公因数有：1、2、4、8、16。
10．填表见详解
（1）1、2、3、6
（2）6；最大公因数
分析：可以用列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是24和54的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是24和54的因数。
（1）根据24和54各自的因数，从中找出24和54公有的因数，即它们的公因数。
（2）由（1）可得出24和54的公因数中最大的数，这个数就是24和54的最大公因数。
详解：24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9
填表如下：
24的因数： 1、2、3、4、6、8、12、24 54的因数： 1、2、3、6、9、18、27、54
（1）既是24的因数，又是54的因数的有1、2、3、6，这些因数是24和54的公因数。
（2）24和54的公因数中最大的是6，这个数是24和54的最大公因数。
11． a abc
分析：两个数的全部公有质因数相乘的积就是这两个数的最大公因数；两个数的全部公有的质因数和各自独有的质因数连乘的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
详解：甲数＝a×b，乙数＝a×c，所以甲乙两数的公有质因数是a，甲数独有的质因数是b，乙数独有的质因数是c，所以甲、乙两数的最大公因数是a，最小公倍数是abc。
12． 4 6
分析：首先根据同时是3和4的倍数的特征，个位上必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上是几，再根据求两个数的最大公因数的方法解答。
详解：根据同时是3和4的倍数的特征，个位上必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上是4；
24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以24和18的最大公因数是2×3＝6。
13．×
分析：根据互质数的特征可知，13和17是互质数，它们的公因数只有1，不是没有公因数；除0外，任意两个自然数都有无数个公倍数，据此判断。
详解：13的因数：1，13。
17的因数：1，17。
13和17的公因数只有1，而不是没有公因数，所以原题说法错误；
故答案为：×
14．×
分析：最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此可设这两个数分别是4x，4y，x和y互质，且4xy＝12，据此求出xy的积，进而推出x和y的值，最后推出这两个数。据此解答。
详解：设这两个数分别是4x，4y，
4xy＝12
解：4xy÷4＝12÷4
xy＝3
3＝1×3
1×4＝4
3×4＝12
两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数是4和12。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了最大公因数和最小公倍数的认识和应用。
15．√
分析：求两个数的最大公因数如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；据此解答。
详解：因为3a＝b
b是a的3倍，
所以b和a是倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，也就是a。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了求最大公因数的方法。
16．√
分析：根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。
详解：18＝2×3×3
12＝3×2×2
2×3＝6
所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。
故答案为：√
分析：本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。
17．√
分析：根据公因数和最小公倍数的意义可知，两个数的公有的因数，叫做两个数的公因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，可以举例证明。
详解：最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，例如：4的因数有1、2、4；6的因数有：1、2、3、6；4和6的公因数有1和2。4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。由以上可知：12是l和2的倍数。所以两个数的公倍数一定是这两个数的公因数的倍数的说法是正确的。
故答案为：√
分析：本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义。
18．√
分析：两个数公有因数叫做这两个数的公因数；两个数公有倍数叫做这两个数的公倍数；两个数的公倍数的个数是无限的，两个数的公因数的个数是有限的； 据此解答。
详解：例如：2和6
2和6的公因数有：1，2；
2和6的公倍数有：6，12，18，24…
2和6的公倍数有无数个，而它们的公因数只有2个，所以两个数的公倍数的个数一定多于这两个数的公因数的个数。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：掌握公因数、公倍数的定义以及特点是解题的关键。
19．（1）最大公因数6，最小公倍数72；（2）最大公因数1，最小公倍数72；（3）最大公因数13，最小公倍数65
分析：用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。
成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
详解：（1）18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
则18和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×3×2×2＝72。
（2）8和9是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72。
（3）65是13的倍数，则65和13的最大公因数是13，最小公倍数是65。
20．8名；见详解
分析：根据题意可知，AB长120米，BC长90米，在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，求出每相邻的两个志愿者之间的距离最长是多少米，就是求120和90的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，也就是30米，然后用（120＋90）÷30求出志愿者之间的总间隔数，因为ABC三处必须安排志愿者所以总间隔数＋1即可求出至少要安排多少名志愿者。
详解：120＝2×2×2×3×5
90＝2×3×3×5
120和90的最大公因数是2×3×5＝30
（120＋90）÷30
＝210÷30
＝7（名）
7＋1＝8（名）
答：这段赛道至少要安排8名志愿者。
如图：

分析：本题主要考查了求最大公因数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。
21．训练小组：12个；可乐：5瓶；矿泉水：6瓶
分析：求出60和72的最大公因数，即为有几个训练小组；分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数，即可求出两种饮料各多少瓶。
详解：60＝2×2×3×5
72＝2×2×2×3×3
60和72的最大公因数是2×2×3＝12。
60÷12＝5（瓶）
72÷12＝6（瓶）
答：最多有12个训练小组；每个小组分得可乐5瓶；矿泉水6瓶。
分析：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
22．（1）6分米；（2）11根
分析：（1）将24和42分别分解质因数，再求出公有质因数的乘积，求出这两个数的最大公因数，即每根短彩带最长是多少分米；
（2）利用除法，分别求出黄彩带剪成了几段、红彩带剪成了几段，再利用加法求出一共可以剪成几根这样的短彩带。
详解：（1）24＝2×2×2×3
42＝2×3×7
2×3＝6
所以，24和42的最大公因数是6。
答：每根短彩带最长是6分米。
（2）24÷6＋42÷6
＝4＋7
＝11（根）
答：一共可以剪成11根这样的短彩带。
分析：本题考查了最大公因数，掌握最大公因数的求法是解题关键。
23．6个
分析：要使正方形尽可能大且没有剩余，则正方形的边长是18和12的最大公因数，据此求出正方形的边长，用18除以边长得到列数，用12除以边长得到行数，行乘列即可求出总个数。
详解：18＝2×3×3
12＝2×2×3
18和12的最大公因数是：2×3＝6
（18÷6）×（12÷6）
＝3×2
＝6（个）
答：一共可以剪6个这样的正方形。
分析：此题考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力。
24．8米；13段
分析：根据题意，可计算出56与48的最大公因数，即每小段最长的长度，然后再用56除以最大公因数加上48除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
详解：56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
2×2×2
＝4×2
＝8
所以56与48的最大公因数是8，即每小段最长是8米；
56÷8＋48÷8
＝7＋6
＝13（段）
答：每小段最长是8米，一共可以截成13段。
分析：正确理解题意，熟练掌握最大公因数的求法，是解答此题的关键。
25．30厘米；5根
分析：把90厘米、60厘米长的两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带要最长，就是求90和60的最大公因数。
把90、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。
再看90、60里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，即是一共可以剪成这样的短彩带的总根数。
详解：90＝2×3×3×5
60＝2×2×3×5
90和60的最大公因数是：2×3×5＝30
即每根短彩带最长是30厘米。
90÷30＋60÷30
＝3＋2
＝5（根）
答：每根短彩带最长是30厘米，一共可以剪成这样的短彩带5根。
分析：本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。

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