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3.7 公倍数与最小公倍数
6，12，18 ，24，…既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
6和9的公倍数有18，36，54，…其中最小的是18。18就是6和9的最小公倍数。
两个数中，如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积。两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
例1：若a－b＝1（a、b为非零自然数），则a与b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．ab D．1
答案：C
分析：因为a－b＝1，所以a、b是相邻的两个自然数，那么a与b的最小公倍数是a与b的乘积，据此解答。
详解：根据分析，a、b是相邻的两个自然数，那么a与b的最小公倍数是a与b的乘积ab。比如a＝6，b＝5，则a与b的最小公倍数是6×5＝30。
故答案为：C
例2：一个汽车站内有两路公共汽车，1路公共汽车每4分钟发一趟车，2路公共汽车每5分钟发一趟车，这两路公共汽车在7：06同时发车。把下面表格填写完整。
1路车 7：06 7：10
2路车 7：06 7：11
（1）两车（ ）：（ ）再次同时发车。
（2）预测一下，两车（ ）：（ ）第三次同时发车。
答案：表格见详解：
（1）7：26
（2）7：46
分析：因为4和5的最小公倍数是20，由此可知两车至少经过20分钟又同时发车。据此解答。
详解：填表如下：
1路车 7：06 7：10 7：14 7：18 7：22 7：26 7：30
2路车 7：06 7：11 7：16 7：21 7：26 7：31 7：36
7时6分 ＋20分＝7时26分
（1）两车（7 ）：（26）再次同时发车。
7时26分 ＋20分＝7时46分
（2）两车（7）：（46）第三次同时发车。
例3：a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是420。( )
答案：×
分析：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
详解：3×3×5×7＝315
a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是315，原题说法错误。
故答案为：×
例4：妈妈买来一箱鸡蛋，有90多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出妈妈一共买了多少个鸡蛋吗？
答案：96个
分析：根据题意，鸡蛋有90多个，且鸡蛋的个数既是8的倍数，也是12的倍数。求出8和12的最小公倍数，再用最小公倍数依次乘2、3、4、5……，直到得数为90多，据此解答。
详解：
8和12的最小公倍数是：；
（个）
（个）
（个）
答：妈妈一共买了96个鸡蛋。
基础过关练
一、选择题
1．一筐苹果，平均分给6个人，最后剩下2个；平均分给9个人，最后还是剩下2个。这筐苹果最少有（ ）个。
A．50 B．38 C．20 D．18
2．用若干个长5厘米、宽3厘米的长方形拼成一个正方形，这个正方形的边长至少是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
A．8，64 B．15，225 C．30，900
3．10÷5＝a，10和a的最小公倍数是（ ）。
A．a B．10 C．5 D．10a
4．如果m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍数是（ ）。
A．m B．12 C．n D．1
5．和是非零的自然数，且，已知，那么与的最小公倍数是（ ）。
A． B． C．1 D．
6．六（1）班学生不超过50人，在分组时，4人一组或6人一组都刚好分完。这个班人数可能是（ ）人。
A．40 B．42 C．48
7．学校合唱社团，每组5人或每组8人都多1人，学校合唱社团最少有（ ）。
A．81人 B．41人 C．40人 D．39人
二、填空题
8．从小到大写出6和8的倍数，再填空。
6的倍数 …
8的倍数 …
（1）表格中既是6的倍数，又是8的倍数的有（ ），这些数是6和8的公倍数。
（2）6和8的公倍数中最小的是（ ），这个数是6和8的（ ）。
9．课间，六（2）班学生（不超过50人）玩报数游戏。他们先按1－2报数，再按1－2－3报数，最后按1－2－3－4－5－6－7报数。最后一位学生每次都报1，由此可以知道这个班有( )名学生。
10．面包店烤好了一批面包，每12个装一袋或者每15个装一袋都正好装完，这批面包至少有( )个。
11．天干地支，简称干支，源自中国远古时代对天象的观测。
天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份，例如：2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年……那么下一个癸卯年是( )年。
12．如果b＝5a（a、b都是不为0的自然数），那么a与b的最小公倍数是( )。
三、判断题
13．如果、、都是不为0的自然数），那么和的最小公倍数是。( )
14．两个非0自然数的公倍数的个数是无限的。( )
15．任何两个自然数都有无数个公倍数。( )
16．两个质数相乘的积是它们的最小公倍数。( )
17．两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是17。( )
培优提升练
四、计算题
18．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和2 12和20 7和8 15和75
五、解答题
19．一条跑道长96米，原来从起点到终点每隔3米插一面红旗，现在改成每隔4米插一面红旗，不需要移动的红旗有几面？
20．一篮苹果，5个5个地数，最后还差4个，7个7个地数，最后还余下1个。这篮苹果最少有多少个？
21．亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月31日他们两人在图书馆相遇，下一次相遇是几月几日？
22．小华的爸爸每上班4天休息1天，妈妈每上班6天休息1天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么下一次同时在家休息是几月几日？
23．王叔叔家有两个儿子都在外地上班，哥哥6天回家一次在家休息两天，弟弟8天回家一次在家休息两天，兄弟两人同时在4月20日回家，下一次两人同时回家的时间是几月几日？
24．暑假期间，小红和小刚都去图书馆借书。小红每8天去一次，小刚每6天去一次。7月13日两人第一次在图书馆见面，几月几日她们会在图书馆第二次相遇？
25．用若干块长是12厘米、宽是9厘米的长方形硬纸板铺成一个大的正方形。这个正方形的边长最小是多少厘米？
1．C
分析：由题意可知：若将这筐苹果的个数减去2后，则苹果的个数既是6的倍数，又是9的倍数。求这筐苹果最少有多少个，可以先求6和9的最小公倍数，再加2。
详解：
6和9的最小公倍数是3×2×3＝18。
18＋2＝20（个）
所以，这筐苹果最少有20个。
故答案为：C
2．B
分析：根据题意，拼成的正方形的边长至少是5和3的最小公倍数。再根据“正方形面积＝边长×边长”求出它的面积即可。
详解：5×3＝15（厘米）
15×15＝225（平方厘米）
所以，这个正方形的边长至少是15厘米，面积是225平方厘米。
故答案为：B
分析：本题考查了最小公倍数和正方形的面积，掌握最小公倍数的求法、正方形的面积公式是解题的关键。
3．B
分析：求两个数的最小公倍数，就是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，较大的数是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，两个的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
详解：因为10÷5＝a，所以10÷a＝5，10和a成倍数关系，10和a的最小公倍数是10。
10÷5＝a，10和a的最小公倍数是10。
故答案为：B
分析：熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
4．A
分析：求两个数的最小公倍数，就是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，较大的数是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，两个的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
详解：因为m÷12＝n，所以m和12成倍数关系，最小公倍数是m。
如果m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍数是m。
故答案为：A
分析：熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
5．A
分析：根据题意可知，a＝3b，a÷b＝3；a和b成倍数关系；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；据此解答。
详解：a＝3b，则a÷b＝3，a和b成倍数关系。
a和b的最小公倍数是a。
a和b是非零的自然数，且，已知a＝3b，那么a与b的最小公倍数是a。
故答案为：A
分析：本题考查两个数为倍数关系时，求最小公倍数，本题关键是观察得出来两数是倍数关系。
6．C
分析：由题意可知：该班人数是小于50的4和6的公倍数；据此解答。
详解：4＝2×2
6＝2×3
所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12
12×2＝24
12×3＝36
12×4＝48
结合选项可知：这个班人数可能是48人。
故答案为：C
分析：本题主要考查公倍数的实际应用。
7．B
分析：求出5和8的最小公倍数，再加上1，即可求出最少有多少人。
详解：5×8＋1
＝40＋1
＝41（人）
所以，学校合唱社团最少有41人。
故答案为：B
分析：本题考查了公倍数的计算与应用，理解题意，找出最小公倍数是解决本题的关键。
8．
见详解
（1）24、48
（2）24；最小公倍数
分析：一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最小公倍数只有一个，用列举法找出两个数的最小公倍数，由此解决问题即可。
详解：6×1＝6
6×2＝12
6×3＝18
6×4＝24
6×5＝30
……
8×1＝8
8×2＝16
8×3＝24
8×4＝32
8×5＝40
……
填空如下：
6的倍数 6 12 18 24 30 36 42 48 …
8的倍数 8 16 24 32 40 48 56 64 …
（1）表格中既是6的倍数，又是8的倍数的有24、48，这些数是6和8的公倍数。
（2）6和8的公倍数中最小的是24，这个数是6和8的最小公倍数。
9．43
分析：本题考查公倍数的实际应用。按1－2报数，最后一人报1，说明学生人数是2的倍数加1；按1－2－3报数，最后一人报1，说明学生人数是3的倍数加1；按1－2－3－4－5－6－7报数，最后一人报1，说明学生人数是7的倍数加1。则出勤学生人数是2、3、7的公倍数加1，在50以内2、3、7的公倍数只有2×3×7＝42，所以六（2）班有42＋1＝43（名）学生。
详解：2×3×7＝42（人）
42＋1＝43（人）
则这个班有43名学生。
10．60
分析：每12个装一袋或者每15个装一袋都正好装完，说明面包个数是12和15的公倍数，求出12和15的最小公倍数是面包至少个数，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
详解：12＝2×2×3
15＝3×5
2×2×3×5＝60（个）
这批面包至少有60个。
11．2083
分析：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
已知天干有10个，地支有12个，求出天干和地支数量的最小公倍数，是下一个癸卯年的间隔时间，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一个癸卯年即可。
详解：10＝2×5
12＝2×2×3
2×2×3×5＝60（年）
10和12的最小公倍数是60。
2023＋60＝2083（年）
那么下一个癸卯年是2083年。
12．b
分析：当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。据此解答即可。
详解：b＝5a（a、b都是不为0的自然数），说明b是a的倍数，b是较大数，a是较小数，所以a与b的最小公倍数是b。
13．√
分析：由a÷b＝c（a、b、c都是不为0的自然数），可知a和c是倍数关系，根据倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此可判断此题说法是否正确。
详解：如果、、都是不为0的自然数），那么和的最大公因数是，最小公倍数是，所以原题的说法正确。
故答案为：√
分析：本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，注意倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
14．√
分析：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数，一个数的因数是有限的，倍数是无限的；几个数公有的因数，就叫这几个数的公因数；几个数公有的倍数就叫这几个数的公倍数，公因数是有限的，公倍数是无限的。据此解答。
详解：因为一个数的倍数个数是无限的，只有最小的倍数，没有最大的倍数，所以两个非0自然数的公倍数中只有最小公倍数，没有最大的公倍数，公倍数的个数是无限的。
故答案为：√
分析：掌握倍数和因数的特征、公倍数和公因数的含义是解决此题的关键。
15．×
分析：因为一个数的倍数的个数是无限的，但是0除外。
详解：由分析可知：除0以外，任何两个自然数的公倍数的个数是无限的；所以原题说法错误。
故答案为：×
分析：此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义；明确：0除外，一个数的倍数的个数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的。
16．√
分析：两个质数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
详解：两个质数相乘的积是它们的最小公倍数。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：根据最小公倍数求法和质数的意义，进行解答。
17．√
分析：根据题意，两个相邻自然数是互质数，这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；因为8×9＝72，由此可知，这两个数是8和9，再把8与9相加，即可解答。
详解：根据分析可知，这两个数为8和9
8＋9＝17
两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是17。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：明确两个相邻自然数是互质数是解题的关键。
18．2，8；4，60；1，56；15，75
分析：成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。
详解：（1）8是2的倍数，则8和2的最大公因数是2，最小公倍数是8。
（2）12＝2×2×3
20＝2×2×5
12和20的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60。
（3）7和8是互质数，则7和8的最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。
（4）75是15的倍数，则它们的最大公因数是15，最小公倍数是75。
19．9面
分析：3和4的最小公倍数是12，所以每12米有1面红旗不需要移动，96÷12＋1＝9（面），注意不能遗漏第1面！
详解：3和4的最小公倍数是12
96÷12＋1
＝8＋1
＝9（面）
答：不需要移动的红旗有9面。
20．36个
分析：本题考查最小公倍数的应用。5个5个地数差4个，也就是5个5个地数会余下1个；又因为7个7个地数，苹果也余下1个，所以如果拿走1个苹果，那么苹果的个数是5和7的公倍数，所以这篮苹果最少时，个数比5和7的最小公倍数多1个，5和7的最小公倍数是35，据此解答即可。
详解：5和7的最小公倍数是35，35＋1＝36（个）
答：这篮苹果最少有36个。
21．8月28日
分析：4和7 的最小公倍数是28,也就是每28天两人同时去图书馆借书一次,7月31日再过28天是8月 28日,所以下一次相遇是8月28日。
详解：4和7的最小公倍数是28，所以他们下一次相遇是8月28日。
答：下一次相遇是8月28日。
分析：本题考查了最小公倍数的应用 。
22．3月25日
分析：根据题意，爸爸每上班4天休息1天，即爸爸每5天休息1天；妈妈每上班6天休息1天，即妈妈每7天休息一天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息的天数为5和7的最小公倍数，再根据2022年是平年，2月有28天，得出下一次两人同时在家休息的日期。
详解：4＋1＝5（天）
6＋1＝7（天）
5和7的最小公倍数是：5×7＝35
即每35天两人同时在家休息。
2022÷4＝505……2
2022年是平年，2月有28天。
28－18＝10（天）
35－10＝25（天）
即2022年2月18日再经过35天是3月25日。
答：下一次同时在家休息是3月25日。
23．5月14日
分析：根据哥哥每6天回家一次，弟弟每8天回家，即求出6、8的最小公倍数，即可求出再过多少天他们才能再一次见面，然后进一步解答即可。
详解：6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
即再过24天再回家一次；
4月20日＋24天＝5月14日
答：下一次同时回家是5月14日。
24．8月6日
分析：根据题意，先求出8和6的最小公倍数，再将7月13日加上这个最小公倍数，求出几月几日她们会在图书馆第二次相遇。
详解：8＝2×2×2
6＝2×3
2×2×2×3＝24
所以，8和6的最小公倍数是24。
7月13日＋24日＝8月6日
答：8月6日她们会在图书馆第二次相遇。
分析：本题考查了最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。
25．36厘米
分析：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数，求出长方形长和宽的最小公倍数，就是拼成的最小正方形的边长，
详解：12＝2×2×3
9＝3×3
2×2×3×3＝36（厘米）
答：这个正方形的边长最小是36厘米。
分析：关键是理解最小公倍数的意义，掌握最小公倍数的求法。

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