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3.8 整理与练习
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
找一个数的倍数，用这个数分别去乘自然数1,2,3，…所得的积都是这个数的倍数。一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，一个数的倍数的个数是无限的。
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数就是3的倍数；个位上是0、5的数都是5的倍数。
质数和合数的特征：
自然数（0除外）按因数的个数分为质数、合数和1；最小的质数是2，最小的合数是4；质数和合数的个数是无限的，没有最大的质数和合数。
2是唯一一个既是偶数又是质数的数。
例1：花店里有48朵玫瑰和36朵百合，现在用这两种花扎成花束，每束花中玫瑰和百合的朵数分别相同，且无剩余，最多能扎（ ）束花。
A．6 B．7 C．12
答案：C
分析：每束花中玫瑰和百合的朵数分别相同，且无剩余，所以束数是48的因数，也是36的因数。要使花的束数最多，则束数就是48和36的最大公因数，据此解答。
详解：
48和36的最大公因数是，所以最多能扎12束花；
故答案为：C
例2：在括号里填上合适的质数。
21＝( )＋( ) 25＝( )＋( )
答案： 19 2 23 2
分析：
一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此填空。
详解：
21＝19＋2 25＝23＋2
例3：只有两个质数才能成为互质数，两个合数不能成为互质数。( )
答案：×
分析：公因数只有1的两个数为一组互质数，根据这个概念，结合质数和合数的概念，再通过举例子的方式来判断题干正误即可。
详解：只有公因数1的两个数为互质数，因此两个质数一定是互质数，合数也可能成为互质数，比如8和9都是合数，但是8和9的公因数只有1，因此8和9也是互质数，所以本题说法错误。
故答案为：×
例4：将下面各数分解质因数。
39 18 45 80
答案：见详解
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
详解：39＝3×13
18＝2×3×3
45＝3×3×5
80＝2×2×2×2×5
基础过关练
一、选择题
1．正方形的边长是一个质数，它的面积一定是（ ）。
A．奇数 B．合数 C．质数 D．偶数
2．下面的说法中正确的有（ ）句。
（1）最小的质数和最小的合数都是偶数。
（2）5个连续自然数的和一定是5的倍数。
（3）大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
（4）一个自然数至少有3个因数。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下面哪道题的被除数不是除数的倍数。（ ）
A．80÷16 B．156÷39 C．92÷27
4．用2、5、8三张数字卡片组成的三位数中（数字不能重复使用），（ ）的倍数最多。
A．2 B．3 C．5
5．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（ ）。（单位：厘米。其中“”表示长108厘米、宽80厘米。）
A． B． C．
二、填空题
6．五年级（1）班学生人数在45~60之间。参加植树活动时，如果每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余。这个班有( )人。
7．在1－20的自然数中，( )既是质数，也是偶数。既是奇数又是合数的是( )。
8．从0、1、3、5中选三个数字组成三位数。在组成的所有三位数中，最大的奇数是( )，最小的3的倍数是( )。
9．一个数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )，把它分解质因数是( )。
10．在1、2、3、4、6、8、12、16、24、48中，2和3的公倍数有( )；16和24的公因数有( )。
11．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。今年端午节，小红家包了许多粽子，妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居，接着又把18个蜜枣粽平均分给了这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了( )家邻居。
三、判断题
12．质数与质数相乘的积肯定是合数。( )。
13．长方形的长和宽都是质数，它的面积一定是质数。( )
14．一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( )
15．用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数。( )
16．因为，所以4和7都是28的质因数。( )
培优提升练
四、计算题
17．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
9和10 12和18 34和51
18．先找出下面数中的合数，再把它们分解质因数。
17 24 30 31 51
五、解答题
19．迷你马拉松正在某城市举行，如图，这是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排。那么这段赛道最少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“*”表示出志愿者大致的位置。
20．有两根彩绳，一根长18米，另一根长24米，要把它们裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？一共可以裁成多少小段？
21．4路公交车和7路公交车在同个站点始发。4路公交车每8分钟发一辆车，7路公交车每12分钟发一辆车。早上6时，两个线路的公交车同时发车，至少再过多长时间它们再次同时发车？
22．王老师把20本语文本和25本数学本平均分给第一小组的同学，结果语文本多了2本，数学本少了2本。第一小组最多有多少人？
23．有两根钢管分别长24分米、20分米，现在要把它们锯成同样长的小段，每段钢管要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共可以锯成多少这样的小段？
24．把45块水果糖和40块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖正好分完，巧克力剩下4块。这个组最多有几名同学？
1．B
分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；
在自然数中，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；
在自然数中，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；
再根据正方形面积公式，S＝边长×边长，进行判断即可。
详解：由分析可得：
假设正方形的边长是2（质数），所以面积为：2×2＝4，
4是合数，4不是奇数，也不是质数，所以正方形面积一定是奇数和质数是错误的；
假设正方形的边长是3（质数），所以面积为：3×3＝9，
9是合数，9不是偶数，所以正方形面积一定是偶数是错误的；
所以正方形的边长是一个质数，它的面积一定是合数。
故答案为：B
分析：本题考查了奇数、偶数、质数、合数的概念，要求学生不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，熟练的运用到题目中来，同时牢记正方形面积公式。
2．C
分析：（1）在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
（2）用5个连续自然数的和除以5，能除尽即为5的倍数，据此判断即可。
（3）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（4）根据质数和合数的概念进行判断。
详解：（1）最小的质数是2，最小的合数是4，都是偶数，所以这个说法正确；
（2）假设这5个自然数的中间那个是a，则5个自然数分别是a－2，a－1，a，a＋1，a＋2，则5个数的和为：
（a－2）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋2）
＝a－2＋a－1＋a＋a＋1＋a＋2
＝5a
5a÷5＝a，所以5个连续自然数的和一定是5的倍数说法正确；
（3）大于1的自然数要么就是2的倍数，要么就不是2的倍数，所以不是奇数就是偶数；1既不是质数也不是合数，大于1也就是把1排除，即大于1的自然数不是质数就是合数，所以大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数说法正确；
（4）合数至少有3个因数，比如4，有因数1、2、4，所以4是合数；2也是自然数，但是2只有1和它本身两个因数，所以2是质数；由此可得一个自然数至少有3个因数说法错误。
综上所述：（1）、（2）、（3）说法正确，（4）说法错误。
故答案为：C
分析：本题考查了质数合数，奇数偶数，5的倍数等概念，要求学生不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，熟练的运用到题目中来。
3．C
分析：先根据整数除法的计算方法，求出各个算式的结果，再找出算式中没有余数的，这样的算式被除数就是除数的倍数。
详解：A．80÷16＝5
B．156÷39＝4
C．92÷27＝3……11
D．351÷27＝13
故答案为：C
分析：本题考查了整数除法的计算方法，以及因数和倍数的关系。
4．B
分析：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；依此即可求解。
详解：2＋5＋8＝15，15是3的倍数，所以用2、5、8三张数字卡片组成的三位数都是3的倍数。
故答案为：B
分析：熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
5．C
分析：根据题意可知，正方形的边长是长方形长、宽的公因数，据此解答。
详解：A．108和80的最大公因数是4，不符合题意；
B．90和60的最大公因数是30，没有公因数12，不符合题意；
C．120和72的最大公因数是24，含有公因数12，符合题意；
故答案为：C
分析：根据公因数的实际应用，当数字较大时，求两个数的公因数用短除法。
6．48
分析：即求45~60之间的6、8的公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。
详解：6＝2×3，8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
因为在45－60之间，所以这个班有的人数应为：24×2＝48（人）
这个班有48人。
分析：本题考查了公倍数应用题．解答此题的关键是先求出6和8的最小公倍数，进而结合题意，解答得出结论。
7． 2 9、15
分析：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其它的因数，这个数叫做合数。据此解答。
详解：由分析可知：
1－20的自然数中，2既是质数，也是偶数。既是奇数又是合数的是9、15。
分析：本题考查了质数、合数、奇数、偶数的认识和辨别。
8． 531 105
分析：因为是奇数并且最大，因此个位应为奇数，这个奇数应从最大数字开始排列，因此最大奇数应为531；根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，则这个数是3的倍数，由于0＋1＋5＝6，1＋3＋5＝9，6和9是3的倍数，则数字0、1、5构成的数是3的倍数，数字1、3、5构成的数是3的倍数，据此解答。
详解：在组成的所有三位数中，最大的奇数是531；
1＋0＋5＝6
1＋3＋5＝9
所以由0、1、5组成的最小3的倍数是105；
由1、3、5组成的最小3的倍数是135；
105＜135
在组成的所有三位数中，最小的3的倍数是105。
分析：本题主要考查了奇数的定义以及3的倍数特征。
9． 30 2×3×5
分析：由题意可知，这个数是2、3、5的倍数，根据2、5的倍数特征，这个数的个位一定是0；一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可；然后把这个数写成几个质数的乘积形式即可。
详解：由分析可知：
一个数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是30，把它分解质因数是2×3×5。
分析：本题考查2、3、5的倍数特征，明确其特征是解题的关键。
10． 6、12、24、48 1、2、4、8
分析：公因数就是，两个或者两个以上的整数，如果一个整数是他们共同的因数，那么这个数就是他们的公因数。公倍数就是，两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数就是他们的公倍数。据此解答。
详解：2和3的最小公倍数是6，6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48……，结合题意可得：2和3的公倍数有6、12、24、48；
16的因数有：1、2、4、8、16；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
16和24的公因数有：1、2、4、8。
分析：明确公因数、公倍数的概念以及求法，有顺序的筛选题目里的数字，不要重复和遗漏。
11．6
分析：由题意“30个肉粽平均分给这几家或18个蜜枣粽平均分给这几家都正好分完”可知：实际上是在求30和18的最大公因数，先把30和18进行分解质因数，根据求两个数的最大公因数的方法：即这两个数的公有质因数的连乘积；进行解答即可。
详解：30＝2×3×5
18＝2×3×3
30和18的最大公因数是：2×3＝6。
即这些粽子最多分给了6家邻居。
分析：解答该题关键是会求两个数的最大公因数，并用它解决实际问题。
12．√
分析：除了1和它本身以外不再有其它因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其它因数，这样的数叫合数，据此解答。
详解：如质数2；2×2＝4，4的因数有1、2、4，所以两个质数相乘的积一定是合数。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握质数和合数的意义是解答本题的关键。
13．×
分析：质数：一个数除了1和它本身之外没有别的因数的数；合数：一个数除了1和它本身之外还有别的因数的数；长方形的面积＝长×宽，长和宽都是质数，则质数×质数所得的乘积除了1和它们本身之外，还有它们的乘积，所以它的面积一定是合数，据此判断。
详解：长方形的长和宽都是质数，它的面积一定是合数。
故答案为：×
分析：掌握质数和合数的概念及长方形的面积公式是解答本题的关键。
14．×
分析：一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，这是正确的，自然数里有没有既不是质数又不是合数的数，举出一个反例证明就可以。
详解：一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，这是正确的；
但是1是自然数，而1既不是质数也不是合数，
所以原题说法是错误的。
故答案为：×
分析：本题主要考查奇数、偶数、质数、合数与自然数的关系，注意1既不是质数也不是合数。
15．√
分析：根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，就是3的倍数，分析即可求解。
详解：2＋6＋7＝15；15是3的倍数。所以用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数；
故答案为：√
分析：根据3的倍数特征进行解答。
16．×
分析：根据质因数的意义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 ，这几个质数就都叫做这个合数的质因数；4是合数，不是质数；据此判断。
详解：因为4是合数，不是质数，所以在4×7＝28这个算式中，4和7是28的因数，但不是质因数，原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了质因数的意义，质因数必须是质数。
17．9和10的最大公因数是1，最小公倍数是90；
12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36；
34和51的最大公因数是17，最小公倍数是102。
分析：求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
详解：9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，最小公倍数是9×10＝90；
12＝2×3×2，18＝2×3×3，所以12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36；
34＝17×2，51＝17×3，所以34和51的最大公因数是：17，最小公倍数是：17×2×3＝102；
分析：熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解决此题的关键。
18．合数有：24，30，51；
24＝2×2×2×3；
30＝2×3×5；
51＝17×3
分析：自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫做质数；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；分解质因数的方法，一个合数可以写成几个质数连乘积的形式，叫做分解质因数。由此解答。
详解：合数有：24，30，51；
24＝2×2×2×3；
30＝2×3×5；
51＝17×3
分析：此题考查的目的是理解和掌握质数与合数、分解质因数的概念及意义，掌握分解质因数的方法。
19．6名；图见详解
分析：根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，先根据求两个数最大公因数的方法，求出两名志愿者之间的间距，即60和40的最大公因数，因为A、B、C处必须安排志愿者，就是植树问题中两端都植树，再用全长÷间距＝间隔数，再加上1，就是植树的棵数，也就是需要志愿者的人数，据此解答。
详解：60＝2×2×3×5
40＝2×2×2×5
60和40的最大公因数：2×2×5＝20
（60＋40）÷20＋1
＝100÷20＋1
＝5＋1
＝6（名）
图如下：
答：这段赛道最少要安排6名志愿者。
分析：熟练掌握植树问题的解答方法以及最大公因数的求法是解答本题的关键。
20．6米；7段
分析：根据“裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？”可知，就是求18和24的最大公因数；再用两根彩绳的长度分别除以每小段彩绳的长度即可求出两根彩绳分别裁成的段数，再相加即可。
详解：18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是2×3＝6
每小段最长是6米。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
分析：熟练掌握两个数的最大公因数的求法：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
21．24分钟
分析：分析题目，求至少再过多长时间再次同时发车，就是求8和24的最小公倍数，具有倍数关系的两个数最小公倍数是其中的较大数，据此结合24是8的倍数解答即可。
详解：8和24的最小公倍数是24；
即至少再过24分钟它们再次同时发车。
答：最少再过24分钟它们再次同时发车。
分析：掌握求最小公倍数的方法是解答本题的关键。
22．9人
分析：根据题意可知，分给第一小组的语文本为（20－2）本，数学本为（25＋2）本，要求第一小组有多少名同学，就是求分给第一小组语文、数学本数的最大公因数。
详解：20－2＝18（本）
25＋2＝27（本）
18＝2×3×3
27＝3×3×3
所以18和27的最大公因数是3×3＝9。
答：第一小组最多有9人。
分析：先求出分给第一小组的语文本、数学本的本数，再求语文本、数学本本数的最大公因数即可解答。
23．4分米，11段
分析：根据题意，可计算出24与20的最大公因数，即是每小段钢管最长的长度，然后再用24除以最大公因数加上20除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
详解：24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
所以每段钢管长是2×2＝4（分米）
（24÷4）＋（20÷4）
＝6＋5
＝11（段）
答：每段钢管长4分米，一共可以锯成11段。
分析：解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长长度，然后再计算每根钢管可以截成的段数，再相加即可。
24．9名
分析：根据题意可知：如果水果糖有45块，巧克力有40－4＝36（块），正好平均分完，求这个组最多有几名同学，即求45和36的最大公因数，把45和36进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。
详解：40－4＝36（块）
45＝3×3×5
36＝2×2×3×3
45和36的最大公因数是3×3＝9
答：这个组最多有9名同学。
分析：本题考查了最大公因数的应用，求最大公因数也就是两个数的公有质因数的连乘积。

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