资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 1.3空间向量及其运算的坐标表示
教科书 书 名：选择性必修第一册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养； 2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养； 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养； 4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养
教学内容
1、教学重点 理解空间向量的坐标表示及其运算 2、教学难点 运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问
教学过程
一．空间直角坐标系 平面直角坐标系 平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点 O 和一个单位正交基底 {i，j}，以 O 为原点，分别以 i，j 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x 轴、y 轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．平面向量的正交分解。 空间直角坐标系 类似地，在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i，j，k}．以点 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，O 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 设计意图：通过平面直角坐标系与空间直角坐标系进行对比，让学生在原有的知识基础上加深对新知识的理解，在对比的过程中进行转化化归。 探究：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量，且点 A 的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 ． 例1　如图，在正方体中，，以为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系. 写出四点的坐标； （2）写出向量的坐标. 二．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)． (4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 在空间直角坐标系中，设A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，a＝，b＝，其中O为坐标原点，则 (1)模：|a|＝＝. (2)夹角：cos〈a，b〉＝＝ . (3)垂直：若a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (4)平行：若b≠0，则a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． (5)＝(b1－a1，b2－a2，b3－a3)． (6)dAB＝||＝ . 三．典例分析 例2　如图，在正方体中， 分别是 的中点．求证 例3　棱长为1的在正方体中， 是的中点． 分别在 、上，，. 求的长. 求与所成角的余弦值. 课堂小结

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