资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 用空间向量研究距离问题
教科书 书 名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，培养数学抽象的核心素养。 2. 能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式,结合距离问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的基本程序和步骤，提升直观想象、数学运算等素养。
教学内容
教学重点： 1. 利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式。 教学难点： 1. 利用投影向量推导点到直线的距离公式。 2. 利用投影向量统一研究空间的距离问题。
教学过程
环节一 探究用向量表示点到直线的距离公式 前面，我们通过直线的方向向量、平面的法向量，运用向量的线性运算、数量积运算等研究了空间直线、平面的平行和垂直的位置关系。下面继续用向量方法研究立体几何中的度量问题，先研究距离问题。 思考：立体几何中有哪些距离问题？ 师生活动 先由学生独立思考，再进行全班交流，师生一起确定立体几何中的各种距离问题。教师进一步指出，前面已经利用空间向量学习了两点间的距离公式和向量的模。接下来利用向量研究其他距离问题。 探究1：已知一条直线l和直线l外一点P，求点P到直线l的距离. 师生活动 教师引导学生分析，用向量方法解决几何问题，首先要明确图形的几何特征、到底要解决什么问题，再用向量的语言描述这些特征和问题。 追问1：问题中的几何要素，如何用向量来表示？ 师生活动 这个问题里，有直线和直线外一点两个几何要素。直线由一个点和一个方向唯一确定,这就是直线的几何特征。由此，“给定直线l”就是给定了一个点和一个方向。设A是直线l上的给定点，l的单位方向向量用u表示，这样就用向量表示出了直线的特征。因为要求点P到直线l的距离，所以根据点到直线距离的定义，过点P作P⊥l，点Q为垂足。这样,要解决的问题是：利用确定直线l的要素一直线l上的点A直线的方向向量u和直线外的点P求线段PQ的长度。 追问2：如何将这些条件与线段PQ联系起来？ 师生活动 教师引导学生分析，因为点A和点P都是已知的，作向量，设,那么的大小、与向量u的夹角都是确定的，于是在直线l上的投影向量也是唯一确定的。由此，构造出RtΔAPQ，就可以通过勾股定理求出线段PQ的长度。 在分析的基础上，可以推导出点P到直线l的距离公式，即 探究：类比点到直线的距离的求法，求两条平行直线之间的距离？ 师生活动 先由学生独立思考,教师再通过问题引导学生分析：①图形的几何特征是什么？②要解决的问题是什么？③如何用向量的语言描述这些特征和问题？ 环节二 类比探究,推导点到平面的距离公式 探究2：类比点到直线的距离，可以推导点到平面的距离公式吗？ 追问1：类比一个点和一个方向确定一条直线，确定一个平面的条件是什么？ 追问2：类比求点到直线的距离，如何利用向量投影求点到平面的距离？ 师生活动 学生独立思考，然后分组讨论交流；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面距离的步骤： 第一步,确定平面的法向量； 第二步，选择“参考向量”； 第三步，确定向量向法向量的投影向量； 第四步,求投影向量的模长，得到 追问：点到平面的距离公式与点到直线的距离公式区别在哪里？为什么会有这样的区别 师生活动 先由学生独立思考、小组交流，教师帮助学生总结得出结论：在点到直线的距离公式中,投影向量垂直于垂线段PQ；在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段PQ重合。这是由给定图形的几何特征所决定的。 探究：类比点到平面的距离的求法，请探究如何求直线与平面的距离，以及两个平行平面的距离？ 师生活动 先由学生独立思考,教师再通过问题引导学生分析：①图形的几何特征是什么？②要解决的问题是什么？③如何用向量的语言描述这些特征和问题？ 环节三 通过例题归纳用向量方法解决立体几何问题的基本步骤 例6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线的距离；（2）求直线FC到平面的距离. 师生活动 教师引导学生分析问题的条件和所求，再根据问题的条件建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量、平面的法向量，然后利用有关公式，经过坐标运算解决问题。本题的第(1)问由师生共同分析完成，教师示范；第(2)问由学生完成，教师评价。 追问：结合例6，回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结出用向量法解决立体几何问题的基本步骤吗？ 师生活动 学生先讨论回答，师生共同归纳得出“三步曲”：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离等问题；第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。 环节四 梳理过程,感悟本质 回顾这节课的学习，回答如下问题： 在推导点到直线、点到平面的距离公式的过程中，最关键的步骤是什么？对此你有什么体会？ (2)用向量方法解决几何问题的基本步骤是怎样的？师生活动 先由学生独立思考、作答，再由教师进行归纳。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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