资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 2.3.1两条直线的交点坐标
教科书 书 名：普通高中教科书数学A版选择性必修第一册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1.会求两条直线的交点坐标； 2.掌握二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系的对应关系； 3.了解过两条直线的交点的直线系方程； 4.感悟数形结合、转化化归的数学思想方法，发展数学运算、逻辑推理和直观想象等数学核 心素养,培养分析问题、解决问题的能力.
教学内容
教学重点： 两条直线的交点坐标; 二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系的对应关系. 教学难点： 二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系的对应关系.
教学过程
教学流程图 教学过程 （一）温故知新 问题1.如何判断点P(1,2),Q(2,-6)是否在直线上？ 预设：点P(1,2)的坐标不满足方程,故点P不在直线l上；点Q(2,-6)的坐标满足方程，故点Q在直线l上. 追问：为什么可以作这样的判断呢？ 【学生活动】思考并回答问题1,并在教师引导下回顾直线上的点的与直线的方程的关系. 【教师活动】小结：直线上的点与直线的方程建立了一一对应的关系. 若点P(x0,y0)在直线上,则点P的坐标满足直线方程，即点P的坐标是方程 的解.反过来,以方程 的解为坐标的点P在直线l上. 【设计意图】：从学生的最近发展区出发，创设问题情境，引导学生回顾直线与方程关系，梳理“完备性”与“纯粹性”，为后续求两条直线交点坐标、分析直线位置关系与二元一次方程组解的个数的对应关系等做铺垫. （二）新课堂探究一——求两条直线交点坐标 问题2. 已知直线相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？ 追问1.两直线相交，这两条直线有几个交点？ 追问2.点P为两直线的交点，说明点P既在直线l1,上又在直线l2上，所以点P的坐标与直线l1,l2的方程有什么关系？ 【分析】 追问3：你能由此得到求两条直线交点坐标的方法吗？ 问题3.已知直线相交，如何求两条直线的交点坐标？ 预设：解直线l1,l2的方程所构成的二元一次方程组. 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形: 预设： 解：解方程组，得 ， 所以，直线的交点为M(-2,2). 【设计意图】：采用问题串的方式，通过问题2-3与一系列追问，引导学生从形的角度、代数的角度两个方面入手，分析两条直线的交点坐标与直线l1，l2的方程的关系，进而归纳出用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，同时设置例1加以巩固.例1的设置也为后续过两条直线的交点的直线系方程做铺垫.同时也渗透了转化化归的数学思想方法。 （三）新课堂探究二——直线的位置关系与二元一次方程组的解对应关系 【教师活动】通过刚才的研究，我们知道直线相交时，对应的二元一次方程组有唯一解。那么直线还有哪几种位置关系呢？ 预设：平形，重合. 问题4.已知直线平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢？ 【分析】 问题5.已知直线重合，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢？ 【分析】 【教师活动】下面我们来归纳一下： 直线的位置关系与二元一次方程组的解的个数的对应关系 直线的位置关系公共点的个数对应二元一次方程组的解的个数相交1个唯一解平行0个无解重合无数个无数组解
追问：我们可以用什么方法来判断直线的位置关系？ 预设：解方程组，根据方程组解的个数判断直线的位置关系. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标: 解析：（1）解方程组， 得 ， 所以，直线相交，交点为. （2）解方程组， 得9=0，矛盾，方程组无解， 所以，直线. （3）解方程组 ，方程组有无数个解，所以，直线重合. 【设计意图】：通过问题2-5，引导学生归纳两条直线的位置关系与二元一次方程组的解的对应关系，进而得到用解方程组判断直线位置关系的方法，发展学生直观想象、逻辑推理的数学核心素养。设置例2进一步巩固二者的对应关系与用解方程组法判断直线位置关系的方法. 【教师活动】我们可以用解方程组的方法判断直线的位置关系。 追问1. 你还能用什么方法判断直线的位置关系呢？ 预设：用斜率. 追问2. 判断依据是什么？ 【回看例2】解析：（1）解： 直线方程化为斜截式: 则,,,所以直线相交. 提示：注意到,更准确的说,直线相互垂直. （2）解： 直线方程化为斜截式: 则,,所以,直线. （3）解： 直线方程化为斜截式: 则，， 所以，直线重合. 【思考】比较用斜率判断和解方程组这两种方法判断各对直线的位置关系，你有什么体会？ 【设计意图】：通过追问1-2，并回看例2，让学生体会并归纳用斜率判断和解方程组判断直线位置关系的本质特点与各自的优缺点，并会根据具体问题选择适当方法. 拓广探索——过两条直线交点的直线系方程 【教师活动】现在请同学们回看例1.刚才我们通过解方程组得到直线的交点为M(-2,2)。现在请同学们思考问题6. 问题6.已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形(其中)？ 预设：表示直线. 追问1.为什么表示直线呢？依据是什么？ 预设：原方程可化为：,显然不同时为0， 故该方程表示直线。 问题7.这条方程可以表示无数条直线， 这些直线有什么特点呢？如何探索呢？ 预设：①第一步，先取一些特殊值代入： 当，是直线 ；当，是直线 ，即； 当，是直线 ；当，是直线 ②第二步，画图（借助几何软件作图，动态演示） 追问1：这几条直线有什么共同特点？ 预设：都过直线l1,l2的交点M。 追问2：当取其他值时，方程表示的直线是否也都过直线l1,l2的交点M。请同学们继续观察动画？ 预设：都过直线l1,l2的交点M。 ③猜想：方程表示过直线的交点M的直线. ④验证猜想： 追问1.如何验证呢？ 预设1：看点M是否在方程所表示的直线上. 预设2：看点M的坐标是否满足该方程。 预设3：因为点M是两直线的交点,故M的坐标同时满足两直线方程，显然点M的坐 标满足方程,所以直线过点M.【教师活动】由此我们可以得到以下结论。 我们可以推广到一般情况：过直线l1,l2的交点的直线系方程 例3.求经过直线l1：2x-2y-1＝0 和l2：6x-4y+1＝0 的交点且过坐标原点的直线l的方程. 追问1.还可以用什么方法求直线l的方程？ 预设： 【设计意图】：本环节内容选自教材第80页拓广探索第16题,是对本节课的内容的提升与拓展。借助GGB软件作图，让学生经历过两条直线的交点的直线系方程的探索过程，进一步巩固求两直线交点坐标的方法、直线上的点与方程的关系，同时对本节课的内容进行提升拓展。让学生体会从特殊的一般的过程，渗透数形结合的思想、转化化归的数学思想方法，培养分析问题、解决问题的能力，同时发展直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养. （五）课堂小结，作业布置 【课堂小结】 回顾本节课，你有什么收获呢？ 【作业布置】 必做题 选做题 【设计意图】：回顾并总结本节课所学知识及思想方法,建立知识网络，有利于学生的知识构建，提升学生的归纳总结梳理知识框架的能力.作业分层布置，体现了因材施教的原则.

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