资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 倾斜角与斜率
教科书 书 名：普通高中数学选择性必修一教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 初步了解解析几何发展史和坐标法的思想，把握整章的研究内容和方法. 2. 理解直线倾斜角、斜率、方向向量的概念，掌握过两点的直线斜率公式.
教学内容
教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.
教学难点： 直线倾斜角的抽象、斜率公式的推导.
教学过程
了解历史，本章概览 引导语：在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法.本章我们将用向量这个工具以全新的视角坐标法去研究几何图形，开启解析几何的学习之旅. 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，通过坐标系将几何的基本元素点和代数的基本元素数对应起来，在此基础上建立曲线的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立使数学从此进入变量数学时代，也为微积分的创建奠定了基础. 本章我们将探究确定直线、圆的几何要素，通过几何要素代数化建立直线、圆的方程，进而借助方程解决实际问题. 师生活动：教师简单介绍解析几何的发展背景、思想方法，以及本章的研究内容，特别强调坐标法实现了对图形性质的定量化研究. 设计意图：使学生了解即将学习的新内容——解析几何的特点及意义.整体把握本章的研究对象，研究内容以及研究方法. 抽象概括，定义形成 问题：确定一条直线的几何要素是什么？如何利用坐标系确定直线的位置？ 师生活动：明确思维方向，引导学生发现：两点可以确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.并把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线. 设计意图：引导学生认识到“一点和一个方向”可以唯一确定直线，方向是直线的一个重要几何要素. 问题：在平面直角坐标系中过一点可以做无数条直线，这些直线的区别是什么？ 师生活动：学生先思考，教师借助信息技术动态演示过一点P可以作无数条直线.规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向是比较合理的.因此这些直线的区别在于方向不同. 追问：如何表示这些直线的方向 师生活动：借助信息技术，学生能够发现倾斜程度的不同直线向上的方向与轴正方向的夹角也随之不同，教师适时引出直线的倾斜角.倾斜角定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，引出直线倾斜角的概念. 问题：直线倾斜角的取值范围是什么？ 师生活动：学生思考并得出直线的倾斜角的变化范围是[0°,180°），教师借助信息技术演示倾斜角的变化过程，进一步确认[0°,180°）范围内的角能表示所有直线的方向，从而让学生从倾斜角“形”的角度对直线的方向进行了刻画. 设计意图：借助信息技术的直观，进一步确认用倾斜角刻画直线倾斜程度的合理性，提升学生数学思维的严谨性. 探究新知，公式推导 思考：如果直线经过两点，,那么直线的倾斜角与,坐标有怎样的关系？ 师生活动：师生指出直线可由其上任意两点确定.由两点确定，直线确定，则方向确定即是倾斜角确定，引出两点坐标与倾斜角一定有联系,引出探究必要性,从而将倾斜角代数化. 探究：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. （1）已知直线经过,与，的坐标有什么关系？ （2）类似地，如果直线经过，，与,的坐标又有什么关系？ （3）一般地，如果经过两点，，那么与,的坐标有怎样的关系？ 师生活动：教师引导学生借助正切函数的定义与向量法完成探究.从特殊到一般推理得出直线的倾斜角为与直线上两点，的坐标关系： . 设计意图：通过探究活动中的三个问题，从特殊到一般.问题1直线过原点的情形，利用正切函数将倾斜角这个几何量用代数运算表示出来；问题2直线不过原点的情形，引导学生根据问题1的情形以及借助向量平移不改变倾斜角大小，从而将问题2转化为问题1；问题3对于一般的直线，在前两个问题研究基础上类比得出倾斜角正切值与两点坐标的关系，从而将倾斜角代数化.培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养. 思考：当直线与轴平行或重合时，还成立吗？为什么？ 师生活动：学生观察并分析式子的左右两边，发现对于与轴平行或重合的直线是适用的.直线的倾斜角α与直线上两点的坐标都有式子成立,从而把方向代数化,引出斜率. 直线斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即： 问题:实际生活中有没有像斜率这样刻画倾斜程度的量？ 师生活动:教师引导学生回忆日常生活中坡度，“坡度”表示倾斜面的倾斜程度. 坡度等于铅直高度除以水平宽度，特别的当直线倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的. 设计意图：基于学生的知识基础和现实经验，回顾“坡度模型”. 问题：在直角坐标系中，所有直线都有斜率吗？ 追问：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，斜率如何变化？ 师生活动:教师引导学生通过正切函数的图象总结出斜率与倾斜角之间的变化关系，理解其中斜率不存在的情况.至此，顺利得出过两点，的直线斜率公式： 当时，;当时，不存在 设计意图：借助正切函数的图象帮助学生理解斜率与倾斜角的变化情况和斜率不存在的情况，从而使学生对倾斜角与斜率的概念有更清晰的认识. 问题:已知直线经过点，则直线的方向向量与直线斜率有什么关系？ 师生活动：教师引导学生建立直线的方向向量与其斜率之间的关系：如果直线的一个方向向量坐标为，则它的斜率为. 设计意图：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系. 例题讲解，巩固应用 例题1：(1)若=60°，则=______. (2)为何值时，经过两点,的直线倾斜角为45°. 例题2：如图，三条直线l1，l2 ，l3，比较它们的倾斜角与斜率大小. 例题3： 如图，已知，，，分别判断直线,,的倾斜角是锐角还是钝角. 师生活动：引导学生从代数层面理解斜率，从几何直观感受直线的倾斜程度，进而建立数与形的联系，感受坐标法，为后续学习直线平行和垂直的判定作好准备. 设计意图：例题1帮助学生熟悉倾斜角与斜率的关系；例题2以形助数直观感知直线倾斜角的大小，加深斜率与倾斜角的认识；例题3引导学生从“数”与“形”两个角度判断倾斜角是锐角还是钝角. 课堂小结，作业布置 回顾本节课的学习，回答以下问题： (1)学习了哪些新概念？它们之间有什么联系？ (2)体现了哪些数学思想方法、数学素养？ 师生活动：师生一起整理本节课所学习的知识，所蕴含的数学思想方法、数学素养等等. 设计意图：问题1是对本节课的知识梳理，重难点内容强调加深.问题2结合具体研究内容渗透数学思想方法，如类比联想、化归转化等等，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养. 作业布置：1.基础达标作业：课本55页练习1-5. 2.能力提升作业：（1）已知点,点在x轴上，若直线的倾斜角为135°，则点的坐标为_______. （2）已知三条直线l1，l2，l3，它们的倾斜角之比依次为1:2:3，若直线l1的斜率为，求其余两条直线的斜率. 3.拓展延伸作业：（选做题）已知,直线l过点，且与线段相交，则直线l斜率的取值范围是__________.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加.

展开更多......

收起↑