资源简介

专题一：规律探索与表达式
类型一　数式间的规律
1．解题攻略：
(1)标序号(1，2，3，…，n)：先把各数按顺序或位置进行编号．
(2)找规律：从数的符号(正号或负号)和绝对值两个方面进行分析，先观察分析几个式子，从中找出变化的量及符号、不变的量及符号．
(3)写规律：将式子中变化的量及符号用字母表示出来，从而得到本组式子的模型．
2．常见的数字规律：
①自然数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)；
②正整数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)；
③奇数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)；
④偶数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)；
⑤正整数的和：1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝；正奇数的和：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2(n≥1)；正偶数的和：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1)．
⑥正整数的平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
⑦正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)；
⑧正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)；
⑨符号规律：若所给数字的正负号交替出现，则用(－1)n或(－1)n＋1表示符号；
⑩若所给的数字既有整数又有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律．
角度1　数式的排列规律
典例1　(2022·怀化)正偶数2，4，6，8，10……按如下规律排列：
2
4　　6
8　　10　　12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是744．
思路导析　观察可知第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
1．(2022·新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵：
第1题图
按照以上排列的规律，第10行第5个数是(　　)
A．98 B．100 C．102 D．104
2．(2022·西藏)按一定规律排列的一组数据：，－，，－，，
－，…，则按此规律排列的第10个数是(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．(2022·云南)按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，第n个单项式是(　　)
A．(2n－1)xn B．(2n＋1)xn
C．(n－1)xn D.(n＋1)xn
4．(2023·安阳一模)如图，将数列排成一个三角形数阵：
第4题图
按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为(　　)
A．119 B．－121 C．－117 D．123
角度2　等式的排列规律
典例2　(2022·嘉兴)设是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a＝4时，表示的两位数是45.
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1 225＝_______________________；
…；
(2)归纳：2与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由；
(3)运用：若2与100a的差为2 525，求a的值．
思路导析　(1)仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
(2)由2＝(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25，再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
(3)由2与100a的差为2 525，列方程，整理可得a2＝25，解方程即可．
解：(1)①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1 225＝3×4×100＋25；
故答案为：3×4×100＋25；
(2)相等，理由如下：
∵2＝(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25，
100a(a＋1)＋25＝100a2＋100a＋25,
∴2＝100a(a＋1)＋25；
(3)∵2与100a的差为2 525，
∴100a2＋100a＋25－100a＝2 525，
解得a＝±5，
又∵1≤a≤9，∴a＝5.
1．(2023·岳阳)观察下列式子：
12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－5＝5×4……
依此规律，则第n(n为正整数)个等式是 ．
2．(2023·临沂)观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
……
按照上述规律， ＝n2.
类型二　图形间的规律
解题攻略：
(1)找关系：找后一个图形与前一个图形所求元素的个数之间的关系．
(2)找规律：①若第一个图形所求元素为a，第二个图形所求元素比第一个图形所求元素个数多b个，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b个，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)；②也可以观察后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数是不是平方或立方的关系来解决问题．
(3)总结规律并验证．
角度1　图形的排列规律
典例3　(2023·遂宁)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……)等；甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8……其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为C12H26．
典例3图
思路导析　根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
名师点拨 本题考查图形的排列规律类，解答本题的关键是明确题意，数形结合，发现C和H的变化特点及规律．
1．(2022·广州)如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2 022根小木棒，则n的值为(　　)
第1题图
A．252 B．253 C．336 D．337
2．(2022·玉林)如图所示的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2 022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(　　)
第2题图
A．4 B.2 C.2 D．0
3．(2023·威海一模)一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“○”？(　　)
第3题图
A．2 657 B．2 555 C．2 455 D．1 875
4．(2023·蓬江区一模)现有四条公共端点为O的射线OA，OB，OC，OD，若点P1，P2，P3……按如图所示的规律排列，则点P2 023应该落在(　　)
第4题图
A．射线OA上 B．射线OB上
C．射线OC上 D．射线OD上
5．(2023·达州)如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2……是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，1的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1……，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则A2 023B2 023的长
是(　　)
第5题图
A. B．2 023π
C. D．2 022π
6．(2022·牡丹江改编)如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8……那么所描的第2 022个点在射线 上．
第6题图
类型三　坐标系中的图形变化规律
典例4　(2023·舞阳县模拟)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC平行于x轴，如果点A的坐标为(－1，2)，点C的坐标为(3，－3)，把一条长为2 023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按如图所示的逆时针方向绕在长方形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是(　　)
典例4图
A．(－1，1) B．(－1，－1) C．(2，－3) D．(1，－3)
思路导析　由长方形ABCD的边BC平行于x轴，点A的坐标为(－1，2)，点C的坐标为(3，－3)，可以得出长方形ABCD的周长为18，再结合2 023＝112×18＋7可判断出细线的另一端在线段BC上B点右侧2个单位处，然后求出坐标即可．
名师点拨 本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
1．(2022·河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为(　　)
第1题图
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(1，)
2．(2023·夏邑县二模)如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标为(　　)
第2题图
A. B.
C．(－，) D.
3．(2020·怀化)如图所示，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An－1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为 ．
第3题图
专题一：规律探索题 参考答案
类型一　数式间的规律
角度1　数式的排列规律
1．(2022·新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵：
第1题图
按照以上排列的规律，第10行第5个数是(　B　)
A．98 B．100 C．102 D．104
2．(2022·西藏)按一定规律排列的一组数据：，－，，－，，
－，…，则按此规律排列的第10个数是(　A　)
A．－ B. C．－ D.
3．(2022·云南)按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，第n个单项式是(　A　)
A．(2n－1)xn B．(2n＋1)xn
C．(n－1)xn D.(n＋1)xn
4．(2023·安阳一模)如图，将数列排成一个三角形数阵：
第4题图
按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为(　A　)
A．119 B．－121 C．－117 D．123
角度2　等式的排列规律
1．(2023·岳阳)观察下列式子：
12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－5＝5×4……
依此规律，则第n(n为正整数)个等式是n2－n＝n(n－1)．
2．(2023·临沂)观察下列式子：
1×3＋1＝22；
2×4＋1＝32；
3×5＋1＝42；
……
按照上述规律，(n－1)(n＋1)＋1＝n2.
类型二　图形间的规律
1．(2022·广州)如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2 022根小木棒，则n的值为(　B　)
第1题图
A．252 B．253 C．336 D．337
2．(2022·玉林)如图所示的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2 022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(　B　)
第2题图
A．4 B.2 C.2 D．0
3．(2023·威海一模)一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“○”？(　C　)
第3题图
A．2 657 B．2 555 C．2 455 D．1 875
4．(2023·蓬江区一模)现有四条公共端点为O的射线OA，OB，OC，OD，若点P1，P2，P3……按如图所示的规律排列，则点P2 023应该落在(　B　)
第4题图
A．射线OA上 B．射线OB上
C．射线OC上 D．射线OD上
5．(2023·达州)如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2……是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，1的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1……，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则A2 023B2 023的长
是(　A　)
第5题图
A. B．2 023π
C. D．2 022π
6．(2022·牡丹江改编)如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8……那么所描的第2 022个点在射线OF上．
第6题图
类型三　坐标系中的图形变化规律
1．(2022·河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为(　B　)
第1题图
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(1，)
2．(2023·夏邑县二模)如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2 025次旋转后，顶点D的坐标为(　A　)
第2题图
A. B.
C．(－，) D.
3．(2020·怀化)如图所示，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An－1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为(2，0)．
第3题图

展开更多......

收起↑