资源简介

7.3 等比数列
授课 内容 7.3等比数列 课时安排
授课 教师 授课 班级
教 材 分 析 授课类型
等比数列是-种特殊的数列，它有着非常广泛的实际应用:如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算 问题。教材将等比数列安排在等差数列之后，有利于培养学生的类比推理能力。
教 学 目 标 及 重 难 点 知识目标 1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念． 2. 逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题． 3. 理解并掌握等比数列前n 项和公式，并会应用公式解决简单的问题．
能力目标 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力．通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值。逐步熟练等比数列通项公式与前n 项和公式的综合应用，培养学生的运算能力．
思政目标 在等比数列数列的教学中，计算机病毒的传播方式是学生需要了解的常识，而病毒每次传播的电脑数恰好构成等比数列，可让学生加深了解。 在等差数列与等比数列的综合应用中，银行存款的“零存整取” 方式与银行贷款的“复利计息法”计算利息两种存取方式，将数列知识与专业知识结合，促进学生专业素养的发展。结合学生的职业，有机渗透职业精神教育，培养学生爱岗敬业的精神， 促进学生综合素质的发展。
情感目标 1.通过对等比数列概念的探究提高学生的归纳总结能力。 2.通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值。
教学重点 等比数列的概念及通项公式和等比数列前n 项和公式的应用 教学难点 灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题以及等比数列前n项和公式的推导和灵活运用
教 学 策 略 本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
课堂实施 一、 创 设情 景兴 趣导 入 问题1：在《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”谁能翻译一下这句话什么意思 有这句话我们又能得到怎样的数列呢 意思是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。 它们排成1， 问题2：现在计算机被越来越多的人接受并使用，计算机病毒也随之猖狂。有一种计算机病毒是通过邮件传播的，由病毒制造者发送病毒为第一轮，邮件接收者发送这个带有病毒的邮件为第二轮，假设每一轮都会有20台计算机被感染。那么这样一轮一轮传播下去能够形成怎样一个数列 1，20，202 203，．．… 问题3：《孙子算经》中“出门忘九堤”：今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问巢有几何？ 巢的数列构成以9为首项，9为公比的等比数列模型，
由等比数列通项公式可知：巢的数量为：a4=9×93=94=6561，
故答案为：6561． 现在我们分析一下他们的特点和共同特征。 创设情境，让学生认识数列，激发学生的好奇心，增强学生的学习兴趣． 在漫长的数学发展的过程中，有许多有趣的小故事，可以把这些数学史内容以讲故事的形式呈现给学生. 基于学生未来都需要使用计算机，教师在融入“课程思政”教育时，可结合计算机病毒的传播方式，引导学生探究其中涉及的数列知识，在深化数列知识学习的基础上，促进学生职业素养的发展
课堂实施 二、 动 脑思 考探 索新 知 概念形成 观察以下下数列有什么特点？ 1，2，4，8，16，32，， 5，25，125，625，; 6, -12，24，-48，; 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．公比通常用字母“q”表示． 注意： （1）求公比q一定要用后项除以前项，而不能用前项除以后项； （2）等比数列中，各项和公比均不为0； （3）q= 1时，{an}为常数列． 2. 等差数列的通项公式: 由等比数列的定义可知 ， 即，得到 进而获得等比数列的通项公式 根据这个通项公式，只要已知首项a1和公比q，便可求得等比数列的任意项an． 事实上，等比数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个． 3．等比中项的定义 一般地，如果a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项． 4. 等比中项公式 如果G 是a与b的等比中项，则 G 2 = a b ，即G =±． 容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项． 教师通过操作课件、讲解概念及例题，引导学生学习新知. 结合等比数列定义，归纳得出结论. 类比等差中项的探究过程根据等比数列的定义探究等比中项公式. 通过观察一些等比数列，引导学生发现等比数列的特点和规律，并归纳总结出等比数列的定义. 通过等比数列通项公式的探究，引导学生感受类比、函数、方程等数学思想方法. 通过等比中项公式的探究，引导学生感受类比、方程等数学思想方法.
课堂实施 三、 巩固知识典型例题 例1 在等比数列中，. 解 由已知可得 ， , ， 所以， , . 例2 在等比数列中，. 解 由等比数列通项公式 可得 所以，. 例3 在2和162之间插入3个数，使它们和这两个数成等比数列，求这三个数. 解 设等比数列其中. 由,得，解得. 当时， ，，; 当时， ， ，; 所以，三个数是6,18,54或. 例4 求 和 的等比中项. 解 设是 和 的等比中项，则 , ， 解得 ， 所以， 和 的等比中项是. 例5 已知三个数成等比数列，它们的和是7，积是8，求这三个数. 解 设这三个数分别为 ，其中是公比， 由这三个数的和是7，积是8，可得 ， 解得 或 ， 当时，三个数为 1，2，4； 当时，三个数为 4，2，1. 所以，所求三个数为1，2，4或4，2，1 通过例题，强化学生对等比数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识． 学生认真聆听老师讲解，掌握新知识，思考体会解题方法. 对公式的一个直接运用，使学生初步感受等比中项公式的功能以及运用公式的方法. 引导学生建立等比数列模型，巧设未知数解决数学问题. 注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法；在解决问题中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去．
课堂实施 四、 应 用提 升 巩 固知 识 1.在等比数列中，. 2.求等比数列 3.在等比数列中，. 4.在等比数列中，. 5.在3与27之间插入一个数，使这三个数成等比数列，求这个数. 6.已知三个数成等比数列，它们的和是21，积是216，求这三个数. 通过练习，让学生进一步掌握等比数列中，求公比的独特方法． 巩固加深对等比数列概念及其通项公式的理解，能运用等比数列解决一些简单的实际问题．
课堂实施 五、 课 堂总 结 1.等比数列的定义及通项公式． 2.等比中项的定义和公式． 教师总结提问 学生总结回答 总结本节课知识点，巩固所学知识
第二课时
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
课 堂 实 施 一. 创 设情 境引 入新 知 数学史上有这样一个著名的故事：古印度舍罕王准备奖励国际象棋的发明者——达伊尔，问达伊尔要什么奖赏.达伊尔对国王说： “请您在棋盘的第1个格子中赏给我1颗麦粒，在第2个格中给2颗，在第3个格中给4颗，在以后每个格子中的麦粒数都比前个格子里的麦粒数加一倍.请您把棋盘上64格的麦粒都赏给您的仆人吧！“国王觉得这个要求太容易满足了，就答应了给他这些麦粒.问应给发明家多少粒麦粒？ 教师讲故事，并提出问题． 学生分组合作探究．学生用计算器依次算出各项的值，然后再求和． 教师对他们的这种思路给予肯定． 利用学生好奇心理，让学生去经历知识的形成与发展过程，便于调动学生学习本节课的积极性．
课 堂 实 施 二. 观 察规 律归 纳公 式 1．自主探究求数列1，2，4，…，262，263的各项和 数列1，2，4，…，262，263是以1为首项，2为公比的等比数列，前面的问题应归结为求这个数列前64项的和，可表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263． ① 2S64 = 2+4+8+…+263 +264． ② ①－②，得到 S64 －2S64 = 1－2 64． 即 (1－2)S64 = 1－2 64． S64 = 国王知道这个结果吗？ 2．等比数列的前n 项和公式． 设公比为的等比数列前和为 ① ①式两边同乘公比 ② 由①-②得 等比数列前和公式 当时， 当时， . 等比数列的前n项和公式，包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个． 通过情境问题中的等比数列求和，引导学生探究错位相减法解决求和问题，为探究等比数列求和公式做好准备. 让学生充分地比较，等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减，培养学生的辩证思维能力． 在教师的引导下，让学生从特殊到一般，完成公式的探究． 让学生在化繁为简的过程中，充分感受到数学的简洁性． 类比探究等比数列前项和公式，引导学生感受由特殊到一般的数学思想.
课 堂 实 施 三. 巩 固知 识典 型例 题 例1 求等比数列 的前8项和. 解 ， 由等比数列前和公式 得 所以，数列的前8项和是 . 例2 在等比数列中，，求此数列的第5项. 解 因为， 所以由等比数列前和公式 ，可得 ， ， 解得 ，， 所以，. 例3 已知数列的前项和求. 解 ， ， . 所以，, . 教师总结学生思路，给出解题过程． 学生认真聆听老师讲解，思考体会解题方法. 通过讲解，让学生进一步对知识点有更深的理解，同时初步体会知识应用. 通过对例题的解答，强化对公式的掌握．
课 堂 实 施 四． 运用知 识 巩固提 升 1.求等比数列 的前5项和. 2.在等比数列中，，求. 3.在等比数列中，求. 培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯． 完成课堂练习，巩固所学.
课 堂 实 施 五． 课堂总结 等比数列前和公式 当时， 当时， . 教师总结提问 学生总结回答： 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．
课后作业 1.复习巩固本课知识. 2.学习与训练相关练习题. 布置作业 通过作业巩固知识，为后续的学习做好铺垫

展开更多......

收起↑