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2.3 一元二次不等式
授课 内容 2.3 一元二次不等式 课时安排 ）
授课 教师 授课 班级
教 材 分 析 授课类型
一元二次不等式的解法是初中一元一次或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，与后面的直线与圆等内容密切相关。一元二次不等式的解法具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
教 学 目 标 及 重 难 点 知识目标 借助一元二次方程的根和二次函数的图像求解一元二次不等式．
能力目标 通过图像解法渗透数形结合、分类划归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
思政目标 通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。
情感目标 通过利用二次函数图像求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想。通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观。
教学重点 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系；一元二次不等式的解法 教学难点 一元二次不等式的解法
教 学 策 略 采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
课堂实施 一、 复 习概 念情 境展 现 复习旧知，确立思想 请同学们解下面的方程和不等式 1)2x-6=0 2) 2x-6>0 3) 2x-6<0 1)2x-6=0 的解恰是函数y=2x-6的图像与x轴交点的横坐标x=3 2)2x-6>0 的解集正是函数y=2x-6的图像在x轴上方的点的横坐标的集合｛x|x>3｝ 3)2x-6<0 的解集正是函数y=2x-6的图像在x轴下方的点的横坐标的集合｛x|x<3｝ 一般结论： 若ax+b=0（a>0）的解为x0，则函数y=ax+b的图像与x轴交点为（x0,0） 若ax+b>0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图像在x轴上方的点的横坐标的集合｛x|x>x0｝ 若ax+b<0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图像在x轴下方的点的横坐标的集合｛x|x课堂实施 二、 创 设情 景兴 趣导 入 我们知道，当 a＞0 时，关于一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0 和二次函数 y＝ax2＋bx＋c 之间有表所示结论． 由表中函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像可以看出，图像在x轴上方的部分所对应的函数值y>0 ,即ax 2＋bx＋c>0，图像在x轴下方的部分所对应的函数值y<0，即ax 2＋bx＋c<0，像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为 一元二次不等式．其一般形式为ax 2＋bx＋c>0(a≠0) 上面不等式中的“ >” 也可以换成“ <”、 “≥” 或“≤” . 如，x2-9> 0，3x2-2x≤0 等都是一元二次不等式。 我们知道，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，那么我们是能否借助它们之间的关系求解形如ax 2＋bx＋c>0或ax 2＋bx＋c<0 这样的一元二次不等式呢？ 展示关系引导学生 观察分析，引导学生思考 数形结合分析，学生观察情境思考问题 从 学 生已 经 了解 的 一元 二 次 方 程 和二 次函数之 间的关系入手，利用 数 形结合，提出 新 的问题，引导学 主动思考，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养
课堂实施 三、 动 脑思 考探 索新 知 下面就先来尝试分析一元二次不等式x2-2x-3<0和二次函数y=x2-2x-3、一元二次方程x2-2x-3=0之间的关系 如图(1)所示，二次函数y=x2-2x-3的图像与 x 轴交于两点， 方程x2-2x-3=0的解是x1=-1，x2=3，也就是抛物线与 x 轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标． 从图中我们可以看出，抛物线与x轴的两点交点将x轴分成了三部分． 如图(2)所示，当-13 时，函数的图像位于x轴的上方，此时 y>0. 由此得到，不等式x2-2x-3<0的解集为(-1,3)；不等式x2-2x-3>0 的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)． 按照上面的分析，我们就可以得到一般的一元二次不等式 ax2 ＋bx＋c＞0(a>0)和 ax2 ＋bx＋c<0(a>0)的求解方法： 先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 根据一元二次方程判别式的不同取值情况将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下，见下表，假设X1课堂实施 四、 巩固知识典型例题 例1: 求下列一元二次不等式的解集： x2-x-6<0 ；（2）2x2-4x+3<0； 解（1）因为不等式的二次项系数 1＞0，对应方程x2-x-6=0的解为 X1=-2，x2=3对应的二次函数的图像如图所示.所以不等式x2-x-6<0 的解集为(-2,3) ． 因为不等式的二次项系数为2>0，对应方程2x2-4x+3=0无实数根（△=(-4)2-4×2×3 =-8<0），对应二次函数图像如图所示，所以不等式2x2-4x+3<0的解集为 例2: 若 有意义，试求 x 的取值范围． 解 要使有意义， x 应该满足不等式3x2-2x-1 ≥0 ． 因为不等式的二次项系数 3>0，对应方程3x2-2x-1=0d的解为x1=-x2=1，对应的二次函数数图像如图所示，所以不等式3x2-2x-1 ≥0 的解集为(-∞ , ]∪ [1, +∞) 即当x∈(-∞ , ]∪ [1, +∞) 时，有意义。 如何求解一元二次不等式ax2 ＋bx＋c<0（a<0） 当二次项系数 a＜0 时，由不等式的性质，不等式两边同乘 1，不等号方向改变，就可以将a＜0 的情形转化为 a＞0 的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可． 例 3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0的解集． 解 因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘-1 ，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式x2-4x+2>0 其对应方程x2-4x+2=0的解为x1=2-，x2=2+对应的二次函数图像如图所示。 所以不等式x2-4x+2>0的解集为： （--∞，）∪（2+，+∞） 即不等式-x2+4x-2<0的解集为（--∞，）∪（2+，+∞） 学生认真聆听老师讲解，掌握新知识，思考体会解题方法
课堂实施 五、 应 用提 升 巩 固知 识 练习：求下列一元二次不等式的解集： 5x2-x-6>0 -x2+3x+10≥0 2x2-5x-3<0 2x-x2+3<0 x2-2x+1>0 4x2-12x+9<0 教师引导学生读题，注意题中有哪些重要条件. 教师巡视指导学生进行计算，对学生在做题中出现的错误点，及时进行纠正. 学生运用本节课所归纳的知识，完成相应练习. 教师对学生的答案进行点评，解析解题思路. 以小组竞争的形式，完成课堂练习，巩固所学，提升学生的竞争意识
六、 课 堂总 结 解一元二次不等式的“四部曲”： 把二次项的系数化为正数 计算判别式△ 解对应的一元二次方程 根据一元二次方程的根，结合图像，写出不等式的解集。 概括为：一化正---二算△---三求根----四写解集 教师总结提问 学生总结回答： 在师生问答中，总结本节课知识点，巩固所学知识
课后作业 1.复习巩固本课知识. 2.学习与训练相关练习题. 布置作业 通过作业巩固知识，为后续的学习做好铺垫

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