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4.3 长方体的体积
1. 长方体的体积计算方法：
长方体的体积=长×宽×高
V = abh
2. 正方体的体积计算方法：
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
3.长方体（或正方体）的体积=底面积×高
V=Sh
高=长方体的体积÷底面积
h=V÷S
底面积=长方体的体积÷高
S=V÷h
例1：一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、b厘米和h厘米，如果长方体的长和高不变，宽增加3厘米，长方体的体积增加（ ）立方厘米。
A．3ah B．3abh C．abh D．3b
答案：A
分析：根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；计算出原来的长方体的体积，宽增加3厘米，即宽为（b＋3）厘米，代入长方体体积公式，求出增加后长方体的体积，再减去原来长方体的体积，即可解答。
详解：原来长方体的体积：a×b×h＝abh（立方厘米）
宽增加3厘米后长方体的体积：
a×（b＋3）×h
＝ a×h×（b＋3）
＝abh＋3ah（立方厘米）
abh＋3ah－abh
＝ abh－abh＋3ah
＝3ah（立方厘米）
则长方体的体积增加3ah立方厘米。
故答案为：A
例2：一个长方体的长、宽、高都是质数，且它前面与上面的面积之和是2004平方厘米，则这个长方体的体积是( )立方厘米。
答案：5845
分析：一个长方体前面的面积＝长×高，上面的面积＝长×宽，则长×高＋长×宽＝长×（高＋宽）＝2004，将2004分解质因数，2004＝2×2×3×167，则长是167。剩下的2×2×3＝12，则12是高和宽的和，分成两个质数相加。12＝5＋7，则宽和高分别是5和7。长方体的体积＝长×宽×高。
详解：长、宽、高都是质数，
2004＝2×2×3×167＝12×167＝（5＋7）×167
长、宽、高分别是167厘米、5厘米、7厘米
167×5×7＝5845（立方厘米）
这个长方体的体积是5845立方厘米。
例3：把一个长方体切割成两个小长方体，体积之和没变，表面积之和增加了。( )
答案：√
分析：根据体积的含义：物体所占空间的大小叫做物体的体积；可知把一个长方体切割成两个小长方体，体积不变；把一个长方体切割成两个小长方体，增加两个横截面的面积，所以表面积增加；据此解答。
详解：根据分析可知，把一个长方体切割成两个小长方体，体积之和没变，表面积之和增加了。
原题干说法正确。
故答案为：√
例4：计算下面长方体的表面积和正方体的体积。
答案：256cm2；512cm3
分析：根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。
详解：（12×5＋12×4＋5×4）×2
＝（60＋48＋20）×2
＝128×2
＝256（cm2）
8×8×8＝512（cm3）
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一、选择题
1．一个长方体的长、宽、高分别为a米、b米、h米，如果高增加2米，新的长方体体积比原来增加（ ）立方米。
A．2ab B．2abh C．ab（h＋2） D．abh＋22
2．一个长方体木块，长5分米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积和是40平方分米，则这个长方体木块的体积是（ ）立方分米。
A．20或50 B．20或48 C．20
3．将一个正方体的棱长乘3，那么它的体积乘（ ）。
A．3 B．6 C．27
4．一块1m长的长方体木料把它锯成两段后，表面积增加了12cm2，这块长方体木料的体积是（ ）cm3。
A．1200 B．600 C．6 D．24
5．将一个长为15厘米、宽为9厘米、高为5厘米的长方体橡皮泥模型，捏成一个底面是正方形的长方体，底面边长为10厘米，捏成的长方体的高是（ ）厘米。
A．6.75 B．6.5 C．6.25
6．一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是（ ）分米。
A．36 B．27 C．24 D．18
7．将一个长方体钢坯熔铸成正方体，长方体和正方体相比，（ ）。
A．它们的体积和表面积都相等 B．它们体积和表面积都不相等
C．它们的体积相等，表面积不相等 D．它们的体积不相等，表面积相等
二、填空题
8．一个长方体的长是7厘米，宽是5厘米，高是4厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
9．用60cm长的铁丝正好焊接成一个正方体框架，并给这个正方体的每个面都糊上彩纸，至少需要( )cm2的彩纸，它的体积是( )cm3。
10．一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、4厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
11．在括号里填上合适的单位。
一块橡皮的体积约是3( )。 一只热水瓶的容积为2( )。
一个矿泉水瓶的容积约为500( )。 一个油箱的容积约为50( )。
12．棱长是1cm的正方体的体积是1( )，棱长是1dm的正方体的体积是1( )，棱长是1m的正方体的体积是1( )。
13．一个长方体纸箱，长5分米、宽3分米、高4分米，它的棱长和是( )分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
14．一个长25厘米、宽12厘米、高8厘米的长方体纸盒，占地面积最大是( )平方厘米，所占的空间是( )立方厘米。
三、判断题
15．一个棱长是6厘米的正方体，它的体积和表面积相等。( )
16．一个棱长6dm的正方体，体积和表面积一样大。( )
17．把一个长方体切成两个相同的小长方体后，表面积增加了，体积不变。( )
18．一个棱长是6厘米的正方体，它的表面积和体积一定相等。( )
19．至少要用8个完全相同的小正方体才能拼成一个稍大的正方体。( )
20．用4个同样大小的正方体可以拼成一个大的正方体。( )
21．一个薄塑料长方体盒子（厚度不计），它的容积就是它的体积。( )
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四、计算题
22．计算下列图形的表面积和体积。（单位：cm）

五、解答题
23．一根长方体钢材长1米，宽10厘米，高8厘米。如果每立方厘米钢材的质量是7.8克，那么这根钢材的质量是多少克？
24．迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？
25．一根长方体木料，长2米，垂直于长的截面是边长2分米的正方形。若每立方分米这种木料重0.6千克，那么这根木料重多少千克？
26．用一段铁丝。正好可以做一个长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体框架。如果用这段铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的体积是多少立方厘米？
27．一种牛奶用长方体包装盒包装，这个包装盒从外面量，长7厘米、宽4厘米、高10厘米，盒外标签注明“净含量：280毫升”。请你判断商家有没有欺骗消费者？为什么？
28．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？
29．一个正方体铁块的棱长总和是72厘米，现将它铸造成底面积是54平方厘米的长方体铁块。长方体铁块的高是多少厘米？
1．A
分析：
根据题意可知，长、宽不变，高增加2米，所以增加的体积是长为a米、宽为b米、高为2米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，用a×b×2即可求出增加的体积。
详解：a×b×2＝2ab（立方米）
新的长方体体积比原来增加2ab立方米。
故答案为：A
2．A
分析：
长方体木块有一组相对的面是正方形，那么这个长方体木块有两条相邻的棱长相等，且其余的4个面的面积都相等，每个面的面积就（40÷4＝10）平方分米；因为其中一条边长是5分米，则另一边长是（10÷5＝2）分米，也就是长方体另一条棱长是2分米；利用长方体的体积＝长×宽×高，分两种情况分别代入数值计算，据此解答。
详解：
40÷4＝10（平方分米）
10÷5＝2（分米）
①当相等的两条棱长是5分米时
长方体木块的体积：5×5×2＝50（立方分米）
②当相等的两条棱长是2分米时
长方体木块的体积是2×2×5＝20（立方分米）
因此这个长方体木块的体积是50立方分米或20立方分米。
故答案为：A
3．C
分析：正方体的体积是棱长×棱长×棱长，一个正方体的棱长乘3，那么它的体积就乘3×3×3，据此解答即可。
详解：3×3×3＝27
那么将一个正方体的棱长乘3，那么它的体积乘27。
故答案为：C
分析：本题主要考查了正方体的体积，解题是关键是掌握正方体的体积公式。
4．B
分析：把长方体木料锯成大小一样的2段，增加了2个截面，即增加的表面积相当于这根长方体木料的2个底面积，用增加的面积除以2，可得长方体木料的底面积。由高级单位m转换成低级单位cm，乘进率100，根据长方体体积公式：V＝Sh，将数据代入即可求出木料原来的体积。
详解：由分析可得：
1m＝1×100＝100（cm）
12÷2＝6（cm2）
6×100＝600（cm2）
故答案为：B
分析：本题考查了长方体体积的计算，关键明白12平方厘米是2个底面积的和，从而求出一个截面的面积，再计算该长方体木料的体积。
5．A
分析：根据体积的意义可知，把一个长为15厘米、宽为9厘米、高为5厘米的长方体橡皮泥模型，捏成一个底面是正方形的长方体，只是形状变了，体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。
详解：15×9×5÷（10×10）
＝135×5÷（10×10）
＝675÷100
＝6.75（厘米）
捏成的长方体的高是6.75厘米。
故答案为：A
分析：此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．D
分析：把正方体实心钢坯锻造成长方体，体积不变；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体实心钢胚的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。
详解：6×6×6÷（4×3）
＝36×6÷12
＝216÷12
＝18（分米）
一块正方体实心钢坯，棱长为6分米，工人师傅想把它锻造成一个高为3分米、宽为4分米的长方体实心钢坯，这个长方体实心钢坯的长是18分米。
故答案为：D
分析：熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。
7．C
分析：体所占空间的大小叫做物体的体积，物体各个面的面积之和叫做物体的表面积。将一个正方体钢坯锻造成长方体，钢坯的形状变了，则表面积发生了变化；但钢坯的大小不变，即体积没变，据此解答。
详解：根据分析可知，将一个长方体钢坯熔铸成正方体，长方体和正方体相比，它们的体积相等，表面积不相等。
故答案为：C
分析：本题考查长方体和正方体的表面积和体积的概念，明确将一个物体锻造成另一个物体，体积不变，表面积发生变化。
8． 64 166 140
分析：
根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。
详解：（7＋5＋4）×4
＝16×4
＝64（厘米）
（7×5＋7×4＋5×4）×2
＝（35＋28＋20）×2
＝83×2
＝166（平方厘米）
7×5×4
＝35×4
＝140（立方厘米）
这个长方体的棱长总和是64厘米，表面积是166平方厘米，体积是140立方厘米。
9． 150 125
分析：
根据题意，用铁丝焊接成一个正方体框架，那么正方体的棱长总和等于这根铁丝的全长；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体框架的棱长；
已知给这个正方体的每个面都糊上彩纸，求至少需要彩纸的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解；
根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。
详解：正方体的棱长：60÷12＝5（cm）
表面积：5×5×6＝150（cm2）
体积：5×5×5＝125（cm3）
至少需要150cm2的彩纸，它的体积是125cm3。
10． 220 200
分析：
根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。
详解：（10×5＋10×4＋5×4）×2
＝（50＋40＋20）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
10×5×4
＝50×4
＝200（立方厘米）
表面积是220平方厘米，体积是200立方厘米。
11． 立方厘米/cm3 升/L 毫升/mL 升/L
分析：棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米；计量一块橡皮的体积，用立方厘米作单位比较合适；
棱长为1分米的正方体的容积是1升，结合单位前面的数，一个热水瓶的容积和一个油箱的容积，用升作单位比较合适；
棱长为1厘米的正方体的容积是1毫升，结合单位前的数是500，一个矿泉水瓶的容积，用毫升作单位比较合适。
详解：一块橡皮的体积约是3立方厘米；一只热水瓶的容积为2升；
一个矿泉水瓶的容积约为500毫升；一个油箱的容积约为50升。
12． cm3/立方厘米 dm3/立方分米 m3/立方米
分析：
根据正方体体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出棱长为1m、1dm和1cm的正方体体积。
详解：由分析可得：棱长是1cm的正方体的体积是1cm3，棱长是1dm的正方体的体积是1dm3，棱长是1m的正方体的体积是1m3。
13． 48 94 60
分析：
根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据解答即可。
详解：（5＋3＋4）×4
＝12×4
＝48（分米）
（5×3＋5×4＋3×4）×2
＝（15＋20＋12）×2
＝47×2
＝94（平方分米）
5×3×4＝60（立方分米）
它的棱长和是48分米，表面积是94平方分米，体积是60立方分米。
14． 300 2400
分析：
长、宽、高三条棱长中，长和宽都比高长，根据长方形的面积公式，可知（长×宽）的面积最大，用25×12即可求出最大的占地面积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用25×12×8即可求出长方体纸盒的体积。
详解：
25＞12＞8
25×12＝300（平方厘米）
25×12×8＝2400（立方厘米）
占地面积最大是300平方厘米，所占的空间是2400立方厘米。
15．×
分析：
正方体六个面的总面积叫做它的表面积；正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；物体所占空间的大小叫做物体的体积，正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；表面积和体积不是同类量，所以它们不能比较大小，据此分析。
详解：6×6×6＝216（平方厘米）
6×6×6＝216（立方厘米）
正方体的表面积是216平方厘米，正方体的体积是216立方厘米，虽然它们的数值相同，但是它们的单位不相同，所以不能比较大小，原题说法错误。
故答案为：×
16．×
分析：正方体的表面积是指正方体的6个面的面积之和；正方体的体积是指正方体占空间的大小；两者意义不同，不能比较大小。
详解：一个棱长6dm的正方体，体积和表面积不是同类量，无法比较大小。
原题说法错误。
故答案为：×
17．√
分析：
把一个长方体切成两个相同的小长方体，因为面数目增加，所以表面积增加，但是体积没变，据此分析。
详解：如图，把一个长方体切成两个相同的小长方体后，表面积增加了，体积不变，说法正确。
故答案为：√
18．×
分析：
正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，立体图形所占空间的大小叫体积，表面积和体积是不同的两个概念，不能进行比较，据此分析。
详解：6×6×6＝216（平方厘米）
6×6×6＝216（立方厘米）
一个棱长是6厘米的正方体，它的表面积和体积的数值相等，单位不相等，表面积和体积无法比较，所以原题说法错误。
故答案为：×
19．√
分析：根据正方体的特征，12条棱都相等；那么拼成的大正方体的棱长最少由2个同样的小正方体的棱长组成，根据正方体体积V＝a3可以求出至少需要同样的小正方体的个数。
详解：如图：
2×2×2＝8
至少要用8个完全相同的小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查正方体的特征以及正方体体积公式的运用。
20．×
分析：根据正方体的特征，12条棱都相等；那么拼成的大正方体的棱长至少由2个同样的小正方体的棱长组成，根据正方体体积V＝a3即可求出至少需要同样的小正方体的个数。
详解：如图：
2×2×2＝8
至少用8个同样大小的正方体才能拼成一个大的正方体。
原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查正方体的特征以及正方体体积公式的运用。
21．√
分析：物体所占空间的大小，叫做这个物体的体积；容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积；体积是从物体外部来测量，容积是从物体内部来测量的，一个薄塑料长方体盒子（厚度不计），因为厚度不计，所以它的容积就是它的体积；据此判断。
详解：由分析可知：
一个薄塑料长方体盒子（厚度不计），它的容积就是它的体积。
故答案为：√
分析：本题考查体积与容积，学生需理解体积与容积的意义。
22．256 cm2；240 cm3；238 cm2；199 cm3；250 cm2；171 cm3
分析：
根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；图1代入公式即可求解；图2体积等于正方体和长方体的体积之和，表面积等于正方体和长方体的表面积之和减去重叠部分的两个正方形的面积；图3体积等于两个长方体的体积之和，表面积等于两个长方体的表面积之和减去重叠部分的两个长方形的面积；据此解答即可。
详解：图1：
表面积：（12×5＋12×4＋5×4）×2
＝（60＋48＋20）×2
＝（108＋20）×2
＝128×2
＝256（cm2）
体积：12×5×4
＝60×4
＝240（cm3）
图2：
表面积：4×4×6＋（9×5＋9×3＋5×3）×2－4×4×2
＝16×6＋（45＋27＋15）×2－16×2
＝96＋（72＋15）×2－32
＝96＋87×2－32
＝96＋174－32
＝270－32
＝238（cm2）
体积：4×4×4＋9×5×3
＝16×4＋45×3
＝64＋135
＝199（cm3）
图3：
表面积：（7×3＋7×1＋3×1）×2＋（15×5＋15×2＋5×2）×2－7×3×2
＝（21＋7＋3）×2＋（75＋30＋10）×2－21×2
＝（28＋3）×2＋（105＋10）×2－42
＝31×2＋115×2－42
＝62＋230－42
＝292－42
＝250（cm2）
体积：7×3×1＋15×5×2
＝21×1＋75×2
＝21＋150
＝171（cm3）
23．62400克
分析：
把钢材的长化成以厘米为单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出钢材的体积，再用钢材的体积乘每立方厘米的质量即可解答。
详解：
1米＝100厘米
100×10×8×7.8
＝1000×8×7.8
＝8000×7.8
＝62400（克）
答：这根钢材的质量是62400克。
24．煤渣540立方米；三合土1296立方米
分析：
已知在一个长方形场地里铺上煤渣和三合土，求煤渣和三合土的体积，就是求长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。
详解：
5厘米＝0.05米
12厘米＝0.12米
煤渣：
120×90×0.05
＝10800×0.05
＝540（立方米）
三合土：
120×90×0.12
＝10800×0.12
＝1296（立方米）
答：需要煤渣540立方米，三合土1296立方米。
25．48千克
分析：
已知一根长2米的长方体木料的截面是2分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出这根木料的截面积；再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积；最后用这种木料每立方分米的质量乘木料的体积，即可求出这根木料的总质量。注意单位的换算：1米＝10分米。
详解：
2米＝20分米
2×2×20
＝4×20
＝80（立方分米）
0.6×80＝48（千克）
答：这根木料重48千克。
26．216立方厘米
分析：
铁丝长度相当于长方体和正方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式解答即可。
详解：
（7＋6＋5）×4÷12
＝18×4÷12
＝6（厘米）
6×6×6＝216（立方厘米）
答：这个正方体框架的体积是216立方厘米。
27．有；因为“净含量：280毫升”是指包装盒内的容积，而实际容积比280毫升少
分析：
根据体积、容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体所容纳物体的体积叫做物体的容积。一个容器壁再薄也有厚度，因此，一个物体的容积要小于它的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用7×4×10求出包装盒的体积，再将单位换算成毫升，据此解答。
详解：
7×4×10＝280（立方厘米）
280立方厘米＝280毫升
包装盒的体积是280立方厘米，包装盒内的容积应小于280毫升。
答：有欺骗消费者；因为“净含量：280毫升”是指包装盒内的容积，而实际容积比280毫升少。
28．体积变小；容积变大；表面积变大
分析：根据题意，在正方体木块的上面正中间挖去一个小正方体，那么体积减少了1个小正方体的体积，所以体积比原来的体积小。
原来正方体没有容积，因为挖去了一个小正方体，容积增加了这个小正方体的容积。
挖去一个小正方体，减少了小正方体的1个面，同时又露出了小正方体的5个面，所以表面积比原来的表面积多了小正方体的4个面。
详解：体积比原来小了：2×2×2＝8（立方厘米）
容积比原来大了：2×2×2＝8（立方厘米）
表面积比原来大了：2×2×4＝16（平方厘米）
答：它的体积变小了，容积变大了，表面积变大了。
29．4厘米
分析：
根据正方体的棱长和＝棱长×12，用72÷12即可求出正方体铁块的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出铁块的体积，然后根据长方体的高＝体积÷底面积，用铁块的体积除以54平方厘米，即可求出长方体铁块的高度。
详解：72÷12＝6（厘米）
6×6×6＝216（立方厘米）
216÷54＝4（厘米）
答：长方体铁块的高是4厘米。

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