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7.2 相遇问题
在生活中我们解决相遇问题时：
1. 弄清题意，找出未知数，并用x表示。
2. 根据路程=速度×时间关系式，找出等量关系，画出合理的线段图，列方程。
3. 解方程（注意解方程的正确书写格式。）
4. 检验写答语。
例1：西安距离榆林大约有562千米，一辆客车和一辆货车同时分别从这两地相对开出，经过5小时相遇。已知客车每小时行驶65千米，设货车每小时行驶x千米，下面所列方程不正确的是（ ）。
A． B． C．
答案：C
分析：根据题意，两车的速度和×相遇时间＝总路程，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程。据此逐项分析方程是否符合题意。
详解：A．，符合等量关系式“客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程”，方程正确；
B．符合等量关系式“速度和＝总路程÷相遇时间”，方程正确；
C．不符合题中的等量关系，方程错误；
所以设货车每小时行驶x千米，方程中不正确的是。
故答案为：C
分析：本题考查相遇问题。掌握相遇问题中的等量关系是解题的关键。
例2：甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差( )分钟。
答案：9.6
分析：设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。
详解：设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。
12（x－y）＝8（x＋y）
12x－12y＝8x＋8y
12x－8x＝12y＋8y
4x＝20y
x＝5y
两辆车之间距离：12（x－y）
＝12（5y－y）
＝12×4y
＝48y（米）
则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟）
则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。
例3：两地相距725千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过5.8小时相遇。甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶多少千米？（列方程解）
答案：65千米
分析：设乙车每小时行驶千米，两地相距725千米，甲、乙两车相向而行，则相遇时，甲、乙两车的路程和＝速度和×时间，据此列方程解答。
详解：解：设乙车每小时行驶千米，
答：乙车每小时行驶65千米。
基础过关练
一、选择题
1．西安距离榆林大约有562千米，一辆客车和一辆货车同时分别从这两地相对开出，经过5小时相遇。已知客车每小时行驶65千米，设货车每小时行驶x千米，下面所列方程不正确的是（ ）。
A． B． C．
2．两地相距360千米，甲乙两辆货车从两地相对开出，经过3小时后相遇，已知甲货车每时行驶55千米，乙货车每时行驶千米，不正确的方程为（ ）。
A． B．
C． D．
3．六一节当天，奇思和淘气这对好朋友相约同时从家里出发，在途中交换一份亲手为对方创作的六一节礼物。已知他们两家相1100米，淘气的步行速度约为60米/分。10分钟后他们相遇了。下列说法正确的是（ ）。
A．相遇的地点离淘气家近一些
B．奇思的速度比淘气快
C．相遇时淘气走的路程更长。
D．交换礼物后，如果保持速度不变，淘气先到家。
4．客车和货车同时分别从相距480千米的两地相对开出，经过4小时相遇，已知客车每小时行驶65千米。设货车每小时行驶x千米，下列方程中不正确的是（ ）。
A．65×4＋4x＝480 B．4x＝（480－65）×4 C．65＋x＝480÷4
5．淘气从学校出发前往图书馆，与此同时，笑笑从图书馆出发前往学校（见下图），淘气速度为90米/分，笑笑速度为80米/分，出发9分钟后，笑笑到达学校。下面说法正确的是（ ）。
A．他们出发4.5分后相遇 B．相遇点更靠近图书馆
C．当他们到达各自目的地时，用了17分钟 D．淘气比笑笑晚到1分钟
6．甲，乙两船同时从相距250千米的码头相向而行，6时后相遇。甲船每时行驶21千米，乙船每时行驶m千米。下面所列方程正确的是（ ）。
A． B． C．
7．客、货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，5小时后相遇，相遇后客车又行了3小时到达乙地，已知客车每小时行72千米，甲、乙两地相距（ ）千米。
A．360 B．576 C．960
二、填空题
8．两地相距320千米，甲车每时行驶x千米，乙车每时比甲车多行驶3千米。两车同时从两地相对开出。那么x＋3表示( )，320÷（2x＋3）表示( )。
9．货车每时行驶85千米，客车每时行驶95千米。两车从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过x时相遇，甲、乙两地相距( )千米。
10．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差( )分钟。
11．A、B两地相距12千米，甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发，相向而行，经过30分钟后相遇。已知甲每分骑行0.22千米，则乙每分骑行多少千米？解：设乙每分骑行x千米。可列方程( )，解得x＝( )。
12．两辆汽车分别同时从两地出发，相向而行，t时相遇。两地相距( )千米，相遇时小轿车比卡车多行了( )千米。
13．王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。
14．甲、乙两列火车同时从相距750千米的两地相对而行，甲火车每时行驶120千米，乙火车每时行驶130千米，经过( )时两车相遇。
15．A、B两地相距330千米，客车从A地开出，每小时行驶72千米，货车从B地开出，每小时行驶60千米。两车同时开出相向而行，( )时后相遇。
三、判断题
16．3x+5x＝84和(3+5)x=84的结果的一样的。( )
17．养鸡场养母鸡400只，比公鸡的2倍少40只，公鸡x只。列式为：2x-40=400。( )
18．方程9x－6x=0.3的解是0.1。( )
19．甲、乙两个修路队合修一条路，甲队每天修18米，乙队每天修15米，两队合修24天修完，这条路全长多少米？
列式是：18－15=3（米）
3×24=72（米） ( )
20．a的10倍比a多9倍。( )
培优提升练
四、计算题
21．解方程。

22．看图列式或列方程计算。
23．根据图意，列出方程并解答。
五、解答题
24．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”
25．甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每时行驶80千米，乙车每时行驶90千米，经过4时后两车还相距40千米（未相遇），甲、乙两地相距多少千米？
26．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？
27．师徒两人合作加工520个零件，师傅每时加工30个，徒弟每时加工20个，几时零件加工完？
28．带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？
29．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，已知快车的速度为85千米/时，慢车的速度为78千米/时。两列火车行驶多少时相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。）
30．甲、乙两地相距900千米，一辆货车和一列客车分别同时从甲、乙两地相对开出，货车每时行80千米，客车每时行120千米，经过多少时两车在途中相遇？（用方程解）
1．C
分析：根据题意，两车的速度和×相遇时间＝总路程，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程。据此逐项分析方程是否符合题意。
详解：A．，符合等量关系式“客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程”，方程正确；
B．符合等量关系式“速度和＝总路程÷相遇时间”，方程正确；
C．不符合题中的等量关系，方程错误；
所以设货车每小时行驶x千米，方程中不正确的是。
故答案为：C
分析：本题考查相遇问题。掌握相遇问题中的等量关系是解题的关键。
2．B
分析：由题意可知，本题的等量关系式：①客车所行的路程＋货车所行的路程＝两地之间的距离；②速度之和×相遇时间＝两地路程；③货车所行的路程＝两地之间的距离－客车所行的路程；由此分别列方程解答即可。
详解：A．符合等量关系式①，此方程正确；
B．等量关系错误，此方程不正确；
C．符合等量关系式②，此方程正确；
D．符合等量关系式③，此方程正确；
故答案为：B
分析：本题主要考查列方程解决实际问题的能力，关键是要分析题意、找准等量关系式。
3．C
分析：先根据：速度＝路程÷时间，求出两人的速度和，再求出奇思的速度；然后再逐项进行分析判断，即可解答。
详解：1100÷10＝110（米/分）；110－60＝50（米/分）。
A．60＞50，相遇的地点更靠近奇思家，原题干说法错误；
B．60＞50，奇思的速度比淘气慢，原题干说法错误；
C．60＞50，相遇时，淘气的路程更长，原题干说法正确；
D．10分钟后，他们相遇，交换礼物后，如果保持速度不变，两人同时到家，原题干说法错误。
故答案为：C
分析：利用速度、时间和路程三者的关系，求出两人的速度，进而解答问题。
4．B
分析：根据题意，两车的速度和×相遇时间＝总路程，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程。据此逐项分析方程是否符合题意。
详解：A．65×4＋4x＝480，符合等量关系式“客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程”，方程正确；
B．4x＝（480－65）×4，不符合题中的等量关系，方程错误；
C．65＋x＝480÷4，符合等量关系式“速度和＝总路程÷相遇时间”，方程正确。
故答案为：B
分析：本题考查相遇问题。掌握相遇问题中的等量关系是解题的关键。
5．B
分析：先根据“速度×时间＝路程”求出学校到图书馆的距离，再逐项判断即可。
详解：80×9＝720（米）
A．720÷（90＋80）
＝720÷170
≈4.24（分钟）
所以本选项错误。
B．因为90＞80，所以相遇点更靠近图书馆，所以本选项正确。
C．因为出发9分钟后，笑笑到达学校，所以“当他们到达各自目的地时，用了17分钟”说法错误。
D．720÷90＝8（分钟）
9－8＝1（分钟）
即淘气比笑笑早到1分钟，所以本选项错误。
故答案为：B
分析：解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答及相遇问题的计算公式：路程＝速度和×相遇时间。
6．B
分析：解决相遇问题的依据是：甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝路程，据此解答即可。
详解：由分析可列方程：
故答案为：B
分析：本题主要考查了学生对相遇问题数量关系的掌握以及列方程解方程的能力。
7．B
分析：根据题意，设甲、乙两地相距x千米，客车每小时行驶72千米，5小时行驶的距离是72×5千米；还剩x－72×5千米，剩余部分的距离客车用了3小时，3小时行驶72×3千米；列方程：x－72×5＝72×3，解方程，即可解答。
详解：解：设甲、乙两地相距x千米。
x－72×5＝72×3
x－360＝216
x＝216＋360
x＝576
故答案为：B
分析：利用方程的实际应用，根据距离＝速度×时间，设出未知数，找出它们之间的关系，列方程，解方程。
8． 乙车每时行驶的路程 甲、乙两车相遇所需的时间
分析：
乙车每时比甲车多行驶3千米的数量关系式是甲车每小时的路程＋3＝乙车每小时路程，如果甲车每时行驶x千米，则乙车每小时路程＝x＋3。甲乙两车的速度和是x＋x＋3＝2x＋3，用路程÷速度和就是甲、乙两车相遇所需的时间。
详解：x＋3＝甲车每小时的路程＋3，则x＋3表示乙车每时行驶的路程，也可以说是乙的速度。
320÷（2x＋3）＝路程÷甲、乙速度和，则320÷（2x＋3）表示甲、乙两车相遇所需的时间。
9．180x
分析：本题中相向而行，可以利用相遇问题进行解答。相遇问题：路程＝速度和×相遇时间，据此列出方程求解即可。
详解：（千米）
货车每时行驶85千米，客车每时行驶95千米。两车从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过x时相遇，甲、乙两地相距(180x)千米。
分析：
10．9.6
分析：设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。
详解：设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。
12（x－y）＝8（x＋y）
12x－12y＝8x＋8y
12x－8x＝12y＋8y
4x＝20y
x＝5y
两辆车之间距离：12（x－y）
＝12（5y－y）
＝12×4y
＝48y（米）
则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟）
则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。
11． 0.18
分析：速度×时间＝路程，设乙每分骑行x千米，根据两车速度和×相遇时间＝总路程，列式方程，解方程即可。
详解：解：设乙每分骑行x千米。
可列方程，解得x＝0.18。
12． 110t 14t
分析：两地距离＝路程和＝小轿车路程＋卡车路程，路程＝速度×时间，据此表示出小轿车和卡车的路程，利用加法求出路程和，利用减法求出路程差，从而填空。
详解：62t＋48t＝110t（千米）
62t－48t＝14t（千米）
所以，两地相距110t千米，相遇时小轿车比卡车多行了14t千米。
分析：本题考查了相遇问题、用字母表示数，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。
13． 王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数 85×2＋（85＋95）x＝2870
分析：由于王娟先录入2分钟，2分钟之后李丽一起录入，可以用王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数，由于再录入x分钟录完，据此即可列方程。
详解：由分析可知：
等量关系是：王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数。
列方程为：85×2＋（85＋95）x＝2870
分析：本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系。
14．3
分析：因为两车相向而行，所以总速度等于甲火车的速度加上乙火车的速度，再根据相遇时间＝路程÷速度和，代入数据求解即可。
详解：两车速度和为：120＋130＝250（千米/时）
相遇时间为：750÷250＝3（小时）
所以两车需要经过3小时相遇。
分析：此题主要考查路程、速度、时间三者之间的关系，为简单的相遇问题，只要先求出相向而行的两车速度和即可解题。
15．2.5
分析：已知A、B两地相距330千米．一辆客车每小时行驶72千米，一辆货车每小时行60千米，根据相遇问题中：相遇时间＝路程÷速度和，进行解答即可。
详解：330÷（72＋60）
＝330÷132
＝2.5（小时）
分析：本题主要考查了学生对相遇时间＝路程÷速度和这一数量关系的掌握。
16．√
17．√
18．√
19．错误
详解：（18+15）×24
=33×24
=792（米）
故答案为错误.
20．√
21．；；
分析：（1）根据等式的性质2，在方程两边同时乘，再同时除以5。
（2）先根据等式的性质1，在方程两边同时加上9；再根据等式的性质2，在方程两边同时除以6。
（3）先计算x－x＝x；再根据等式的性质2，在方程两边同时除以。
详解：
解：

解：
解：
22．52分
分析：
由线段图以及相遇问题的公式，可得出等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列出方程，并求解。
详解：（5＋3）＝416
解：8＝416
8÷8＝416÷8
＝52
经过52分后相遇。
23．4时
分析：甲、乙两车x时后相遇，甲车速度是40千米/时，x时行驶40x千米；乙车速度是45千米/时，x时行驶45x千米，甲行驶的距离＋乙行驶的距离＝甲、乙两地的距离，列方程：40x＋45x＝340，解方程，即可解答。
详解：40x＋45x＝340
解：85x＝340
x＝340÷85
x＝4
24．20天
分析：
根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。
详解：
解：设快马天可以追上慢马。
（240－150）＝150×12
90＝1800
＝1800÷90
＝20
答：快马20天可以追上慢马。
25．720千米
分析：由题意知：可设两地距离为x千米，甲乙两车实际行驶距离是千米，根据路程÷甲乙两车的速度和＝行驶时间，列出方程解答即可。
详解：解：设两地距离为x千米。
答：甲、乙两地相距720千米。
26．540千米
分析：
两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。
详解：
解：设经过x小时两车相遇。
60x－48x＝30×2
12x＝60
x＝60÷12
x＝5
（60＋48）×5
＝108×5
＝540（千米）
答：A、B两地间的距离是540千米。
27．10.4时
分析：
根据每小时加工的数量×加工的时间＝加工的总量，可以设x时能完工，据此列出方程：师傅每小时加工的数量×x时＋徒弟每小时加工的数量×x时＝520个解答即可。
详解：
解：设x时零件加工完。
30x＋20x＝520
50x＝520
x＝520÷50
x＝10.4
答：10.4时零件加工完。
28．2400米
分析：
根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。
详解：
解：设小明和小兵x分相遇。
（55＋65）x＝1200
120x＝1200
120x÷120＝1200÷120
x＝10
240×10＝2400（米）
答：小狗一共跑了2400米。
29．12时
分析：
根据题意，先设两列火车行驶x时相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝路程可知，用快车的速度加上慢车的速度之和，再乘上x就等于全长。据此列式为：（85＋78）x＝1956，求出x即可。
详解：
根据题意可知，等量关系式为：（快车速度＋慢车速度）×相遇时间＝全长。
解：设两列火车行驶x时相遇。
（85＋78）x＝1956
163x＝1956
163x÷163＝1956÷163
x＝12
答：两列火车行驶12时相遇。
30．4.5小时
分析：
设经过x小时两车在途中相遇，根据“两地距离＝相遇时客车行驶的路程＋相遇时货车行驶的路程”列方程解答。
详解：
解：设经过x小时两车在途中相遇。
120x＋80x＝900
200x＝900
200x÷200＝900÷200
x＝4.5
答：经过4.5小时两车在途中相遇。

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