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2024年浙江省中考复习应用大题
【知识清单】
一、利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
二、利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
用含自变量的代数式表示销售商品成本
用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
三、与几何图形结合的二次函数的代数应用
这类问题一般考察几何图形的面积，比如围栏问题等；
易错提醒：二次函数与一元二次方程结合时，一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系都是需要注意的点，当题目中遇到对应的条件时，多联系对应的考点；
【习题精讲】
1. 汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：（表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为．问：
（1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？
（2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由得，将，，代入计算即可；
（2）由得，当汽车停止时，，从而计算出汽车滑行的时间，再根据滑行的距离求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
将，，代入，
得：，
答：刹车后2秒时，该汽车的速度为．
【小问2详解】
解：，
，
当汽车停止时，，
从开始刹车至停止，该汽车滑行时间：，
该汽车滑行的距离：，
答：从开始刹车至停止，该汽车滑行了，滑行的距离是．
【点睛】本题考查了根据公式进行计算，理解公式并代入相关数据进行计算即可，但因是高中物理内容，对初中学生来说有一定难度．
2. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
水平距离（m） 0 2 6 10 14 18
铅垂高度（m）
（1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
（2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
（3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（m）与时间（s）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
【答案】（1）；
（2）不达标 （3）不能
【解析】
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，再把点代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分别把和代入，求出t的值，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
即，
即该运动员铅垂高度的最大值为；
把点代入得：
，解得：，
∴满足的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴该运动员的成绩不达标；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
∴该运动员从起跳到落地所用时间为，
∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，
∴该运动员从起跳到落地不能完成动作．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
3. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元
（2）设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润
（3）若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
【答案】（1）8400元
（2）200元 （3）140元
【解析】
【分析】（1）把代入，求出销售的件数，从而得到政府补贴金额；
（2）根据总利润=数量×单件利润列出函数关系式，再利用二次函数的最值求解；
（3）每月获得的总收益为，列出函数关系式，再令，求出x值，结合函数的性质得到最小值．
【小问1详解】
解：在中，令，则，
∴政府这个月补贴元；
【小问2详解】
由题意可得：，
∵，
∴当时，w有最大值30000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．
【小问3详解】
设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴该月销售单价的最小值为140元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最值的求解，此题难度不大．
4. 如图（1），当以速度（米/秒）竖直向上抛物体时，物体的速度v（米/秒）和高度h（米）都与时间t（秒）存在某种函数关系，为了深入研究它们之间的关系，某数学兴趣小组以速度向上抛起物体，通过多次实验获取数据并整理成如下图表：图（2）是速度v与时间t的关系，图中射线分别与x，y轴交于点，点，（速度向上记为正，向下记为负）．
t（秒） 0 1 2 3 4
H（米） 1 16 21 16 1
（1）请解释图（2）中点A所表示的实际意义；
（2）①请将表格中的的各组数值作为点的坐标，在图（3）的坐标系中，描出各点，连线，画出高度h与时间t的函数图象，由图象可知h是t的_______函数；
②求h关于t的函数关系式；
（3）当速度不足12米/秒时，求h的取值范围．
【答案】（1）点A表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点
（2）①图见解析，二次；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据速度与时间的关系及函数图象，即可解答；
（2）①画出函数图象，即可解答；②设函数关系式为：，再把代入关系式，即可求解；
（3）首先可求得，把代入解析式，可求得，再代入，即可求解．
【小问1详解】
解：点A表示经过2秒物体的速度降为0米/秒，此时物体是上抛过程中的最高点；
【小问2详解】
解：①描出各点，连线，画出高度h与时间t的函数图象，如下：
由图象可知：h是t的二次函数，
故答案为：二次；
②解：由表可知二次函数的顶点坐标是，
可设函数关系式为：，
把代入上式，得：，
解得：，
∴h关于t的函数关系式是：；
【小问3详解】
解：设
把点代入上式，得：，
解得，
，
把代入上式，得：，
解得，
，
当速度不足12米/秒时，h的取值范围为．
【点睛】本题考查了函数的应用，画函数图象，求二次函数及一次函数的解析式，理解题意，准确求得函数解析式是解决本题的关键．
5. 如图1，已知排球场的长度为，宽，位于球场中线处的球网的高度为．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，，球飞行到达最高点F处时，其高度为，F与C的水平之距为，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小忽略不计）．
（1）当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
（2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（，结果保留两位小数）
【答案】（1）①；②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界
（2）
【解析】
【分析】（1）①设抛物线解析式为：，直接利用待定系数法求解即可；
②根据题意得出，分别计算当时，当时的y值，进而与球网高度及0进行比较，即可求解；
（2）连接，先由勾股定理求出的长度，再分类讨论当球的落点在点M处时，设此时抛物线的解析式为，当球的落点在点N处时，设此时抛物线的解析式为，分别将M，N的坐标代入计算即可．
【小问1详解】
①由题意得，
设抛物线解析式为：，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为：；
②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界；理由如下：
∵排球场的长度为，
∴，即点A的横坐标为9，
当时，，
所以能过网；
当时，，
所以不出界；
【小问2详解】
如图，连接，
由题意得，，
∵，
∴，
当球的落点在点M处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得；
当球的落点在点N处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得;
综上，球员跳起的高度范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用—投球问题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键．
6. 如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
（1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
（2）为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）①水柱达到的最大高度8米；②
【解析】
【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．
【小问1详解】
①设第一象限内水柱的函数表达式为．
当时，把代入函数表达式，得．
第一象限内水柱函数表达式为．
②把代入，得得
【小问2详解】
①设第一象限内水柱的函数表达式为．
．
把代入，得，
．
水柱达到的最大高度8米．
②把代入，得．
要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．
，
，解得．
．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
7. 某公园有一喷水装置，从点向前上方喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点落在轴上，轴上的点处竖立着立柱，，水柱经上升后下降恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
（1）求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离的长；
（2）当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了多少米？
【答案】（1）长2米，长米；
（2）米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图像与抛物线解析式即可得到的长；
（2）根据抛物线的对称性得到对称轴，进而得到水平距离比原来近了多少．
【小问1详解】
解：∵水柱所在的抛物线的函数表达式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：喷水装置的长2米，立柱离喷水装置的水平距离的长为米．
【小问2详解】
解：∵减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点，，，
∴，
∴根据抛物线的对称性即可得到点关于对称轴对称，
∴，，
∴，
∴此时对称轴为，
∵水柱恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
∴，
∴对称轴为：，
∴水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了：（米），
答：减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8. 某经销商销售一种成本价为100元/件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于180元/件．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x 120 140 150 170
y 360 320 300 260
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式；该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（）；（2），180元，19200元．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；
（2）根据（售价 成本）×销售数量＝销售利润，列出函数关系式，然后配方，写成顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．
【详解】解：（1）设关系式为，把，代入得：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为：，
通过验证，满足上述关系式，
因此与的之间的函数关系式就是．
（2）根据题意得
∵，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，W随的增大而增大，
∵，
∴当x＝180时，利润W最大，
元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润的基本关系式及二次函数的性质是解题的关键．
9. 有一块形状如图1的四边形余料，，，，，，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在上．
（1）如图2，若所截矩形材料的另一条边在上，设，矩形的面积为y，
①求y关于x的函数表达式．
②求矩形面积y的最大值．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
【答案】（1）①；②当时，y取到最大值
（2）能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为
【解析】
【分析】（1）①由锐角三角函数可求的长，由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解；
（2）用分别表示，的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．
【小问1详解】
解：①如图2，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
②点在线段上，
，
，
当时，的最大值为10；
【小问2详解】
能，如图1，当点在线段上时，过点D作于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
，
能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10. 乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．
销售单价（元/盒） 15 13
日销售量（盒） 500 700
（1）求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；
（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？
（3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
【答案】（1）
（2）当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元
（3）当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元
【解析】
【分析】（1）设，根据表格即可求解；
（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在求最值即可．
【小问1详解】
解：设，由题意得
，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：当时，，
即销售200盒的纯利润为1180元，
成本价为：（元），
，
解得：（舍），，
（元）．
答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元．
【小问3详解】
解：设日销售纯利润为元，由题意得
，
，，
当时，有最大值1580元，
答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元．
【点睛】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
11. 抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量(件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数)，部分对应值如下表:
每件售价（元） 9 11 13
每天的销售量（件） 105 95 85
（1）求与的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）13元 （3）当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可；
（3）根据二次函数的性质以及的取值范围进行求解即可．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，，
将，代入得，
解得，
∴，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意知，利润，
令，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴每件消毒用品的售价为13元；
【小问3详解】
解：由（2）知，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，，此时利润最大，
∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12. 如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线解析式；
（3）求矩形的最大面积．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）当时，矩形的面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件建立平面直角坐标系，在图中描出相应的点即可；
（2）设直线的解析式为，的解析式为，将点，两点代入即可求出直线的解析式，将点代入反比例函数图像，即可求出的解析式；
（3）设点的横坐标为，则点坐标为，表示出，点坐标为，的面积为，将坐标代入，利用二次函数最大值问题求出最后结果．
【小问1详解】
解：如图
小问2详解】
设直线的解析式为，将点，代入得直线的解析式为：，
由点得曲线的解析式为：．
【小问3详解】
如图，设点的横坐标为，则点坐标为，
，
四边形是矩形，
，
点坐标为，
设矩形的面积为，
，
当时，矩形的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了坐标系中描点的问题，涉及到一次函数和反比例函数解析式的求解，二次函数的实际应用，注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，研究其最值是解答本题的关键．
13. 某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，元/人；
方式2：只购买景点B，元/人；
方式3：景点A和B联票，元/人．
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万．为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的人和原计划只购买B门票的人改为购买联票．
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有_________万人，购买方式2门票的人数有_________万人，购买方式3门票的人数有_________万人；并计算门票总收入有多少万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）；；；万元
（2）；票价格为元时，四月份的门票总收入最大，最大值是万元
【解析】
【分析】（1）根据数量关系直接求解即可；
（2）根据（1）可列出函数解析式，然后求二次函数的最大值即可．
【小问1详解】
由题可知：若联票价格下降5元，
购买方式1门票的人数有：（元），即万元；
购买方式2门票的人数有：（元），即万元；
购买方式3门票的人数有：（元），即万元；
门票总收入有：（万元）．
【小问2详解】
由题可知：
∴对称轴所在的直线，
∴当时，联票价格为元，万元．
答：四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式为，联票价格为元时，四月份的门票总收入最大是万元．
【点睛】此题考查二次函数实际应用，解题关键是要求出自变量的取值范围，然后在顶点处取二次函数最大值．
14. 如图1，一钢球从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为4．钢球在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球在斜面上滚动的速度v（）是时间t （s）的正比例函数，函数图象如图2所示．
t（s） 0 0.5 1 1.5
S1（） 0 0.5 2 4.5
（1）求关于t的函数表达式．
（2）求斜面的长度，以及钢球滑至底端B的速度．
（3）钢球滚动至有阻力的水平面上时，滚动路程S（）与时间T （s）的关系式为，（）指的是钢球在点B的速度，T指的是从B开始滚动的时间．求钢球在水平面上滚动的最远距离．
【答案】（1）
（2）8，
（3）4
【解析】
【分析】（1）由题意知函数过，设关于t的函数表达式为，待定系数法求解即可；
（2）由题意知，，设，将代入得，可得，代入，即，求解满足要求的，然后代入，计算求解即可；
（3）由题意知，，根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意知函数过，设关于t的函数表达式为，
将，代入得，，解得，
∴，
∴关于t的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意知，，
设，将代入得，
∴，
将代入得，，解得或（不合题意，舍去），
当，，
∴的长为8，钢球滑至底端B的速度为；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∵，
∴有最大值，在时取到，且最大值为4，
∴钢球在水平面上滚动的最远距离为4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15. 如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求支柱的长度．
（3）随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
【答案】（1）
（2）5.5米 （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；
（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；
（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．
【小问1详解】
设抛物线的函数表达式为．
把代入得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．·
【小问2详解】
当x=5时，．，
∴（米）．
【小问3详解】
不能，理由如下：
当时，．
∴这艘货船不能顺利通过拱桥．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
16. 某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1
高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线（实线部分），线段，线段绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中， mm，记为，，，，．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留）
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
【答案】（1）抛物线：；抛物线：
（2）
（3）24mm或28mm
【解析】
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，分别求出，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵ 点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
∴设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
∴，
∴抛物线：；抛物线：；
【小问2详解】
设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆半径分别为，
在抛物线中：当时，，
∴；
∵
则，
∴
【小问3详解】
解：当时，由抛物线解析式可得：，，
∴，即：，解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：，，
可列方程：，则，解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
17. 为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线解析式为，
待定系数法求解析式即可求解；
（2）依题意，抛物线向左平移2个单位得到，令，即可求解．
（3）分别求得经过点，时，求得与轴的交点坐标，进而即可求解．
【小问1详解】
解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
【小问2详解】
不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到
令，解得：，
∴水流不能到达点处，
【小问3详解】
解：依题意，设水流到达墙面高度，
设抛物线解析式为
当时，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当时，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
当，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18. 随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【答案】（1）①建立坐标系见见解析，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2）由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值，即可求出h的取值范围．
【小问1详解】
①解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器底端O到点B的距离为；
【小问2详解】
如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴
使水柱落在花坛的上方边上，h的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
19. 物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
（3）若另有一垂直于地面旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得时，，再利用正切函数即可求解；
（3）先求得时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，代入函数解析式得，
把，代入函数解析式得，
即，
解得．
【小问2详解】
解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，
则．
【小问3详解】
解：∵，
∴当时，y取得最小值，，
当时，y取得最大值，，
∵旗杆与直杆的长度比为，
∴，
∴m的取值范围为，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
20. 小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
（1）当时，求关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）7，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴关于t的函数关系式为；
【小问2详解】
解：对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，
由小明在4s时第一次追上球可得，，
解得，
即图中a的值为；
【小问3详解】
小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，
，，则，
，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
第三次踢后，变化规律为，
，，则，
，
第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为，经过24米，
故第五次踢球所需时间为，经过48米，
故第六次踢球所需时间为，经过24米，
故第七次踢球所需时间为，经过48米，
∵，，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中支架，．
素材2 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】任务：见解析；任务：能完成改造，理由见解析；任务：米
【解析】
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】解：（1）如图，以为原点，建立如图1所示坐标系，
∴，，
∴设抛物线解析式为，
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，将代入解析式得，，
∴．
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵，
∴为，
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
∴，
∴，为，
∴，
∴共需改造经费，
∴能完成改造．
图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
∴，
由题意可列不等式，，解得，
∵，
∴时，的值最大，为米．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 根据以下素材，探索完成任务.
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器.
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. h（mm）…72162288…x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式.
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T.
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）.请求出所有符合要求的方案.
【答案】；；符合要求的方案有两种，方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min，方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）由题意得出T关于x的函数关系式，把对应x值代入即可．
（3）根据题意求出x和T的取值范围，h和T都是整数，可以得出符合要求的只有两种方案．
【详解】解：[任务1]
把，和，分别代入，
得，
解这个方程组，得，
所以h关于x的函数关系式为．
[任务2]
解：由任务一得h关于x的函数关系式为，
当时，
即，
解得：，
由于，得，
由题意得：T关于x的函数关系式为，
∴当时，．
[任务3]
由题意得：漏水壶水位在，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵h和T都是整数，
∴把分别代入和，
当时，，，
当时，，，
∴符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min．
方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键．
23. 根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作于点，设，，求关于的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
_______________ _______________ _______________
【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3：7，，
【解析】
【分析】（1）设关于的函数表达式为，用待定系数法求出解析式；
（2）将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，求出的长度，根据任务1求出的长，在求出、的长，得出，，两者进行对比来判断影子是否会到2号楼；
（3）由任务2可得： ，可得，则，正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，可得，可得，则每幢房子最多7层，从而可得答案．
【详解】任务1：设关于的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为，经检验符合题意．
任务2：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上．
任务3：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为．
【点睛】本题考查了投影问题，涉及一次函数，不等式的应用，特殊角的三角函数值，结合实际情况将影子和实际楼间距进行对比是解答本题的关键．
24. 根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
【答案】任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米．
【解析】
【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长；
任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知 ，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高；
任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点，
根据，得到，在中，结合，得到
，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，，
即可证明四边形是矩形，进一步得到，，，
，，结合是半径，得到，
在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值．
【详解】任务1：
如图所示：
由题意得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
又∵，，则，
∴，
∴，
即 ，；
任务2：
如图所示：
∵，
∴是直径，
取的中点，过点作交于点，即点是圆心，
∵ ，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由题意可知：是直径，点是圆心，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴即为劣弧的弓高，
∴，
∴劣弧的弓高为米；
任务3：
如图所示：
过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点与点重合，
连接，过点作，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，，
又∵是半径，
∴，
在中，
∵，，，
则，
∴，
解得：（舍），，
∴，
∴遮阳篷点上升高度的最小值为米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
25. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件： ①水柱的最高点与点P的高度差为； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
【答案】【任务1】；【任务2】（－4.2，1.8）；【任务3】6米
【解析】
【分析】任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
任务2：令上述抛物线，得，求出，再依据即可得出结论；
任务3：设，根据题意得从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把把代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴即．
任务2：令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为．
任务3：
如图2．
设，从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或1.2（舍去），
∴，
把代入得，
∴喷水装置OP的高度为6米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
26. 根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
【答案】任务一：；任务二：，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条
【解析】
【分析】任务一：用待定系数法求解即可；
任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这样的图案最多可以摆放几个；
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得（m，n为正整数，且），然后讨论即可．
【详解】任务一：由题意得：，点B坐标为，
设抛物线解析式为，将点代入解析式得：
解得，
∴抛物线解析式为
任务二：时，点D的纵坐标为：，
当时，代入，得
解得，，
∴，
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个．
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，
由以上条件可知：，．
（m，n为正整数，且），
①，，（不能对称摆放，舍去）
②，（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意）
③，（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意）
④，（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）
⑤，（不能对称摆放，舍去）
综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
27. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本；任务3：文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本（答案不唯一）
【解析】
【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据，，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可．
【详解】任务1：
解：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：
解：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得，化简得，
由题意，，，且b是10的倍数，
∴，，，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：
解：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得
，整理得，
∵，且，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
28. 根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
【答案】任务一：，顶点D 的坐标为；任务二： ；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为
【解析】
【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
任务二：先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则；
任务三： 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于．则，即可得到，证明，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
【详解】解：任务一：把=代入得：
∴，
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为；
任务二：∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E、是叶片上的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
任务三：∵直线与x 轴成角
∴可设直线的解析式为，
把点代入得，．
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴，同理可求出直线的解析式为：，
∴，
把代入，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立，解得．
∵幼苗是越长越张开，
∴不合题意，舍去
∴，
作交延长线于点H，
∴，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
∴直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点N，M，
作交曲线于．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴叶片此时的长度为，最大宽度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
12024年浙江省中考复习应用大题
【知识清单】
一、利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
二、利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤
设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
用含自变量的代数式表示销售商品成本
用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
三、与几何图形结合的二次函数的代数应用
这类问题一般考察几何图形的面积，比如围栏问题等；
易错提醒：二次函数与一元二次方程结合时，一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系都是需要注意的点，当题目中遇到对应的条件时，多联系对应的考点；
【习题精讲】
1. 汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：（表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为．问：
（1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？
（2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？
2. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从点起跳后到着陆坡着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．在着陆坡上设置点作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
水平距离（m） 0 2 6 10 14 18
铅垂高度（m）
（1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离与铅垂高度的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
（2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
（3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度（m）与时间（s）均满足（其中为常数，表示重力加速度，取），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
3. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元
（2）设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润
（3）若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
4. 如图（1），当以速度（米/秒）竖直向上抛物体时，物体的速度v（米/秒）和高度h（米）都与时间t（秒）存在某种函数关系，为了深入研究它们之间的关系，某数学兴趣小组以速度向上抛起物体，通过多次实验获取数据并整理成如下图表：图（2）是速度v与时间t的关系，图中射线分别与x，y轴交于点，点，（速度向上记为正，向下记为负）．
t（秒） 0 1 2 3 4
H（米） 1 16 21 16 1
（1）请解释图（2）中点A所表示的实际意义；
（2）①请将表格中的的各组数值作为点的坐标，在图（3）的坐标系中，描出各点，连线，画出高度h与时间t的函数图象，由图象可知h是t的_______函数；
②求h关于t的函数关系式；
（3）当速度不足12米/秒时，求h的取值范围．
5. 如图1，已知排球场的长度为，宽，位于球场中线处的球网的高度为．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，，球飞行到达最高点F处时，其高度为，F与C的水平之距为，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小忽略不计）．
（1）当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
（2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（，结果保留两位小数）
6. 如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
（1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
（2）为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
7. 某公园有一喷水装置，从点向前上方喷水，喷出的水柱为抛物线，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点落在轴上，轴上的点处竖立着立柱，，水柱经上升后下降恰好落在立柱顶端处，此时水柱所在的抛物线的函数表达式为．
（1）求喷水装置的长和立柱离喷水装置的水平距离的长；
（2）当减弱喷水强度使得抛物线水柱正好落在立柱的中点处，问此时水柱的最高点离喷水装置的水平距离比原来近了多少米？
8. 某经销商销售一种成本价为100元/件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于180元/件．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x 120 140 150 170
y 360 320 300 260
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式；该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
9. 有一块形状如图1的四边形余料，，，，，，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在上．
（1）如图2，若所截矩形材料的另一条边在上，设，矩形的面积为y，
①求y关于x的函数表达式．
②求矩形面积y的最大值．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
10. 乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．
销售单价（元/盒） 15 13
日销售量（盒） 500 700
（1）求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；
（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？
（3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
11. 抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量(件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数)，部分对应值如下表:
每件售价（元） 9 11 13
每天的销售量（件） 105 95 85
（1）求与的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
12. 如图1，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形，其中，在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线上．测量发现：，，，点到，所在直线的距离分别为，．
（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把，，，，这个点先描到平面直角坐标系上，记点的坐标为；点的坐标为．请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线解析式；
（3）求矩形的最大面积．
13. 某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，元/人；
方式2：只购买景点B，元/人；
方式3：景点A和B联票，元/人．
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万．为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的人和原计划只购买B门票的人改为购买联票．
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有_________万人，购买方式2门票的人数有_________万人，购买方式3门票的人数有_________万人；并计算门票总收入有多少万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
14. 如图1，一钢球从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为4．钢球在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球在斜面上滚动的速度v（）是时间t （s）的正比例函数，函数图象如图2所示．
t（s） 0 0.5 1 1.5
S1（） 0 0.5 2 4.5
（1）求关于t的函数表达式．
（2）求斜面的长度，以及钢球滑至底端B的速度．
（3）钢球滚动至有阻力的水平面上时，滚动路程S（）与时间T （s）的关系式为，（）指的是钢球在点B的速度，T指的是从B开始滚动的时间．求钢球在水平面上滚动的最远距离．
15. 如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求支柱的长度．
（3）随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．
16. 某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线（实线部分），线段，线段绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中， mm，记为，，，，．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留）
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
17. 为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
18. 随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
19. 物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
（3）若另有一垂直于地面旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
20. 小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
（1）当时，求关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中支架，．
素材2 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
22. 根据以下素材，探索完成任务.
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器.
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. h（mm）…72162288…x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式.
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T.
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）.请求出所有符合要求的方案.
23. 根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作于点，设，，求关于的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
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24. 根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
25. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件： ①水柱的最高点与点P的高度差为； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
26. 根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
27. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”， 两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
28. 根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
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