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2024年浙江省中考复习二次函数大题
【知识清单】
一、二次函数定义及其图象性质
1．二次函数的定义：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
二、二次函数与方程的解
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函数与轴交点情况
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
三、二次函数与不等式（组）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1（2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
【解题秘籍】
一、二次函数的增减性：
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量x取值范围内讨论抛物线的增减性；
二、二次函数的最值：
对于二次函数，当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；当时，抛物线有最高点，函数有最大值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；
三、二次函数图形与系数的关系：
二次函数中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。
四、二次函数图象上点的坐标特征主要考点：
点在图象上，点的特征符合其解析式
和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题
和其他几何图形结合，综合考察两者的性质
五、二次函数的对称性
对称轴
在二次函数图象上 ，B（），对称轴
【习题精讲】
1. 二次函数与x轴交于两点．
（1）当时，求m的值．
（2）当时，
①求证：．
②点在该抛物线上，且，试比较与的大小．
【答案】（1）；
（2）①见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，把代入求得，得到，把代入得，，解方程即可得到答案；
（2）①把代入得，，由得到，进一步得，则，由解方程求出m，即可判断．
②由①得，，则，把代入得，，则，由，得到,，进一步即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，，
把代入得，，
解得，
∴，
把代入得，，
解得或；
∵二次函数与x轴交于两点，
∴；
【小问2详解】
①把代入得，
，，
∵，
∴，，
由得到，
则，
∴，
∴（舍去），，
∵
∴．
② 由①得，，
∴，
把代入得，
，，
∴
，
∵，
∴,
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识， 读懂题意并准确计算是解题的关键．
2. 设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）当时，二次函数，即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；
（3）分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出的不等式便可求得结果．
【小问1详解】
当时，二次函数
顶点坐标为；
【小问2详解】
当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为；
【小问3详解】
二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
故．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出的不等式．
3. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
（2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．
【答案】（1）①；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据二次函数对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解；
（2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴该函数解析式为．
∵该函数图象的对称轴为直线，
∴，
解得：．
∵该函数图象过点，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为；
②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程有且只有一个实数解，
∴，
整理，得：，即，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵该函数的图象经过点，，
∴，，
∴，
整理，得：，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，即．
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键．
4. 设二次函数（且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点,的坐标；
（2）若，判断二次函数图象顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程（）有两个不相等实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）第一象限；（3）
【解析】
【分析】（1）计算自变量为0时的函数值得到A点坐标；把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线对称轴，从而得到B点坐标；
（2）根据二次函数顶点坐标公式求得顶点坐标，再判断所在象限；
（3）利用抛物线与x轴的交点问题，可看作抛物线y=ax2-4ax-4（a≠0）与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3），利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，顶点在第一象限，所以-4a-4＞0且当x=1时，y≤0，即a-4a-4≤0，然后解a的不等式组即可得到a的范围．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2-4ax-4（a≠0）与y轴交于点A，
即当x=0时，y=-4，
∴A（0，-4），
∵y=ax2-4ax-4=a（x-2）2-4a-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=2
∴B（2，0）；
（2）顶点坐标在第一象限,理由如下：
∵二次函数（且为常数）的顶点坐标为
x=, ，
∵a<-2,
∴-4-4a>0,
∴顶点坐标在第一象限;
（3）∵方程ax2-4ax-4=0（a≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线y=ax2-4ax-4（a≠0）与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴-4a-4＞0，解得a＜-1，
当x=1时，y≤0，即a-4a-4≤0，解得a≥-，
∴a的取值范围为-≤a＜-1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5. 已知关于x的二次函数（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过两点，求二次函数表达式；
（2）若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）k的值为或3
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；
（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．
【小问1详解】
将代入，得
，
解得，
∴次函数的表达式是；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴函数解析式为，
∵，
∴，即，
∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，
∴当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得；
当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得或（舍去）
综上，k的值为或3．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
6. 二次函数的图象与y轴的交点为．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入解析式即可；
（2）根据（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；
（3）先求出的解析式，再根据的对称轴，然后分，，三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与y轴的交点为，
∴，
解得，
∴a的值为；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴二次函数在x轴上截得的线段长的值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴对称轴为，
当即时，当时，有最小值，
∴；
当时，即，当时，有最小值，
∴；
当即时，当时，有最小值，
∴，
综上所述，的解析式为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
7. 已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：．
【答案】（1），
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）将带入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
（2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与x轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；
（3）由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出a的值，再将带入如抛物线的解析式得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
【小问2详解】
解：函数图象向下平移一个单位得，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解方程得：；
【小问3详解】
解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线为：，
∵在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵是这条抛物线上不同的两点，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质．
8. 已知二次函数．
（1）若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
（3）若，且当自变量x满足时，，求m的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将代入，令，解一元二次方程即可求解；
（2）根据顶点坐标公式，得出，，即可得证；
（3）①当时，最小值，不合题意，②当，最小值为时，，根据题意得出，进而将点代入得，，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将代入
即，
当时，
解得：
∴该二次函数图象与轴的交点坐标为
【小问2详解】
解：∵图象的顶点坐标为，
∴，
∴
【小问3详解】
解：∵，则对称轴为直线，
自变量x满足时，，
，当时，，
在对称轴左侧，随增大而增大，
①当时，最小值为，不合题意，
②当，最小值为时，，
最大值为时，，
∴，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∵，即，
∴．
【点睛】本题考查了求抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P坐标．
【答案】（1）yx2x；（2）P(2，﹣3)或(2，5)；（3）P(2，)或(2，﹣2)或(2，)或(2，)
【解析】
【分析】（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5），即可求解；
（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2，0），S△PCFPC×DF（2﹣m）（22）＝5，即可求解；
（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5）x2x；
（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
函数PB的表达式为：ymx，
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y，
解得：x＝2，
故点F（2，0），
S△PCFPC×DF（|2﹣m|）（|22|）＝5，
解得：m＝5或﹣3，
故点P（2，﹣3）或（2，5）；
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，
①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），
②当CP＝PF时，同理可得：m，
③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10. 如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P．
（1）当时，求长；
（2）当点M与对称轴之间的距离为2时，求点P的坐标．
（3）在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求的取值范围．
【答案】（1）5 （2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线解析式，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可求出长；
（2）先用含t的代数式表示出抛物线的对称轴，点A的横坐标，根据“点M与对称轴之间的距离为2”求出t的值，进而求出点P的横坐标，代入即可求解；
（3）解不等式，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，抛物线的解析式为，
令，得，
解得，，
B在A左侧，
，，
；
【小问2详解】
解：中，
令，得，
解得，，
B在A左侧，
，，
抛物线的对称轴为，
M是线段的中点，
，
当点M与对称轴之间的距离为2时，
，即，
解得或，
或，
轴，交双曲线于点P，
点P的横坐标为或，
当时，，
当时，，
或；
【小问3详解】
解：由（2）知抛物线的对称轴为，
当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），
，
解得，
即的取值范围为．
【点睛】本题考查抛物线与反比例函数的综合，涉及求抛物线与x轴的交点坐标、对称轴，解一元一次不等式组，求反比例函数的函数值等，解题的关键是掌握二次函数与反比例函数的图像和性质，熟练应用数形结合思想．
11. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
（1）求点C的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）点；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据是等腰直角三角形，直线和直线的夹角为 ，推出或，进行分类讨论即可解答；
（3）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；
【小问1详解】
∵对称轴为直线 ，
∴，
，
∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
由抛物线的表达式知，点；
【小问2详解】
，
是等腰直角三角形，
则，
∵直线和直线的夹角为 ，
或，
在中，，
，
当 时，如图1所示：
∵，
则，
则；
当时，如图2所示：
，
，
∴的长度为 或 ；
【小问3详解】
当和在对称轴两侧时，
此时，抛物线在时，取得最小值，
当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时，
即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，注意分类讨论；解题的关键是数形结合思想的应用．
12. 如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当时，求线段的长．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）令可确定点B的坐标，令可确定点A的坐标．
（2）可确定点P的坐标，求得的长度；求出的解析式，的解析式，确定E的坐标，过点E作于点M，利用平行线分线段成比例定理，确定点E为的中点，计算即可．
（3）分两种情形去求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，
∴令得，
∴；
令得，
解得，
∵点A在x轴的正半轴，
可确定点A的坐标．
∴．
【小问2详解】
∵抛物线，，
∴，
∴，；
设直线的解析式为，的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点E作于点M，
则，，
∴，
∴点E为的中点，
∴．
【小问3详解】
当时，点E在垂直平分线上，
∵，
∴垂直平分线为直线；
根据（2）得的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点E作于点N，
则，，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故；
当时，
∵，，
∴，
∴，
过点E作于点G，
则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了待定系数法，平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，正切三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质是解题的关键．
13. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该函数解析式．
（2）将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点，求n的值．
（3）若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为，再代入，解方程即可求解；
（3）把点代入，求得a的值，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴该函数解析式为；
【小问2详解】
解：，
将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，
函数解析式为，
把点代入得，
整理得，
解得或；
【小问3详解】
解：对于，对称轴为，当时，函数的最小值为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得或，
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
综上，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m的取值范围是解题的关键．
14. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②最小值为
【解析】
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
【小问1详解】
抛物线与x轴相交于点
解得
；
【小问2详解】
①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15. 已知二次函数（a，b是常数，），它的图象过点．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若，此二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为3，求m的值；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入函数解析式即可得；
（2）先求出二次函数的解析式，求出当时，的值，然后利用二次函数的性质分①在的左侧和②在的右侧两种情况，由此即可得；
（3）先根据求出，再利用根的判别式判断出抛物线与轴有两个不同的交点，从而可得抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，由此可得，然后根据即可得．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
则．
【小问2详解】
解：，
，
，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，，解得或，
①在的左侧，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为3，
∴；
②在的右侧，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为3，
∴．
综上，或．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，解得，
关于的方程的根的判别式，
∴函数图象与轴有2个不同的交点，
函数图象的顶点在第二象限，
抛物线的开口向下，且顶点的横坐标小于0，
，解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16. 已知抛物线的图像过点，．
（1）请用含b的关系式表示a；
（2）当时，．
①求b取值范围；
②若点，在抛物线的图像上，且，求证：．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）将，两点代入抛物线中，进而得出答案；
（2）①根据时，，可得，结合（1）中的结论可得答案；
②表示二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性进行解答即可．
【小问1详解】
解：将和代入，
得①，②，
将②代入①得，；
【小问2详解】
①解：∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，；
②证明：∵，
∴抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴Q点在P点的右侧，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
17. 抛物线（为常数）经过点，
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入解析式，进行求解即可；
（2）利用二次函数的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线（为常数）经过点，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点为：，
∵，
∴点在点及其对称点连线下方的抛物线上，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的性质．正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
18. 对于抛物线．
（1）若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
（2）已知当时，，求和的值．
【答案】（1）①；②
（2），
【解析】
【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
②先确定抛物线的对称轴为直线，，再确定当时，，当时，，比较函数值的大小即可得出答案；
（2）先确定抛物线与轴交点坐标为，而当时，，从而可得出，利用顶点纵坐标公式可求出，此时当时，可得，建立方程解之即可．
【小问1详解】
解：①∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
②∵抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
【小问2详解】
∵抛物线
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
∵当时，，
∴抛物线经历先下降再上升的过程，
∴，
解得：或（舍去），
∴，．
【点睛】考查二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；
（2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值.
【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.
20. 在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）函数值相等．
（1）若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
（3）记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【答案】（1）函数表达式为：，顶点坐标为
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；
（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该函数的最大值为1，
∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，
∴，
解得，
∴函数表达式：，
∴该函数的顶点坐标为；
【小问2详解】
∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，
∵对称轴，
∴，
将代入中，
解得（舍去），，
∴，
∴，；
【小问3详解】
由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
∴，
即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，
∴，随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；
（3），是抛物线上任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；
（4），是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）；
（3）；
（4）t的最大值为5．
【解析】
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；
（3）分3种情况求解即可；
（4）分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又∵，，，
∴点离抛物线的对称轴距离较大，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴离抛物线的对称轴距离较大，函数值越大．
当时，点P离对称轴远，不符合题意；
当时，由题意得，
，
解得，
∴时，都有；
当时，点Q离对称轴远，都有．
综上，当时，都有．
【小问4详解】
解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴点P在抛物线对称轴的右侧，
∵，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴且，
解得；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴，，
解得，
综上所述：当时，满足题意．
∴t的最大值为5．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
22. 如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为.
（1）求二次函数的表达式.
（2）点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点.
①若点在二次函数的图像上，求的最大值.
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围.
【答案】（1）；
（2）①，②或
【解析】
【分析】（1）待定系数法计算即可．
（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，
把代入构造h为函数的二次函数计算即可．
②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可．
【小问1详解】
把，代入得：
，
解得，，
∴．
【小问2详解】
①设点的坐标为，则点的坐标为．
把代入，得：
，
，
∵，当时，且满足，
∴．
②设点的坐标为，则点的坐标为.
当，点的坐标为，
把代入得：，
∴或．
∴或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
23. 已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
（1）求函数图象对称轴；
（2）若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得到答案；
（2）由得，，化简得，结合，，从而可得答案；
（3）由，结合点与与直线的距离恒相等，可得在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，可得，结合随的增大而减小，可得当时，的最小值为．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴对称轴直线．
【小问2详解】
由得，，
化简得，
又∵，，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵，
由（1）（2）可得，点与与直线的距离恒相等，
∴在直线的左侧，则在直线的右侧或两点重合在直线上，
∴，
∵随的增大而减小，
∴当时，的最小值为．
【点睛】本题考查的是抛物线图象的性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解题意，选择合适的解题方法是关键．
24. 如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为.
（1）求顶点C的坐标.
（2）①若，求MB的值.
②当时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化成顶点式即可解答；
（2）①当时，令，，解得，，即点的横坐标为，即可求得，再根据可得，最后根据即可解答；②由题意可得，即，然后再根据二次函数的性质求得最大值和最小值即可解答.
小问1详解】
解：，
顶点的坐标为.
【小问2详解】
解：①当时，令，，解得，，即点的横坐标为
∴，
∵
∴
∴.
②，
.
当时，的最小值为.
当时，的最大值为6.
.
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
25. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
（1）求的值及点的坐标．
（2）将该抛物线向右平移个单位长度后，与轴交于点，且点的对应点为，若，求的值．
【答案】（1），点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线中，求得，再求当时，求得即可得点的坐标；
（2）根据平移得点的对应点为的坐标，平移后抛物线的解析为，求得点的坐标，再根据，建立方程即可求得的值．
【小问1详解】
解：将代入抛物线中，
得：，解得：，
即：抛物线为：，
当时，，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
∵抛物线向右平移个单位长度，与轴交于点，且点的对应点为，
∴平移后抛物线，，
当时，，则
∵，
∴，整理得
解得：或（舍去）
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，会求函数平移后的解析式是解题的关键．
26. 已知抛物线．
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
【答案】（1）；；
（2）；1．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，得到，再根据与x轴有交点，利用一元二次方程根的判别式，解得，然后利用抛物线上对称点与对称轴的关系，求出，即可得到m的最大值．
【小问1详解】
解：抛物线与y轴的交点为，
，
抛物线的函数表达式为，
，
顶点坐标为；
小问2详解】
解：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
，
抛物线与x轴有交点，
有实数解，
，
由图像法解一元二次不等式，得：或（舍），
c的取值范围为，
抛物线，
对称轴为，
点，在抛物线上，
，
，
，
m的最大值为1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的联系是解题关键．
27. 抛物线经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，最大值与最小值差为5，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出时有最小值，结合已知条件得到当时，， 据此求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）得函数表达式，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线在时有最小值；
当时，，
∵当时，最大值与最小值差为5，
∴当时，，
∴，，
∴或（舍去）
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
28. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点作轴于点．当时，求点横坐标的取值范围．
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数表达式，画出函数图象即可；
（2）由（1）得，对称轴为直线由P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，可知，求出临界情况，，即当时，当时，求出值，再结合图象即可求得点横坐标的取值范围，
【小问1详解】
解：把代入，得，解得，
∴，
大致图象如图：
【小问2详解】
由（1）得，对称轴为直线
∵P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，
∴
当时，，解得，
∴，
当时，，解得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是待定系数法求解函数解析式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
29. 已知二次函数．
（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
（3）已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
【答案】（1），当时，；
（2）2或8； （3）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图象，结合图象可求解；
（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；
（3）由，得，容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，
当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
【小问2详解】
当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：,
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，的值为2或8；
【小问3详解】
证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以 ，得证．
【点睛】本题查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键．
12024年浙江省中考复习二次函数大题
【知识清单】
一、二次函数定义及其图象性质
1．二次函数的定义：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．
4．二次函数的图象的平移：
平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．
二、二次函数与方程的解
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函数与轴交点情况
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
三、二次函数与不等式（组）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1（2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
【解题秘籍】
一、二次函数的增减性：
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量x取值范围内讨论抛物线的增减性；
二、二次函数的最值：
对于二次函数，当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；当时，抛物线有最高点，函数有最大值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；
三、二次函数图形与系数的关系：
二次函数中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。
四、二次函数图象上点的坐标特征主要考点：
点在图象上，点的特征符合其解析式
和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题
和其他几何图形结合，综合考察两者的性质
五、二次函数的对称性
对称轴
在二次函数图象上 ，B（），对称轴
【习题精讲】
1. 二次函数与x轴交于两点．
（1）当时，求m的值．
（2）当时，
①求证：．
②点在该抛物线上，且，试比较与的大小．
2. 设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
3. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
（2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围．
4. 设二次函数（且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求点,的坐标；
（2）若，判断二次函数图象顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程（）有两个不相等实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围．
5. 已知关于x的二次函数（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过两点，求二次函数表达式；
（2）若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值．
6. 二次函数的图象与y轴的交点为．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
7. 已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：．
8. 已知二次函数．
（1）若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
（3）若，且当自变量x满足时，，求m的值．
9. 抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P坐标．
10. 如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P．
（1）当时，求长；
（2）当点M与对称轴之间的距离为2时，求点P的坐标．
（3）在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求的取值范围．
11. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
（1）求点C的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
12. 如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当时，求线段的长．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
13. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该函数解析式．
（2）将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点，求n的值．
（3）若点在该函数图象上，当时，函数的最小值大于，请求出m的取值范围．
14. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
15. 已知二次函数（a，b是常数，），它的图象过点．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若，此二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为3，求m的值；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，当时，求的取值范围．
16. 已知抛物线的图像过点，．
（1）请用含b的关系式表示a；
（2）当时，．
①求b取值范围；
②若点，在抛物线的图像上，且，求证：．
17. 抛物线（为常数）经过点，
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
18. 对于抛物线．
（1）若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
（2）已知当时，，求和的值．
19. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
20. 在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）函数值相等．
（1）若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
（3）记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；
（3），是抛物线上任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；
（4），是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．
22. 如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为.
（1）求二次函数的表达式.
（2）点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点.
①若点在二次函数的图像上，求的最大值.
②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围.
23. 已知二次函数，点与都在该函数的图象上，且．
（1）求函数图象对称轴；
（2）若点与与直线的距离恒相等，求m的值；
（3）若，求的最小值．
24. 如图，已知点C为二次函数的顶点，点为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图像于点A，B（点A在点B的左侧）.点M在射线上，且满足.过点M作交抛物线于点N，记点N的纵坐标为.
（1）求顶点C的坐标.
（2）①若，求MB的值.
②当时，求的取值范围.
25. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
（1）求的值及点的坐标．
（2）将该抛物线向右平移个单位长度后，与轴交于点，且点的对应点为，若，求的值．
26. 已知抛物线．
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
27. 抛物线经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，最大值与最小值差为5，求的值．
28. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点作轴于点．当时，求点横坐标的取值范围．
29. 已知二次函数．
（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
（3）已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
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