资源简介

2024年浙江省中考复习反比例函数较难题型
【知识清单】
一、反比例函数中k的几何意义
图象中k的几何意义
【解法秘籍】
解设反比例函数上某一点的横坐标为a，利用反比例函数表达式写出点的坐标
写出点的坐标后，利用题目已知条件表示图上线段长，面积等，得到方程
辅助线方面：多做垂线，利用反比例函数k的几何含义和相似解题；
【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　　．
【答案】2．
【思路点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
【典例2】 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）的图像经过的顶点B，交y轴于点E，轴，F为边上一点，，连结并延长交x轴于点G，连结．
（1）设的面积，四边形的面积为，则的值为__________，
（2）当的面积为3时，k的值为__________；
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】（1）根据线段比例及三角形面积公式梯形面积公式代入求解即可得到答案；
（2）设，根据比例得到，，结合面积列等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设的公比为m，
∵，
∴，，，
∴，，其中为对边间的距离，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，设，
∵，
∴，，
∵的面积为3，，
∴，
∴，
故答案为：8；
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、平行四边形的性质及比例的性质，解题的关键是设出点B坐标，根据比例找到线段关系列式．
【类题训练】
1. 如图，点，在轴正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意设点坐标为，则，根据的面积为1，，得到，解得．
【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点，
∴，，
设，则，，
∴，则，
∴，
∵的面积为1，即：，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点坐标为，然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
2. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图像上，连接交轴于点，作点关于轴的对称点，连接恰好经过坐标原点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作轴于，作轴于，根据题意证明，得到，设，，表示出和的长从而得到，根据对称性表示出点坐标，设的解析式为，求出，即可得到最后结果．
【详解】解：如图，作轴于，作轴于，
，
，
，
，
设，，
，，
，
关于轴的对称点，
，
设的解析式为，
，则，
，则，
，则，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像及其性质，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线建立相似三角形是解答本题的关键．
3．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　．
【答案】．
【解析】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，
设C（m，），
则OM＝m，CM＝，
∵OE∥CM，AE＝CE，
∴＝＝1，
∴AO＝m，
∵DN∥CM，CD＝2BD，
∴＝＝＝，
∴DN＝，
∴D的纵坐标为，
∴＝，
∴x＝3m，
即ON＝3m，
∴MN＝2m，
∴BN＝m，
∴AB＝5m，
∵S△ABC＝6，
∴5m ＝6，
∴k＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
4．如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　　．
【答案】24
【解析】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
5. 如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，进而表示出的坐标，用含的代数式表示出阴影部分的面积，求出的值，即可得解．
【详解】解：∵，
设，
则：，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查已知图形面积求值，熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．
6. 如图，在直角坐标系中，矩形被三条直线分割成六个小矩形，D是边的中点，，反比例函数的图像经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积和满足，则k的值为__________．
【答案】24
【解析】
【分析】设，则然后表示出，再分别用k表示出，最后代入解关于k的方程即可．
【详解】解：设，则
∴，
∴，，
∵，
∴，解得：．
故答案为24．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像、解一元一次方程、坐标与图形等知识，巧妙设点坐标，正确用k表示出是解答本题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k>0）的图象如图所示，等边三角形的顶点A在该反比例函数图象上，轴于点B，．若顶点C恰好落在（）的图象上，则____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，，则，如图，过作轴于，，则，，，将点坐标代入，计算求解满足要求的值即可．
【详解】解：由题意得，，则，
如图，过作轴于，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，反比例函数与几何综合，正弦，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8. 已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：当时，此时；
在函数上，
，
，
即，
；
当时，此时；
在函数上，
，
，
即，
，
当时，点落在轴上，故不合题意，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
9. 如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为__．
【答案】2.
【解析】
【分析】根据题意可以分别设点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，从而可以得到△ABC的面积
【详解】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，）
∵点C是x轴上一点，且AO=AC
∴点C的坐标为（2a，0）
设过点O、点A的解析式为y=kx，则
∴k=
∴直线OA的解析式为：y＝
又∵点B在直线OA上，
∴
∴
∴（-2不合题意，舍去）
∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=
故答案为：2
【点睛】此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的．
10. 如图，直线的图像与反比侧函数的图像交于第一象限的点，与轴交于点，轴于点，平移直线的图像，使其经过点，且与函数的图像交于点，若，则的值为______.
【答案】18
【解析】
【分析】过点C作轴于点，设，根据，确定，根据A，C都在上列出等式计算即可．
【详解】如图，过点C作轴于点，
∵直线的图像与反比侧函数的图像交于第一象限的点，
∴设，，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵A，C都在上，
∴，
解得（舍去），
故，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握相似的判定和性质，灵活运用交点的意义和反比例函数的意义是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，，且轴于点A，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，于，则．由，，，可得，设，则，求出t的值即可．
【详解】过点作于点，于，则
，，
，，
设，则，
点、D在图象上
解得：
点，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
12. 如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过，的中点，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过作于，过作于，证明，设，可得，，，可得，的中点坐标为：，，可得，整理得，再解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
∴，，
∴，
∴，的中点坐标为：，，
∵反比例函数刚好经过，的中点，
∴，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求解锐角的正切，熟练的建立方程求解是解本题的关键．
13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，过点作交轴负半轴于点，连结．当面积为3时，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】延长交y轴于点E，过点B作轴于点F，先证明得出，然后利用平行线分线段成比例可得，进而得出，然后证明得出，从而可求，，，，再根据k的几何意义，从而求出k的值．
【详解】解：延长交y轴于点E，过点B作轴于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又面积为3，
∴，，
∴，
又，
∴，
又，
∴（负数舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
14. 如图，点，过作轴于点，是反比例函数图像上一动点且在内部，以为圆心为半径作，当与的边相切时，点的纵坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据点和轴可得为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得出，确定直线的解析式为，然后分三种情况讨论即可．
【详解】解：∵点，过作轴于点，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
①如图，当与相切，设，
过点作于点，过点作轴，交于点，
∵的半径为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线：图像上，点在反比例函数图像上，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴此时点的纵坐标为；
②如图，当与相切，设，
过点作于点，
∵的半径为，
∴，
∵点，轴，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴，
∴此时点的纵坐标为；
③如图，设直线：与反比例函数图像交于点，反比例函数图像与的边交于点，
由可得：或（舍去），
∴，
∵比例函数图像与的边交于点，
当时，，
∴，
∵在第一象限内，反比例函数图像的函数值随的增大而减小，且，
∴当点在内部时与边不相切，
综上所述，当与的边相切时，点的纵坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查切线的性质，用待定系数法确定正比例函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，函数图像的交点坐标，反比例函数的增减性，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，本题运用了分类讨论和数形结合的思想．根据题意进行分类讨论、掌握切线的性质是解题的关键．
15. 如图，菱形中，对角线相交于点，反比例函数的图象过点M和点C，则m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的图象过点M求得反比例函数为，根据菱形的性质M为的中点，可知，即可求得C的横坐标为2，从而求得，得到菱形边长为6，利用勾股定理得到关于m的方程，解方程即可；
【详解】解：作轴于D，轴于N，则，
∵点，反比例函数的图象过点M和点C，
∴，
∴反比例函数为，
∵四边形是菱形，
∴M是的中点，
∴，
∴C点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（负数舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得菱形的边长是解此题的关键，解答时还需注意函数图像上的点满足函数解析式．
16. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和图像相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，所以，求解即可．
【详解】解： 连接，如图所示，
轴，
，
反比例函数图像上的点与坐标轴及原点围成三角形面积，
，
，
，解得；
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k值得几何意义，掌握反比例函数图像上的点与坐标轴及原点围成三角形面积是解题的关键，解题难点是构造同底等高的三角形面积相等．
17. 如图，菱形的一边在轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线和相交于点D且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出 ，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
又∵D在反比例函数上，
∴，
∵，
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
18. 如图，已知点A是一次函数（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是______．
【答案】3．
【解析】
【详解】如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，
设A（x，），则B B（x，），C（x+a，），∴，由①得：ax=6，由②得：2k=4ax+x2，由③得：2k=2a（a+x）+x（a+x），2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2，2a2=ax=6，a2=3，
∴S△ABC=AB CE= 2a a=a2=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形等，是一道综合性较强的题目，解题的关键是正确地添加辅助线.
19. 将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，轴，则k的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】由题意可得： 可得 如图，过C作于 设 则 利用反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，再求解m，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：
如图，过C作于
设
则
反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，
解得： 即
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
20. 如图1，点A是反比例函数图象上一点，连接，过点A作轴交的图象于点，连接并延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，已知点的横坐标为1，，连接，小明通过对和的面积与的关系展开探究，发现的值为__________；如图2，延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，依此进行下去．记，，则__________．
【答案】 ①. 4 ②. ##0.75
【解析】
【分析】根据反比例函数系数的几何意义，得到，，进而得到，又因为，得到，再根据反比例函数的性质，得到，从而得到，，证明，得到，利用勾股定理求出，得到点B的坐标，即可求出的值，将的值代入，得到，同理可得，推出规律，面积恒等于，即可得到答案．
【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，
点A是的图象上一点，是的图象上一点，轴
，，
，
点B是的图象上一点，是的图象上一点，轴
，，
，
，
，
，
，
是的图象上一点，且点的横坐标为1，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
点B是的图象上一点，
，
，
同理可证，，，
，，
，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，先证明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，证明△OHQ∽△OCB，求出，则；过点作轴于G，可以推出，设AM=a，则BM=OM=3a，则，解得，得到AB=OC=2，，从而求出，，利用三角形面积法求出，则，即点C的坐标为．
【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，
由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，
又∵BQ=OQ，
∴△BMQ≌△ONQ（AAS），
∴QM=QN，即点Q为OB的中点，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴，
∴△OHQ∽△OCB，
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∵Q在反比例函数图象上，
∴；
过点作轴于G，
∵点M在反比例函数图象上，
∴，
又∵，
∴，
设AM=a，则BM=OM=3a，
∴，
∴，
解得（负值已经舍去），
∴AB=OC=2，，
∵QM=QG，OQ=BQ，
∴四边形OMBN是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则______；延长交轴于点，则点的坐标为______．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】通过构造延长线得到直角三角形，再用射影定理求出之间的数量关系，在通过面积为15求出实际长度，再通过求D点到y轴的距离求出D点坐标，也解出k，进而得出B点坐标．再过点作于，然后通过相似求出A点坐标，进而得出直线解析式，最后得出F点坐标．
【详解】解：延长交轴于点，设，则，，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
过作轴，则，
即，
∵，
∴，即．
∵，
∴，过点作于，易证，
∵，
∴，，
∴，联立得，
∴
【点睛】本题考查反比例函数解析式求解、相似三角形的应用、射影定理应用、菱形的性质、一次函数应用，掌握这些是本题关键．
23. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点．交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为______，若，则的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的性质及矩形的性质设，进而得到的值即可解答；
（2）根据反比例函数的性质得到面积之间的关系，再根据坐标点的坐标即可求得的面积．
【详解】解：①∵，点是的中点，
∴，
设，
∴，，，
∵反比例函数过的中点，
∴，
∴，
∵双曲线过点，
∴，
∴，
②过点作于点，过点作于点，
∵点都在抛物线双曲线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是梯形，
∵，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的中点在轴正半轴上，为的中点．反比例函数的图象经过点，，延长交函数在第四象限的图象于点．反比例函数的图象经过点，连结．若的面积为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，证明，得出，即可求解．
【详解】如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
则四边形是矩形，
∵的面积为，关于对称，则，
∴
∵斜边上的中点在轴正半轴上，为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的的几何意义，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键．
25. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点.为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结.若，的面积为8，则的值为________.
【答案】6
【解析】
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE=S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC=S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k++=12；即可求解；
【详解】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AC=3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m，），
∵AC=3DC，DH∥AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC=S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
=，
∴2k=12，
∴k=6；
故答案为6.
【点睛】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
26. 如图，将矩形的顶点O与原点重合，边分别与x、y轴重合．将矩形沿折叠，使得点O落在边上的点F处，反比例函数上恰好经过E、F两点，若B点的坐标为，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连结OF，过E作于H．得到E点的坐标为，F点的坐标为，证明，利用相似三角形的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：连结OF，过E作于H．
由B点坐标为，可得E点的坐标为，F点的坐标为，
由折叠的性质知：是线段的垂直平分线，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，，
由折叠可得，
在中，由勾股定理可得
，
解得，（舍）．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定、轴对称的性质等知识，巧妙的将点的坐标转化为相似三角形对应边的比是解决问题的关键，同时还考查了勾股定理的内容．
27. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为____________，的面积为 ____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，则，，将代入，可得，将代入，可得，计算求解即可；如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形，由题意知，，，，证明，，则有，，将各量代入求解用表示的，，，的值，然后根据，，求出，的值，根据，计算求解即可．
【详解】解：设，则，，
将代入得，得，
将代入得，解得，
∴值为，
如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形，
由题意知，，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，
∴
∴的面积为；
故答案为：， ．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例与几何综合，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12024年浙江省中考复习反比例函数较难题型
【知识清单】
一、反比例函数中k的几何意义
图象中k的几何意义
【解法秘籍】
解设反比例函数上某一点的横坐标为a，利用反比例函数表达式写出点的坐标
写出点的坐标后，利用题目已知条件表示图上线段长，面积等，得到方程
辅助线方面：多做垂线，利用反比例函数k的几何含义和相似解题；
【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 　　．
【典例2】 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）的图像经过的顶点B，交y轴于点E，轴，F为边上一点，，连结并延长交x轴于点G，连结．
（1）设的面积，四边形的面积为，则的值为__________，
（2）当的面积为3时，k的值为__________；
【类题训练】
1. 如图，点，在轴正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图像上，连接交轴于点，作点关于轴的对称点，连接恰好经过坐标原点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　．
4．如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　　．
5. 如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为______．
6. 如图，在直角坐标系中，矩形被三条直线分割成六个小矩形，D是边的中点，，反比例函数的图像经过小矩形的顶点F，G，若图中的阴影矩形面积和满足，则k的值为__________．
7. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k>0）的图象如图所示，等边三角形的顶点A在该反比例函数图象上，轴于点B，．若顶点C恰好落在（）的图象上，则____．
8. 已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为________．
9. 如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为__．
10. 如图，直线的图像与反比侧函数的图像交于第一象限的点，与轴交于点，轴于点，平移直线的图像，使其经过点，且与函数的图像交于点，若，则的值为______.
11. 如图，在平面直角坐标系中，，且轴于点A，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，则点D的坐标为_____________．
12. 如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过，的中点，则_______．
13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，过点作交轴负半轴于点，连结．当面积为3时，则的值为_____________．
14. 如图，点，过作轴于点，是反比例函数图像上一动点且在内部，以为圆心为半径作，当与的边相切时，点的纵坐标是______．
15. 如图，菱形中，对角线相交于点，反比例函数的图象过点M和点C，则m的值为________．
16. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和图像相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为________．
17. 如图，菱形的一边在轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线和相交于点D且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则_____．
18. 如图，已知点A是一次函数（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是______．
19. 将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知AB＝2，反比例函数的图象恰好经过顶点C，D，轴，则k的值为______．
20. 如图1，点A是反比例函数图象上一点，连接，过点A作轴交的图象于点，连接并延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，已知点的横坐标为1，，连接，小明通过对和的面积与的关系展开探究，发现的值为__________；如图2，延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，依此进行下去．记，，则__________．
21. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____．
22. 如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则______；延长交轴于点，则点的坐标为______．
23. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点．交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为______，若，则的面积为______．
24. 如图，在平面直角坐标系中，斜边上的中点在轴正半轴上，为的中点．反比例函数的图象经过点，，延长交函数在第四象限的图象于点．反比例函数的图象经过点，连结．若的面积为，则的值为________．
25. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点.为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结.若，的面积为8，则的值为________.
26. 如图，将矩形的顶点O与原点重合，边分别与x、y轴重合．将矩形沿折叠，使得点O落在边上的点F处，反比例函数上恰好经过E、F两点，若B点的坐标为，则k的值为________．
27. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为____________，的面积为 ____________．
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