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第四单元 比例
（易错点+误区分析+易错专训）
易错点1：不会区分是放大图形，还是缩小图形。
误区分析：
（1）分不清是放大图形，还是缩小图形。
（2）一般情况下，按一定的比画图形，比的前项大于后项是把图形放大，比的前项小于后项是把图形缩小。如果只将图形的部分边放大或缩小，图形的形状就会发生变化。将一个图形放大或缩小时，应该将每条边都按照相同比放大或缩小。易错点2：比例基本性质的应用。
误区分析：
（1）不会正确使用比例的基本性质。
（2）首先要明确比例的各部分名称，内项是指中间的两项，外项是指两端的两项。比例的基本性质是内项之积等于外项之积。当比例是分数形式时，应该用等号两边的分子和分母交叉相乘，所得的积相等，不能用分子乘分子，分母乘分母，防止与分数乘法相混淆。
易错点3：用比例尺解决实际问题。
误区分析：
（1）解决与比例尺相关的实际问题时，把图上距离和实际距离相颠倒，发生错误。（2）比例尺的关系式是图上距离：实际距离=比例尺。比的前项和后项不能调换位置。求出比例尺后一定要化简。一般情况下，要将比例尺写成前项或后项是1的比。前项比后项小，表示缩小;前项比后项大，表示放大。
一、选择题
1．第十三届中国（徐州）国际园林博览会在徐州园博园开启。徐州公交集团开通园博园专线1路：人才家园首末站——园博园。线路全长20千米，在规划图上的总长约4厘米，规划图的比例尺是（ ）。
A．1∶500000 B．1∶5000 C．1∶50
2．下面的数中，（ ）能与6，8，12组成比例。
A．16 B．12 C．10 D．3
3．下面说法正确的是（ ）。
A．0.9∶3和∶能组成比例 B．如果3a＝5b（a、b都不等于0），那么a∶b＝3∶5
C．比值不相等的两个比，也可能组成比例 D．一个比例的两个内项互为倒数，两个外项的乘积一定等于1
4．某一时刻测得一烟囱在阳光下的影长是16.2米，同时测得一根长4米的竹竿的影长是1.8米，那么烟囱长（ ）米。
A．25 B．30 C．36 D．7.29
5．一个三角形的一个角是60°，把它按1∶3的比画在图纸上，这个角应画（ ）。
A．20° B．60° C．180° D．30°
6．三角形的高把底分成1∶3两段（如图）。三角形①和原来大三角形面积的比是几比几？（ ）
A．3∶1 B．1∶3 C．1∶4 D．4∶1
7．把的前项增加16，要使它的比值不变，后项应该（ ）。
A．增加16 B．增加5 C．乘5 D．增加15
8．下面说法中，不正确的是（ ）。
A．小王把一个实际长度是0.2毫米的零件画到200∶1的图纸上，应画4厘米。
B．有一个内角是60°的等腰三角形，它有3条对称轴。
C．50千克盐水中含盐2千克，这种盐水中盐与水的质量比是1∶24。
D．用同样大的小正方体积木摆了一个物体，从前面和右面看到的图形如图所示，这个物体最多是由6个小正方体摆成的。
二、填空题
9．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。如果一个外项为4，这个比例可能是( )。
10．有些比例只用到三个不同的数，如果让你在1～9中选择，选择的数可以是( )，一共有( )种不同的选择。
11．一个手机配件长8毫米，画在图纸上量得长40厘米，这幅图纸的比例尺是( )。
12．看图填空。
(1)上图中( )号图形是①号图形缩小后的图形，它是按( )∶( )的比缩小的。
(2)上图中( )号图形是②号图形放大后的图形，它是按( )∶( )的比放大的。
13．秦岭输水隧洞全长约98千米，全线贯通后，满足了陕西省多个城市的用水需求。在比例尺为1∶4900000的地图上，这条隧洞长( )厘米。
14．如果（m、n都不为0），则( )∶( )。
15．一幅图的比例尺是。在这幅图上量得一个圆形水池的直径是2厘米，这个水池实际的占地面积是( )平方米。
16．如果（m、n均不为0），那么m∶n＝( )。（填最简单的整数比）
三、判断题
17．图上1厘米表示20千米比例尺是1∶2000000厘米。( )
18．从学校到广场，甲用了5分钟，乙用了6分钟，甲与乙的速度比是6∶5。( )
19．已知∶a＝b∶5，则a、b互为倒数。( )
20．将一个圆柱的底面半径先按3∶1放大，再按1∶2缩小，高不变，这个圆柱的体积是原来的。( )
四、计算题
21．求未知数x。
0.3x－4.4＝1 x＋25%x＝4 ∶x＝∶
五、作图题
22．先将下面的三角形按2∶1的比放大，再将放大后的图形按1∶4的比缩小。分别画出两次变化后的图形。
六、解答题
23．张老师开车从家经过公园到学校，全长25千米，大约需要小时，如果以同样的速度开车从家直接去学校，需要多长时间？
24．在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地相距7厘米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，2小时相遇。已知客车与货车的速度比是4∶3，那么货车的速度是多少千米/时？
25．在比例尺是1∶20000000的地图上量得甲、乙两地间的铁路长6厘米。两列高速列车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知从甲地开出的列车平均每小时行315千米，从乙地开出的列车平均每小时行285千米，几小时后两车能相遇？
26．一段圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，小强和小盛想通过做实验来求得圆柱形钢材的体积。小强将圆柱形钢材全部取出后，观察到水面下降了10厘米。小刚又将圆柱形钢材竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米。现在只知道圆柱形钢材的底面半径是4厘米，你能帮小强和小刚算出圆柱形钢材的体积吗？
27．我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖。他们研制的“祝融号”火星车高1.85米，重约240千克，为人类探索火星提供了原始科学探测数据。现在有一辆按1∶10的比缩小的全仿真“祝融号”火星车模型，该模型的高度是多少厘米？
28．观察思考，动手操作。
（1）三角形各顶点的位置用数对表示为：、、，请在方格图中画出这个三角形。
（2）把三角形绕点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）画出把三角形按1∶2缩小后的图形。
（4）缩小后的三角形的面积是原三角形的面积的（ ）%。
29．下面是市文化宫周围的环境。量一量，填一填，画一画。（取整厘米数）
（1）文化宫东面300米处，有一条商业街与人民路互相垂直。在图中画直线表示这条街，并标上：商业街。
（2）体育馆在文化宫（ ）偏（ ）45°方向（ ）米处。
（3）李明以每分钟60米的速度从学校沿着人民路向东走，3分钟后他在文化宫的（ ）面（ ）米处。
（4）电影院在文化宫（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）米处。
参考答案
1．A
【分析】由题意，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，直接代入数值求解即可，注意统一单位。
【详解】20千米＝2000000厘米
4∶2000000
＝（4÷4）∶（2000000÷4）
＝1∶500000
规划图的比例尺是1∶500000。
故答案为：A
2．A
【分析】表示两个比相等的式子叫比例。据此分别用选项中的数字与6，8，12组成两个比，如果组成的两个比比值相等，则能组成比例。
【详解】A．16∶8＝2，12∶6＝2，两个比比值相等，则16能与6，8，12组成比例；
B．12与6，8，12不能组成两个相等的比，则不能组成比例；
C．10与6，8，12不能组成两个相等的比，则不能组成比例；
D．3与6，8，12不能组成两个相等的比，则不能组成比例。
故答案为：A
3．D
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
选项A，用比的前项除以后项，分别求出两个比的比值，看两个比值是否相等即可；
选项B，根据比例的基本性质，将a∶b＝3∶5化成等积式，看是否与3a＝5b一致即可；
选项C，根据比例的意义直接判断；
选项D，根据比例的基本性质和倒数的意义直接判断。
【详解】A．0.9∶3＝0.3，∶3，两个比的比值不相等，不能组成比例。原题说法错误；
B．a∶b＝3∶5，则5a＝3b。原题说法错误；
C．比值相等的两个比可以组成比例，比值不相等的两个比不可以组成比例。原题说法错误；
D．一个比例的两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，其乘积一定等于1，原题说法正确。
故答案为：D
4．C
【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设烟囱长x米，根据烟囱长∶烟囱影长＝竹竿长∶竹竿影长，列出比例求出x的值即可。
【详解】解：设烟囱长x米。
x∶16.2＝4∶1.8
1.8x＝16.2×4
1.8x＝64.8
1.8x÷1.8＝64.8÷1.8
x＝36
烟囱长36米。
故答案为：C
5．B
【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；
把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。
【详解】一个三角形的一个角是60°，把它按1∶3的比画在图纸上，角度不变，这个角应画60°。
故答案为：B
6．C
【分析】观察图形可知，三角形①和原来大三角形的高都是同一条，则根据高一定时三角形的面积与底成正比例的性质解答即可。
【详解】因为三角形①的底边和原来大三角形的底边比是1∶（1＋3），即为1∶4，所以三角形①和原来大三角形面积的比是1∶4。
故答案为：C
【分析】此题考查了三角形的面积与底成正比例的性质。要求熟练掌握并灵活运用。
7．C
【分析】根据比例的基本性质，已知前项增加16，即4＋16＝20，相当于前项乘上5，要使后项不变，后项应该也要乘上5。
【详解】前项：4＋16＝20
20÷4＝5
后项：3×5＝15
15－3＝12
则后项应该乘5或者增加12。
故答案为：C
【分析】此题考查了比例的基本性质，要求学生熟练掌握并灵活运用。
8．D
【分析】根据比例尺知识、三角形的分类以及轴对称图形知识、比的意义、从不同方向观察物体知识，结合选项逐一分析解答即可。
【详解】A．0.2×200＝40（毫米）＝4（厘米），所以小王把一个实际长度是0.2毫米的零件画到200∶1的图纸上，应画4厘米，所以原选项说法正确；
B．有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形有3条对称轴，所以原选项说法正确；
C．50千克盐水中含盐2千克，这种盐水中盐与水的质量比是2∶（50－2）＝2∶48＝1∶24，所以原选项说法正确；
D．用同样大的小正方体积木摆了一个物体，从前面可知有2层，结合从右面看到的有2列，左列最多由3个小正方体，右列最多有4个小正方体，所以这个物体最多由7个小正方体拼成的，所以原选项说法错误。
故答案为：D
【分析】本题考查了比例尺、三角形的分类以及轴对称图形知识、比的意义、从不同方向观察物体知识，结合题意分析解答即可。
9．； 4∶＝∶
【分析】一个比例的两个外项互为倒数，根据比例的性质可知，两个内项也互为倒数；根据“其中一个内项是”，即可求出另一个内项；然后用1除以其中的一个外项4，求出另一个外项是多少；最后写出比例即可。
【详解】1÷
＝1×
＝
1÷4＝
一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是。
如果一个外项为4，这个比例可能是4∶＝∶。（答案不唯一）
10．1、2、4或1、3、9 2
【分析】根据比例的基本性质，在数字1～9中的三个不同的数，有1×9＝3×3和1×4＝2×2两个等式，据此写出比例式即可。
【详解】1×9＝3×3
组成的比例式为：1∶3＝3∶9；
1×4＝2×2
组成的比例式为：1∶2＝2∶4；
选择的数可以是1、2、4或1、3、9，一共有2种不同的选择。
11．50∶1
【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，据此代入数值进行计算即可。
【详解】40厘米∶8毫米＝400毫米∶8毫米＝50∶1
这幅图纸的比例尺是（）。
12．(1)③ 1 3
(2)⑥ 2 1
【分析】
1、图形方法与缩小的意义：图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大；图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小。
把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1
把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n
图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。
图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数。
【详解】（1）①号图形是一个长方形，长是6厘米，宽是3厘米。③号图形的长是2厘米，宽是1厘米。缩小后和原图的长的比是2∶6＝1∶3，宽的比是1∶3，即相等。则是按照1∶3缩小的。
则图中③号图形是①号图形缩小后的图形，它是按1∶3缩小的。
（2）②号图形是一个正方形，边长是2厘米。⑥号图形也是一个正方形，边长是4厘米。扩大后和原图的边长的比是4∶2＝2∶1。则是按照2∶1扩大的。
则图中⑥号图形是②号图形放大后的图形，它是按2∶1扩大的。
13．2
【分析】
由高级单位千米转换成低级单位厘米，乘进率100000，据此把98千米转化成以厘米为单位；根据图上距离＝实际距离×比例尺，将数据代入计算即可。
【详解】98千米＝98×100000＝9800000厘米
9800000×＝2（厘米）
综上所述：秦岭输水隧洞全长约98千米，全线贯通后，满足了陕西省多个城市的用水需求。在比例尺为1∶4900000的地图上，这条隧洞长2厘米。
14． 2 3
【分析】
比例的基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，据此填空。
【详解】如果（m、n都不为0），则∶1＝2∶3。
15．7850
【分析】
从线段比例尺可以看出，图上1厘米代表实际距离50米，化成数值比例尺，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出这个圆形水池的实际直径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出水池的占地面积。
【详解】1厘米∶50米
＝1厘米∶5000厘米
＝1∶5000
2÷
＝2×5000
＝10000（厘米）
10000厘米＝100米
3.14×（100÷2）2
＝3.14×502
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
即这个水池实际的占地面积是7850平方米。
16．5∶8
【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，即可写出这个比例，化简即可。
【详解】由得：
m∶n＝∶
＝（×20）∶（×20）
＝5∶8
即m∶n＝5∶8。
17．×
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅图的比例尺。比例尺中的比不带有单位。
【详解】20千米＝2000000厘米
所以，图上1厘米表示20千米比例尺是1∶2000000。
故答案为：×
18．√
【分析】将学校到广场这段路程看作单位“1”，从而将甲、乙的速度表示出来，再作比化简即可求出速度比。
【详解】∶
＝（×30）∶（×30）
＝6∶5
所以，甲与乙的速度比是6∶5。
故答案为：√
【分析】本题考查了比的化简，比的前项和后项都是分数时，可利用比的性质，将前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，再化简出最简整数比。
19．√
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，已知∶a＝b∶5，则ab＝×5＝1；据此判断。
【详解】由分析得：
ab＝×5＝1
所以a、b互为倒数，原题说法正确。
故答案为：√
【分析】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。
20．×
【分析】把原来的半径看作“1”，按3∶1放大后的半径为（1×3），再按1∶2缩小后的半径为（1×3×），再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出原来的圆柱的体积和现在的体积，再用现在的体积除以原来的体积，即可解答。
【详解】设原来的底面半径看作“1”，按3∶1放大后的半径为（1×3），再按1∶2缩小后的半径为（1×3×），高为h。
[π×（1×3×）2×h]÷（π×12×h）
＝[π×h]÷πh
＝
将一个圆柱的底面半径先按3∶1放大，再按1∶2缩小，高不变，这个圆柱的体积是原来的。
故答案为：×
【分析】根据图形的放大和缩小的意义以及圆柱的体积公式进行解答。
21．x＝18；x＝3.2；x＝
【分析】0.3x－4.4＝1，根据等式的性质1和2，将方程两边同时加上4.4，再同时除以0.3计算即可。
x＋25%x＝4，先算方程左边的式子，得到1.25x＝4，然后根据等式的性质2，将方程两边同时除以1.25计算即可。
∶x＝∶，根据比例的基本性质，原式改写成x＝×，计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可。
【详解】0.3x－4.4＝1
解：0.3x＝1＋4.4
0.3x＝5.4
x＝5.4÷0.3
x＝18
x＋25%x＝4
解：1.25x＝4
x＝4÷1.25
x＝3.2
∶x＝∶
解：x＝×
x＝
x＝÷
x＝×
x＝
22．见详解
【分析】根据图形放大的意义，将三角形的两条直角边分别扩大到原来的2倍，画出的三角形就是按照2∶1的比放大的图形；再将放大后的图形的两条直角边缩小为原来的，画出的三角形则是按1∶4的比缩小的图形。
【详解】作图如下：
23．小时
【分析】根据速度＝路程÷时间，用25除以求出张老师开车的速度。已知张老师直接从家到学校的图上距离是4厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出张老师从家直接去学校的实际路程。再用实际路程除以张老师的开车速度即可求出需要的时间。
【详解】25÷＝25×＝60（千米）
4÷＝2000000（厘米）＝20千米
20÷60＝（小时）
答：需要小时。
【分析】本题考查了比例尺的应用和行程问题。解答此题的关键是根据图上距离、实际距离与比例尺的关系，求出张老师从家直接去学校的实际路程。再灵活运用速度、时间与路程的关系进行解答。
24．75千米/时
【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求得甲、乙两地的实际距离，再除以相遇时间，求出两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法求出货车每小时行的千米数。
【详解】7÷＝35000000（厘米）＝350（千米）
350÷2＝175（千米/时）
175×
＝175×
＝75（千米/时）
答：货车的速度是75千米/时。
【分析】此题主要考查比例尺、图上距离和实际距离之间的关系，也考查了简单的行程问题和按比例分配的问题。
25．2小时
【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出实际距离；实际距离÷（甲车速度＋乙车速度）＝相遇时间。
【详解】6÷
＝6×20000000
＝120000000（厘米）
＝1200（千米）
1200÷（315＋285）
＝1200÷600
＝2（小时）
答：2小时后两车能相遇。
【分析】此题考查了比例尺与相遇问题的综合应用，先求出两地的实际距离是解题关键。
26．
1004.8立方厘米
【分析】由题意知：整段圆柱形钢材的体积对应着10厘米水的体积；竖直插入水中12厘米，发现水面上升了6厘米，则12厘米圆柱形钢材的体积对应着6厘米高的水的体积，可设钢材高x厘米，据此可写出比例：，解此比例求得钢材的高度，再根据圆柱的体积公式，将数值代入计算即可求得钢材的体积。据此解答。
【详解】解：设圆柱形钢材高厘米。
6x＝10×12
6x＝120
6x÷6＝120÷6
x＝20
＝
＝
＝1004.8（立方厘米）
答：圆柱形钢材的体积是1004.8立方厘米。
27．18.5厘米
【分析】
将模型的高度设为x厘米，根据“模型高∶实际高度＝1∶10”列出比例，再解比例即可。
【详解】
解：设该模型的高度是x厘米。
1.85米＝185厘米
x∶185＝1∶10
10x＝185
10x÷10＝185÷10
x＝18.5
答：该模型的高度是18.5厘米。
28．（1）（2）（3）见详解；
（4）25
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可在图中描出A、O、B三点，并连接成三角形AOB。
（2）根据旋转的特征，三角形AOB绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
（3）由于直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把这个三角形两直角边均缩小到原来的所得到的图形就是原图形按1∶2缩小后的图形。
（4）根据三角形的面积计算公式“S＝ah”分别计算出缩小后三角形的面积、原三角形的面积，再用缩小后三角形的面积除以原三角形的面积。
【详解】（1）～（3）画图如下：
（4）（1×2×）÷（2×4×）×100%
＝（2×）÷（8×）×100%
＝1÷4×100%
＝0.25×100%
＝25%
缩小后的三角形的面积是原三角形AOB的面积的25%。
【分析】此题考查的知识点：数对与位置、作旋转后的图形、图形的放大与缩小、三角形面积的计算、百分数的实际应用。
29．（1）见详解。
（2）北，东，300
（3）西，20
（4）西，南，30，200，
【分析】（1）因为图上距离1厘米表示实际距离100米，于是可求出商业街与文化宫的图上距离，进而依据过直线上一点作已知直线的垂线的方法，即可画出商业街；
（2）量出文化宫与体育馆的图上距离为3厘米，利用比例尺算出实际距离，再据二者的方向关系，即可描述出二者的位置关系；
（3）先依据“速度×时间＝路程”求出李小明3分钟走的路程，再求出学校与文化宫的实际距离，解答即可。
（4）观察平面图，利用方向 村，测量电影院到文化宫图上距离为2厘米，求出电影院到文化宫的实际距离。
【详解】（1）因为图上距离1厘米表示实际距离100米
则商业街与文化宫的图上距离为300÷100＝3（厘米）
所以商业街的位置如下图所示：
（2）量出文化宫与体育馆的图上距离为3厘米
则二者的实际距离为3×100＝300（米）
所以体育馆在文化宫北偏东45°300米处；
（3）李小明走了60×3＝180（米）
学校与文化宫的实际距离为：2×100＝200（米）
200－180＝20（米）
所以3分钟后他在文化宫西面20米处。
（4）2×100＝200（米）
电影院在文化宫西偏南30°方向200米处；
【分析】此题主要考查线段比例尺的意义，以及依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。

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