资源简介

第二单元 比例
（易错点+误区分析+易错专训）
易错点1不会正确使用比例的基本性质。
误区分析:
（1）比例的基本性质运用错误,对于分数形式的比,错用分子乘分子,分母乘分母。
（2）首先要明确比例的各部分名称,内项是指中间的两项,外项是指两端的两项。比例的基本性质是内项积等于外项积。当比例是分数形式时,应该用等号两边的分子和分母交叉相乘,所得的积相等。
易错点2比例尺。
误区分析:
（1）对比例尺的意义不理解,求比例尺的方法没有掌握。
（2）比例尺的关系式是“图上距离︰实际距离=比例尺”,比的前项和后项不能调换位置。求出比例尺后一定要化简,一般情况下,要将比例尺写成前项或后项是1的比。前项比后项小时,表示缩小;前项比后项大时,表示放大。
易错点3 用比例尺解决问题时,图上距离与实际距离的单位不一致。
误区分析:
（1）用比例尺解决问题时,单位不一致直接计算。
（2）用比例尺解决问题时,要将图上距离和实际距离的单位保持一致,如果不一致,要进行单位的转换。
易错点4 将一个图形放大或缩小时,没有将所有的边同时放大或缩小。
误区分析:
（1）图形的各边不是同时按比放大或缩小的。
（2）将图形放大或缩小,图形的形状不会发生变化。因为将一个图形放大或缩小时,各边的长度是按比发生变化的,而面积不是按比发生变化的。
易错点5不会区分将一个图形是放大,还是缩小。
误区分析:
（1）分不清给出的比是把图形进行放大还是缩小。
（2）一般情况下,按一定的比变化图形时,比的前项大于后项时,是把图形放大;比的前项小于后项时,是将图形缩小。
一、选择题
1．下面的比中，能与24∶18组成比例的是（ ）。
A．10∶5 B．8∶6 C．6∶4 D．15∶12
2．一个长方形长2.5cm，宽2cm，按2∶1放大后长与宽的比是（ ）。
A．2∶1 B．1∶2 C．5∶4 D．4∶5
3．亮亮学完《比例尺》这节课后在练习本上画出了教室里黑板的平面图，采用（ ）比例尺较好。
A．1∶5 B．1∶50 C．1∶500 D．1∶5000
4．下列说法错误的是（ ）。
A．给远处的建筑物拍照属于图形的缩小 B．用显微镜观察细胞属于图形的放大
C．图形的放大和缩小不改变图形的形状 D．把一个三角形按2∶1放大后，它每个角的度数、每条边的长度都扩大到原来的2倍。
5．下面各比中，可以与7∶8组成比例的是（ ）。
A．∶ B．∶ C．∶ D．∶
6．校园长270米，宽160米，而画校园平面图的纸只有3分米长，2分米宽，那么选择下面（ ）的比例尺比较适当。
A．1∶100000 B．1∶10000 C．1∶1000 D．1∶100
二、填空题
7．把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。
8．在一幅比例尺是1∶2500000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是3.6cm。如果在另一幅比例尺是1∶2000000的地图上，甲、乙两地的图上距离应是( )cm。
9．一项工程，甲队单独12天完成，乙队单独15天完成。甲乙两队工作时间的比是( )；工作效率的比是( )；它们( )（选能或不能）组成比例。
10．如图，小长方形与大长方形的长的比是( )，宽的比是( )，它们的比值是( )，因为它们的比值( )，所以这两个比可以组成比例，组成的比例是( )，这个比例的内项是( )，外项是( )。
11．按1∶2000的比例尺去画长250m、宽80m的学校操场平面图，画出的操场平面图的长是( )cm，宽是( )cm，面积是( )cm2。
12．张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。
三、判断题
13．比例的一个外项扩大到原来的2倍，一个内项缩小到原来的，比例仍然成立。( )
14．如果4×9＝12×3，那么4∶3＝9∶12。( )
15．在比例中，A和B一定互为倒数。( )
16．比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。( )
四、计算题
17．求未知数。

五、作图题
18．2022年6月5日10时44分，“神舟十四号”载人飞船开启了“天宫”空间站的新纪元，距地380千米高度的“天宫”空间站即将成型，我国的载人航天事业将正式进入“空间站”时代。请在下图中画出我国空间站距离地面的位置。
19．按1∶2的比画出平行四边形缩小后的图形；按3∶1的比画出三角形放大后的图形。
六、解答题
20．下面各表中相对应的两个量的比能否组成比例？把能组成的比例写出来。
（1）
圆的半径/m 1 2
圆的面积/m2 3.14 12.56
（2）
衣服/件 6 10
总价/元 120 200
21．某办公室买进一包纸，第一天与第二天用的张数比是13∶17，已知第一天用了65张，第二天用了多少张？
22．经过几代人的竭尽奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的道路。长征五号系列（简称CZ—5）运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。CZ—5基本型号运载火箭的箭体全长约57米。笑笑收藏了CZ—5基本型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50。模型的高度是多少厘米？（用比例解）
23．学完比例的知识后，乐乐小组的同学想测量一棵树的高度。下午3时，他们测量乐乐的影子长0.6米，树的影子长3米，已知乐乐的身高是1.6米，你们知道这棵大树的高度是多少米吗？
24．在比例尺为1∶50000的地图上量得甲乙两地长6厘米，我和王红从两地同时出发相向而行，已知我每分钟走85米，王红每分钟走65米，我们二人多少分钟后相遇？
25．东沙岛是我国东沙群岛东沙环礁中唯一远离大海的岛屿。南北宽约700米，东西长约2800米，若按1∶10000的比例尺画在图纸上，南北宽约多少厘米？东西长约多少厘米？
26．下图是两位同学的家与他们学校的位置图，请你看图回答问题。
（1）贝贝家到学校的实际距离是600米，则这幅地图的比例尺是（ ）。
（2）上学时，丽丽共用了12分，则她每分走多少米？
27．如图每个小方格的边长都表示1cm。
（1）把图形①绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点A的位置用数对表示为（ ）。
（2）按1∶2的比画出图形②缩小后的图形，缩小后图形的面积是原来的（ ）。
（3）以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径画个圆，这个圆的面积是（ ）。
（4）在方格纸的空余位置设计一个面积是4cm2的轴对称图形，并画出它的一条对称轴。
28．填一填、画一画（下面每个小正方形的边长表示1厘米）。
（1）画出图①关于直线CD对称的图形②；
（2）点C用数对表示为（7，5），则点O用数对表示为（ ）；画出图①绕O点逆时针旋转90°，然后向上移动3格后的图形③；
（3）在方格纸的右下方画出图形①按1∶2缩小后的图形④。
参考答案
1．B
【分析】表示两个比相等的式子叫作比例。24∶18＝，先计算出选项中比的比值，找到比值等于的选项即可。
【详解】A．10∶5＝2
B．8∶6＝
C．6∶4＝
D．15∶12＝
24∶18与8∶6能组成比例
故答案为：B
2．C
【分析】长方形按2∶1放大，就是把原来长方形的长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，分别求出扩大后的长和宽，再根据比的意义，用扩大后的长∶扩大后的宽，即可解答。
【详解】（2.5×2）∶（2×2）
＝5∶4
一个长方形长2.5cm，宽2cm，按2∶1放大后长与宽的比是5∶4。
故答案为：C
3．B
【分析】教室里大黑板的长约是4米（400厘米），据此根据每组比例尺分别求出长的图上距离进行选择。
【详解】A．比例尺1∶5表示图上1厘米的距离代表实际距离5厘米，则黑板的长的图上距离是400÷5＝80（厘米），画到纸上太大不符合练习本的尺寸，这组比例尺不合适；
B．比例尺l∶50表示图上1厘米的距离代表实际距离50厘米，则黑板的长的图上距离是400÷50＝8（厘米），符合练习本的尺寸，这组比例尺合适；
C．比例尺1∶500表示图上1厘米的距离代表实际距离500厘米，则黑板的长的图上距离是400÷500＝0.8（厘米），画到纸上太小，这组比例尺不合适。
D．比例尺1∶5000表示图上1厘米的距离代表实际距离5000厘米，则黑板的长的图上距离是400÷5000＝0.08（厘米），画到纸上太小，这组比例尺不合适。
故答案为：B
4．D
【分析】图形放大或缩小，只是图形的大小发生变化，图形的形状没有发生变化，据此分析作答。
【详解】A．给远处的建筑物拍照属于图形的缩小，说法正确；
B．用显微镜观察细胞属于图形的放大，说法正确；
C．图形的放大和缩小不改变图形的形状，说法正确；
D．把一个三角形按2∶1放大后，每条边的长度扩大到原来的2倍，因为形状不变，所以每个角的度数不变，所以原题说法错误；
故答案为：D
5．D
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，求出7∶8的比值及各选项的比值，找出与7∶8的比值相等的即可。
【详解】7∶8＝
A．因为∶＝，≠，所以不能组成比例；
B．因为∶＝，≠，所以不能组成比例；
C．因为∶＝，≠，所以不能组成比例；
D．因为∶＝，＝，所以能组成比例；
故答案为：D
【分析】本题主要考查比例的意义，正确计算出各比的比值是解题的关键。
6．C
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求得长和宽的图上距离，再与纸的长和宽相比即可进行选择。
【详解】270米＝27000厘米；160米＝16000厘米；3分米＝30厘米；2分米＝20厘米。
A．27000×＝0.27（厘米）；160×＝0.16（厘米），纸张的空余太多，不合适；
B．27000×＝2.7（厘米）；160×＝1.6（厘米），纸张的空余太多，不适合；
C．27000×＝27（厘米）；160×＝16（厘米），比较合适；
D．27000×＝270（厘米）；270＞30，不合适。
校园长270米，宽160米，而画校园平面图的纸只有3分米长，2分米宽，那么选择下面1∶1000的比例尺比较适当。
故答案为：C
【分析】解答此题的关键是先按所给比例尺求出图上距离，再联系生活实际进行选择。
7． 16∶1 1∶6
【分析】把一个正方形按4∶1放大就是把边长扩大4倍，假设原来的边长是a，面积为a2，扩大后的边长为4a，面积为16a2，放大后的正方形与原正方形面积的比是16a2∶a2＝16∶1，问题得解；
根据长方形的周长公式可知，缩小后的图形的长度之比与周长之比是相同的，由此直接判断即可。
【详解】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。
8．4.5
【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，先用3.6除以计算出甲、乙两地的实际距离；图上距离＝实际距离×比例尺，再乘计算出甲、乙两地的图上距离；据此解答。
【详解】根据分析：
3.6÷×
＝9000000×
＝4.5（cm）
所以甲、乙两地的图上距离应是4.5cm。
9． 4∶5 5∶4 不能
【分析】两数相除又叫两个数的比，据此写出甲乙两队工作时间的比，化简即可；
将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，写出甲乙两队工作效率的比，化简即可；
根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，分别求出两个比的比值，比值相等能组成比例，比值不相等，不能组成比例。
【详解】12∶15＝（12÷3）∶（15÷3）＝4∶5
∶＝（×60）∶（×60）＝5∶4
4∶5＝4÷5＝0.8
5∶4＝5÷4＝1.25
比值不相等。
甲乙两队工作时间的比是4∶5；工作效率的比是5∶4；它们不能组成比例。
10． 1∶2 1∶2 相等 5∶10＝2∶4 10和2 5和4
【分析】
小长方形长是5cm，大长方形的长是10cm，则两个数用比号连接为5∶10，化简成最简整数比是1∶2，比值是；同理宽的比是2∶4，化简成最简整数比是1∶2，比值是。两个数的比值是相等的，则这两个比可以组成比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
【详解】
如图，小长方形与大长方形的长的比是1∶2，宽的比是1∶2，它们的比值是，因为它们的比值相等，所以这两个比可以组成比例，组成的比例是5∶10＝2∶4，这个比例的内项是10和2，外项是5和4。
11． 12.5 4 50
【分析】
比例尺等于图上距离与实际距离的比，所以图上距离等于比例尺与实际距离的积，据此求出操场平面图的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽求出面积即可。
【详解】250m＝25000cm
80m＝8000cm
25000×＝12.5（cm）
8000×＝4（cm）
12.5×4＝50（cm2）
画出的操场平面图的长是12.5cm，宽是4cm，面积是50cm2。
12．4080
【分析】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱
【详解】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。
（7x－630）∶（5x－700）＝7∶4
（5x－700）×7＝（7x－630）×4
35x－4900＝28x－2520
7x＝2380
x＝2380÷7
x＝340
340×7＋340×5
＝2380＋1700
＝4080（元）
则本月两家共收入4080元。
13．×
【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。无论比例的外项、内项如何变化，只要变化后，两个外项的积还等于两个内项的积，比例就成立。据此解答。
【详解】若有1∶2＝2∶4，则有1×4＝2×2。
从题意一个外项扩大到原来的2倍得外项积：
（1×2）×4
＝2×4
＝8
从题意一个内项缩小到原来的得内项积：
（2×）×2
＝1×2
＝2
因为：外项积≠内项积
所以：比例的一个外项扩大到原来的2倍，一个内项缩小到原来的，比例不能成立。
故答案为：×
14．×
【分析】将比例4∶3＝9∶12，根据比例的基本性质，写成两内项积＝两外项积的形式，是4×9＝12×3即可，不是则不成立，据此分析。
【详解】4∶3＝9∶12，根据比例的基本性质，得不到4×9＝12×3，所以原题说法错误。
故答案为：×
15．√
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，据此求出AB的值，再进行判断。
【详解】A∶1.25＝∶B（B≠0）
AB＝1.25×
AB＝1
A和B互为倒数。
在比例中A∶1.25＝∶B（B≠0）中，A和B一定互为倒数。
原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】熟练掌握倒数的意义和比例的基本性质是解答本题的关键。
16．√
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可知1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。据此解答。
【详解】根据分析可知，比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】本题主要考查了比例尺的意义，注意前后的单位统一。
17．；；
【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘6即可；
（2）首先根据等式的性质，两边同时减去20，然后两边再同时乘即可；
（3）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时乘即可。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
18．见详解
【分析】先将380千米化成38000000厘米，然后根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算出图上距离，然后在合适位置画出空间站距离地面的位置即可。
【详解】
380千米＝38000000厘米
38000000÷20000000＝1.9（厘米）
则画图如下：
19．见详解
【分析】（1）根据画放大或缩小后图形的方法来画图即可，把图形按照1∶2缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶2；数出原来平行四边形每条边占了几个格子，然后新图形的格子是原来图形格子的一半，保持原图形形状不变即可画出；
（2）把图形按照3∶1放大，就是将图形的每一条边扩大到原来的3倍，放大后图形与原图形对应边长的比是3∶1；数出原来三角形各条边的格子数，然后新图形是原来图形对应边格子数的3倍即可画出。
【详解】（1）6÷2=3
4÷2=2
则新平行四边形的一组邻边长分别为3格和2格；
（2）1×3=3
2×3=6
则新三角形的高为3格，底边为6格。
作图如下：
【分析】
20．（1）不能组成比例。
（2）120∶6＝200∶10
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
（1）第一列的圆的面积和半径的比是3.14∶1，比值是3.14；第二列的圆的面积和半径的比是12.56∶2，比值是6.28。两个比的比值不相等，所以不能组成比例。
（2）第一列的衣服的总价和件数的比是120∶6，比值是20；第二列的衣服的总价和件数的比是200∶10，比值是20。两个比的比值相等，所以能组成比例。
【详解】（1）3.14∶1≠12.56∶2
则不能组成比例。
（2）120∶6＝200∶10
则能组成比例。
21．85张
【分析】
先设第二天用了x张纸，根据题意可知，第一天用的纸张数比上第二天用的纸张数等于13∶17，据此列出比例式为65∶x＝13∶17。
【详解】
解：设第二天用了x张纸。
65∶x＝13∶17
13x＝65×17
13x＝1105
13x÷13＝1105÷13
x＝85
答：第二天用了85张纸。
22．114厘米
【分析】
可以设模型的高度是x厘米，利用模型的高度与实际高度的比是1∶50，列出比例，解比例即可，注意单位的统一，把米换算成厘米，据此解答。
【详解】解：设模型的高度是x厘米。
57米＝5700厘米
x∶5700＝1∶50
x×50＝5700×1
50x÷50＝5700÷50
x＝114
答：模型的高度是114厘米。
23．8米
【分析】
下午3时，实际的长度和影子的长度比的比值是不变的，可以设这棵大树的高度是x米，列出比例，再根据比例的基本性质解比例。
【详解】
解：设这棵大树的高度是x米。
1.6∶0.6＝x∶3
0.6x＝1.6×3
0.6x＝4.8
x＝4.8÷0.6
x＝8
答：这棵大树的高度是8米。
24．20分钟
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先计算出甲乙两地的实际距离，再根据时间＝路程和÷速度和，用甲乙两地的距离÷（我的速度＋王红的速度），即可解答，注意单位名数的换算。
【详解】6÷
＝6×50000
＝300000（厘米）
300000厘米＝3000米
3000÷（85＋65）
＝3000÷150
＝20（分钟）
答：我们二人20分钟后相遇。
25．南北宽约7厘米，东西长约28厘米
【分析】根据1米＝100厘米，先将单位化统一成厘米，然后用实际距离×比例尺＝图上距离，据此列式解答。
【详解】700米＝70000厘米，2800米＝280000厘米，
70000×＝7（厘米）
280000×＝28（厘米）
答：南北宽约7厘米，东西长约28厘米。
26．（1）1∶30000
（2）75米
【分析】
（1）经测量，贝贝家到学校的图上距离是2厘米；根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅地图的比例尺。注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）经测量，丽丽家到学校的图上距离是3厘米；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，以及进率“1米＝100厘米”，求出丽丽家到学校的距离；已知丽丽上学共用了12分，根据“速度＝路程÷时间”，即可求出丽丽的速度。
【详解】（1）2厘米∶600米
＝2厘米∶（600×100）厘米
＝2∶60000
＝（2÷2）∶（60000÷2）
＝1∶30000
这幅地图的比例尺是1∶30000。
（2）3÷
＝3×30000
＝90000（厘米）
90000厘米＝900米
900÷12＝75（米）
答：她每分走75米。
27．（1）（4，4）；画图见详解
（2）；画图见详解
（3）12.56平方厘米；画图见详解
（4）见详解
【分析】（1）根据旋转的方法，点B不动，把图形①每一条边都绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形即可。根据数对表示位置的方法，第一个数表示列，第二个数表示行，据此解答即可。
（2）根据图形缩小的方法，按1∶2的比，把图形②的长和宽缩小到原来的，形状不变，画出缩小后的图形，根据长方形的边长扩大或缩小到原来的n（倍），那么它的面积就扩大或缩小到原来的（倍），所以缩小后图形的面积是原来的。
（3）根据圆的画法，以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径，画圆即可，根据圆的面积公式S＝πr2，解答即可。
（4）因为4＝2×2，在方格纸的空余位置设计一个边长2厘米的正方形，正方形的面积是2×2＝4（平方厘米），并画出它的一条对称轴即可。（画法不唯一）
【详解】（1）把图形①绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。如下图所示，旋转后，点A的位置用数对表示为（4，4）。
（2）按1∶2的比画出图形②缩小后的图形，如图下图所示，缩小后图形的面积是原来的。
（3）以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径画个圆，如图下图所示：
3.14×2×2
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
所以这个圆的面积是12.56平方厘米。
（4）在方格纸的空余位置设计一个边长2厘米的正方形，正方形的面积是2×2＝4（平方厘米），并画出它的一条对称轴。（画法不唯一）如下图∶
（轴对称图形画法不唯一）
【分析】本题考查画旋转后的图形、圆的画法、圆的面积、比的意义和图形的放大与缩小。
28．（1）见详解
（2）O（4，1）；图见详解
（3）见详解
【分析】（1）根据轴对称图形的特征：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出关键对称点，依次连接即可；
（2）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由此写出点O用数对表示；再根据旋转的特征：图①绕O点逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向，旋转相同的度数，然后向上移动3格画出图形③；
（3）按1∶2的比例画出三角形缩小后的图形，就是把三角形的底和高分别缩小到原来的，原来的三角形的底和高分别是2格和4格，缩小后的底是2×＝1格；高是4×＝2格；据此画图即可。
【详解】（1）见下图；
（2）点C用数对表示为（7，5），则点O用数对表示为（4，1）；见下图；
（3）底：2×＝1（格）；高：4×＝2（格），见下图
【分析】本题考查作轴对称图形，作平移后的图形，作旋转后的图形以及图形的放大或缩小。

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