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第四单元 比例
（知识梳理+核心考点+易错专训）
1、根据比例的基本性质解比例。
2、运用正比例知识解决问题。
3、运用“转化法”解决复杂的反比例问题。
4、运用“设数法”探究长方形周长和面积的变化规律。
5、用抓不变量法解决实际问题。
一、选择题
1．把6×25＝10×15改写成比例，不正确的是（ ）。
A．6∶25＝10∶15 B．6∶10＝15∶25 C．10∶6＝25∶15
2．已知，且x和y均不为0，下面改写成比例不正确的是（ ）。
A． B．x∶6＝y∶5 C．x∶y＝10∶12
3．已知下表中的x和y成正比例，那么a代表的数是（ ）。
x 4 0.5
y 18 a
A．144 B．9 C．2.25
4．下面选项中，两种量成反比例关系的是（ ）。
A．长方形面积一定，它的长和宽 B．工作效率一定，工作时间和工作总量
C．小明的年龄和妈妈的年龄 D．看一本书，已经看得页数和未看的页数
5．盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（ ）。
A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4
6．一个电子元件长6毫米，将它画在比例尺是50∶1的图纸上，图纸上该电子元件长（ ）厘米。
A．300 B．30 C．3 D．0.3
7．小宜在方格纸上画了一个“T”字图案（如下图），他若将该图案的高度和宽度增加一倍后是图（ ）。
A． B． C． D．
8．姐姐沿着8千米长的环形跑道跑步（如图）。她从起点出发，用15分跑了一圈的，照这样的速度，她共用多少分跑完一圈？如果设她用x分跑完一圈，以下方程正确的（ ）。
x∶15＝8∶ x＝15 15∶x＝∶1 8∶x＝∶15
① ② ③ ④
A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有①④
二、填空题
9．在一个比例中，如果两个外项的积是105，其中一个内项是15，那么另一个内项是( )。
10．在一个比例中，两个内项的积是5。一个外项是2，另一个外项是( )。如果一个内项是10，这个比例可能是( )。
11．若，x和y成( )比例关系；若，a和b成( )比例关系。
12．表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填( )；x和y如果成反比例，“？”应该填( )。
x 2 5
y 10 ？
13．一辆普通的自行车的前齿轮有48个齿，后齿轮有18个齿，当后齿轮转16圈后，前齿轮转( )圈。
14．弹簧秤可以用来称物体的质量。悬挂物体的质量不同，弹簧伸长的长度也不同，有一个弹簧秤最多能称6千克重的物体。先观察下表，再填空。
悬挂物体的质量（千克） 1 2 3 …
弹簧伸长的长度（厘米） 3 6 9 …
如果悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是( )厘米如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是( )千克。
15．显示器与电视机屏幕的长宽比是来自于电影屏幕的长宽比。几乎所有电影画面的比例都是标准的1.33∶1，把一个长3.99米，宽3米的长方形布按1∶3缩小后的面积是( )平方米。
16．把线段比例尺改写成数值比例尺是( )。如果在一幅标有这样的比例尺的地图上，量得A、B两地间的图上距离是4.5厘米，那么A、B两地间的实际距离是( )千米。
三、判断题
17．车轮的直径一定，所行驶的路程与车轮转数成正比例。( )
18．在比例中，a和b互为倒数。( )
19．比例尺1∶4000000，表示图上1厘米相当于实际40米。( )
20．如果一个比例的两内项互为倒数，那么这个比例的两个外项的积是1。( )
四、计算题
21．解比例。
3.7∶x＝2.4∶4.8 0.8∶40＝3.2∶x
五、作图题
22．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按2∶1放大，得到三角形C。
23．书店在学校正东方向900m处，超市在书店正北方向600m处，超市的正西方向600m处是图书馆。在图中画出书店、超市、图书馆的平面图。
六、解答题
24．今年妈妈和小红的年龄比是5∶1，10年后妈妈和小红的年龄比是5∶2，今年妈妈和小红各多少岁？
25．在我国古代的数学专著《九章算术》里记载了当时世界上最先进的比例和算法。公元前3世纪，欧几里得在他的著作《几何原理》中，又作了系统的阐述。请你学习古代数学家的探索精神，结合所学知识，给6、8、15再配上一个数组成比例。（写出一个比例即可）
26．在比例尺是1∶500000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是6厘米。一辆汽车从甲城到乙城，每小时行60千米，需要几小时到达？
27．梅县到广州，在比例尺是1∶3900000的地图上量得两地之间的距离是10厘米，梅县到广州两地之间的实际距离是多少千米？
28．画一画，填一填。（每个小方格表示边长1厘米的正方形）
在方格图中按2∶1的比画出三角形ABC放大后的图形。已知放大前三角形的斜边长5厘米，则放大后斜边的长为（ ）厘米。
29．刘阿姨把25克消毒原液和200克水配制成一种消毒水对房间进行消毒，现有120克消毒原液，如果把这些消毒原液全部配制成同样浓度的消毒水，还应准备多少克水？（列比例解答）
30．六年级的同学参加广播体操展演，如果每行站12人，可以站8行；如果每行站16人，可以站几行？
(1)题目中相关联的两个量是( )和( )。
(2)根据“六年级的同学参加广播体操展演”可知，( )一定，所以每行站的人数和行数成( )比例关系。
(3)用比例的知识解答，解：设可以站x行，列出比例式为：( )。
31．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如图。
（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成什么比例关系？乙车呢？
（2）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距多少千米？
参考答案
1．A
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，将各选项比例写成两内项积＝两外项积的形式，是6×25＝10×15即可。
【详解】A．6∶25＝10∶15，根据比例的基本性质，可得25×10≠6×15，所以比例式不成立；
B．6∶10＝15∶25，根据比例的基本性质，可得6×25＝10×15，比例式成立；
C．10∶6＝25∶15，根据比例的基本性质，可得6×25＝10×15，比例式成立。
不正确的是6∶25＝10∶15。
故答案为：A
2．C
【分析】
两边同时×15可得，两边同时÷2可得，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，进行分析。
【详解】根据分析，可以得出，。
A．根据，可得，改写正确；
B．根据，可得x∶6＝y∶5，改写正确；
C．根据，可得x∶y＝12∶10，选项改写错误。
改写成比例不正确的是x∶y＝10∶12。
故答案为：C
3．C
【分析】x和y成正比例，即x和y的比值一定，据此可得：4∶18＝0.5∶a，根据比例的基本性质解出比例即可。
【详解】4∶18＝0.5∶a
解：4a＝18×0.5
4a＝9
4a÷4＝9÷4
a＝2.25
故答案为：C
4．A
【分析】
两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
【详解】A．长×宽＝长方形的面积（一定），长和宽的积一定，则长方形的长和宽成反比例关系；
B．工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），工作时间和工作总量的商一定，则工作时间和工作总量成正比例关系；
C．小明和妈妈的年龄差一定，则小明的年龄和妈妈的年龄不成比例；
D．已经看得页数＋未看的页数＝这本书的总页数，这本书的总页数一定，是已经看得页数和未看的页数的和一定，则已经看得页数和未看的页数不成比例。
故答案为：A
5．D
【分析】设原来有黑棋子x个，白棋子y个。先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，黑棋子没有发生改变，则现在的白棋子是黑棋子的，则白棋子有个，则放进白棋子的的数量＝现在白棋子的数量－原来白棋子的数量＝个。然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5，白棋子的数量没有发生改变，现在黑棋子的数量是白棋子的，则现在黑棋子的数量为个，那么放进去的黑棋子的数量＝现在黑棋子的数量－原来黑棋子的数量＝个。根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7列出比例，再根据比例的基本性质化简比例得出，根据比例的基本性子，x∶y＝3∶4。
【详解】设：原来有黑棋子x个，白棋子y个。
x∶y＝3∶4
原来盒子中黑、白棋子的数量之比是3∶4
故答案为：D
6．B
【分析】设图纸上该电子元件长x厘米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，可得：x∶6＝50∶1，再根据比例的基本性质解出比例即可。最后结果化成以厘米为单位的数。
【详解】解：设图纸上该电子元件长x厘米。
x∶6＝50∶1
x＝6×50
x＝300
300毫米＝30厘米
则图纸上该电子元件长30厘米。
故答案为：B
7．A
【分析】原来“T”字图案上部分的宽度是3小格，下部分的宽度是1小格，增加一倍后，上部分的宽度从3小格增加为6小格；下部分的宽度从1小格增加为2小格；原来图案的高度是3小格，增加一倍后，高度从3小格增加为6小格，据此判断。
【详解】将原来图案的高度和宽度增加一倍后的图是。
故答案为：A
8．C
【分析】把跑完全程的时间看作单位“1”，已知15分跑了一圈的，也就时跑完全程的时间×＝15分钟，设她用x分跑完一圈，列方程为x＝15；根据路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间成正比例，所以可列比例为1∶x＝∶15，根据比例的基本性质，也可列比例为15∶x＝∶1。据此解答。
【详解】根据分析可知，可列方程为x＝15和15∶x＝∶1，即②和③。
故答案为：C
【分析】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
9．7
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，如果两个外项的积是105，则两个内项的积也是105，两内项积÷其中一个内项＝另一个内项，据此列式计算。
【详解】105÷15＝7
另一个内项是7。
10． 2.5 2∶10＝0.5∶2.5
【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。据此，将内项积除以其中一个外项，即可求出另一个外项。将内项积除10，即可求出另一个内项，从而写出比例。
【详解】5÷2＝2.5
5÷10＝0.5
所以，一个外项是2，另一个外项是2.5。如果一个内项是10，这个比例可能是2∶10＝0.5∶2.5。（比例的写法不唯一）
11． 反 正
【分析】两个相关联的量，若它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。
【详解】因为，即xy＝3，x和y的乘积一定，则x和y成反比例关系；
因为，即a÷b＝，a和b的比值一定，则a和b成正比例关系。
12． 25 4
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。x和y如果成正比例，则x和y的比值是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出比值，进而求出当x＝5时，“？”的结果；x和y如果成反比例，则x和y的乘积是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出乘积，进而求出当x＝5时，“？”的结果。
【详解】2÷10＝
5÷
＝5×5
＝25
2×10＝20
20÷5＝4
表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填25；x和y如果成反比例，“？”应该填4。
13．6
【分析】前轮与后轮走过的路程是一定的，齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，根据乘积一定，设出未知数，列出比例式，解答即可。
【详解】解：设前齿轮转动x圈。
48x＝18×16
48x＝288
48x÷48＝288÷48
x＝6
当后齿轮转16圈后，前齿轮转（6）圈。
14． 15 2.5
【分析】观察表格数据可知数量关系：弹簧伸长的长度＝悬挂物体的质量×3，将5千克代入数量关系求出弹簧伸长的长度即可；已知弹簧伸长的长度是7.5厘米，用7.5除以3即可求出悬挂物体的质量，据此解答。
【详解】5×3＝15（厘米）
7.5÷3＝2.5（千克）
所以，悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是15厘米，如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是2.5千克。
【分析】此题考查了小数除法的运用，关键能够结合条件找出数量关系再解答；也可以用正比例的知识解答。
15．1.33
【分析】一个长9米，宽3米的长方形按1∶3缩小，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，所以缩小后的长方形的长是3.99÷3＝1.33（米），宽是3÷3＝1（米），再根据长乘宽可求出缩小后长方形的面积。
【详解】3.99÷3＝1.33（米）
3÷3＝1（米）
1.33×1＝1.33（平方米）
缩小后的面积是1.33平方米。
16． 1∶4000000/ 180
【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际40千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，即可求出比例尺；根据线段比例尺求出实际距离，1厘米代表40千米，那么4.5厘米表示有4.5个40千米，用乘法计算即可得解。
【详解】1厘米∶40千米＝1厘米∶4000000厘米＝1∶4000000
4.5×40＝180（千米），即A、B两地间的实际距离是180千米。
17．√
【分析】车轮周长＝圆周率×直径，车轮周长×车轮转数＝行驶路程，根据x×y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。
【详解】根据圆周率×直径×车轮转数＝行驶路程，可得行驶路程÷车轮转数＝圆周率×直径，车轮的直径一定，所行驶的路程与车轮转数成正比例，原题说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，将比例写成的形式，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出a和b，再根据乘积是1的两个数互为倒数，进行分析。
【详解】，根据比例的基本性质可得：，如果＝1，a＝1÷＝0.8、b＝1÷＝＝1.25，ab＝0.8×1.25＝1，a和b互为倒数；
如果＝2，a＝2÷1.25＝1.6、b＝2÷＝2×＝2.5，1.6×2.5＝4，a和b不是倒数关系。
因此原题说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】根据比例尺的含义“图上距离和实际距离的比叫做比例尺”可知：该幅图的比例尺为1∶4000000，即图上1厘米代表实际距离4000000厘米，据此选择即可。
【详解】由分析可得；比例尺1∶4000000，表示图上1厘米相当于实际40000米，原题说法错误。
故答案为：×
20．√
【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积；互为倒数的两个数的乘积为1。据此判断即可。
【详解】如果一个比例的两内项互为倒数，那么这个比例的两个外项也互为倒数，乘积是1。
原题说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查比例的基本性质，明确内项积等于外项积是解题的关键。
21．；；；
【分析】①根据比例的基本性质，将方程改写为，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以2.4即可；
②根据比例的基本性质，将方程改写为，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8即可；
③根据比例的基本性质，将方程改写为，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可；
④根据比例的基本性质，将方程改写为，然后根据等式的性质2，方程两边同时乘即可。
【详解】①
解：
②
解：
③
解：
④
解：
22．见详解
【分析】根据平移的特征：把三角形A的各个顶点分别向右平移5格，依次连接，即可得到平移后的图形B；
再根据图形放大与缩小的特征，把三角形B的各边分别扩大到原来的2倍，即可画出将三角形B按2∶1扩大得到三角形C。
【详解】如图：
23．图见详解
【分析】根据比例尺公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，可得图上距离＝实际距离×比例尺，从而算出每个地点在图上的距离，再根据方向来确定它们的位置，画图即可。
【详解】图中的比例尺为：1∶30000
900m＝90000cm
600m＝60000cm
90000×＝3（厘米）
60000×＝2（厘米）
作图如下：
24．30岁；6岁
【分析】
由题意可知，设小红今年的年龄是x岁，则妈妈今年的年龄是5x岁，10年后小红的年龄为（x＋10）岁，妈妈的年龄为（5x＋10）岁，再结合10年后妈妈和小红的年龄比是5∶2，据此列比例解答即可。
【详解】
解：设小红今年的年龄是x岁，则妈妈今年的年龄是5x岁。
（5x＋10）∶（x＋10）＝5∶2
5×（x＋10）＝2×（5x＋10）
5x＋50＝10x＋20
5x＋50－5x＝10x＋20－5x
5x＋20＝50
5x＋20－20＝50－20
5x＝30
x＝30÷5
x＝6
5×6＝30（岁）
答：今年妈妈30岁，小红6岁。
25．6∶8＝15∶20
【分析】
比例内项的乘积等于外项的乘积，可以任选两个数作为内项，余下的一个数作为其中的一个外项，求出内项的乘积，用乘积除以其中的一个外项，求出另一个外项即可组成比例。
【详解】将8和15看成内项，6看成是其中的一个外项
8×15÷6
＝120÷6
＝20
则可以组成的比例为：6∶8＝15∶20。
26．0.5小时
【分析】
根据实际距离＝图上距离÷比例尺，将数据代入求出甲、乙两城之间的实际距离；
由低级单位厘米转化成高级单位千米，除以进率100000，将两地的实际距离转化成以千米为单位；
再根据时间＝路程÷速度，将数据代入求出从甲城到乙城需要几小时。
【详解】由分析可得：
6÷＝6×500000＝3000000（厘米）
3000000厘米＝3000000÷100000＝30（千米）
30÷60＝0.5（小时）
答：需要0.5小时到达。
27．390千米
【分析】梅县到广州两地之间的实际距离＝图上距离÷比例尺，然后换算单位。据此解答。
【详解】10÷
＝10×3900000
＝39000000（厘米）
39000000厘米＝390千米
答：梅县到广州两地之间的实际距离是390千米。
28．图见详解；10
【分析】方格图中按2∶1的比画出三角形ABC放大，那么三角形的各边均为原来的2倍。求出放大后的边长，可作图解答。
【详解】AB＝3厘米，放大后为：3×2＝6（厘米）
BC＝4厘米，放大后为：4×2＝8（厘米）
5×2＝10（厘米）
已知放大前三角形的斜边长5厘米，则放大后斜边的长为10厘米。
29．960克
【分析】设还应准备x克水，根据题意可知，消毒原液与水的比值不变，由此列比例：25∶200＝120∶x，解比例，即可解答。
【详解】解：设还应准备x克水。
25∶200＝120∶x
25x＝200×120
25x＝24000
x＝24000÷25
x＝960
答：还应准备960克水。
30．(1) 每行站的人数 行数
(2) 总人数 反
(3)16x＝12×8
【分析】（1）根据题意可知，题目中每行站12人指的是每行站的人数，8行指的是行数。
（2）根据题意，结合反比例的意义可知，六年级参加广播体操展演的总人数是一定的，所以每行站的人数和行数成反比例关系。
（3）根据题意，可以列出等量关系式为每行站16人，站x行的人数等于每行站12人，站8行的人数，所以列出比例式为16x＝12×8.
【详解】（1）根据题意，题目中相关联的两个量是每行站的人数和行数；
（2）根据“六年级的同学参加广播体操展演”可知，总人数一定，所以每行站的人数和行数成反比例关系。
（3）解：设可以站x行。
16x＝12×8
16x＝96
16x÷16＝96÷16
x＝6
答：可以站6行。
31．（1）甲车成正比例关系；乙车成正比例关系
（2）750千米
【分析】
（1）根据“正比例关系的图象是一条经过原点的直线”进行解答；
（2）从图象可知，甲车1小时行驶90千米，乙车1小时行驶60千米，已知两车经过5小时相遇，根据“速度和×相遇时间＝路程”，据此求出A、B两地的距离。
【详解】
（1）答：从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系，乙车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系。
（2）（90＋60）×5
＝150×5
＝750（千米）
答：A、B两地相距750千米。

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