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第四单元 正比例和反比例
（易错点+误区分析+易错专训）
易错点 正比例和反比例的判断。
误区分析:
（1）正、反比例关系的判断发生错误。
（2）首先,要判断两个量是否为相关联的量,即其中的一个量的变化是否会引起另一个量发生变化;其次,如果这两个量的积一定就成反比例关系,如果这两个量的比值一定就成正比例关系。
一、选择题
1．有x、y、z三个相关联的量，并有。下面说法正确的是（ ）。
A．当z一定时，x和y成反比例 B．当x一定时，y和z成反比例
C．当y一定时，x和z成反比例 D．当y一定时，x和z成正比例
2．下面m和n成反比例的式子有（ ）个。

A．4 B．3 C．2 D．1
3．把一根木料锯成6段要10分钟，若锯成9段要用x分钟，正确的列式是（ ）。
A． B． C．
4．一列火车，4小时行320千米。照这样的速度，从甲城到乙城有420千米，（ ）小时可以到达？如果火车速度提高5%，（ ）小时就可以到达。（ ）
A．2.25；2 B．8.25；8 C．5.25；5 D．6.25；4
5．松树村的特菜生产基地，5天平整土地1.2公顷。照这样的效率，再工作2天，一共可以平整土地（ ）。
A．0.48公顷 B．8.16公顷 C．1.68公顷 D．16.8公顷
6．如图，如果x和y成正比例，那么“？”处应填写（ ）。
x 4 ？
y 8 32
A．6 B．8 C．12 D．16
二、填空题
7．如表，若x和y成正比例，则△＝( )；若x和y成反比例，则△＝( )。
x 8 4
y 15 △
8．在单价×数量＝总价中，当总价一定时，单价和数量成( )比例；当单价一定时，总价和数量成( )比例。
9．彤影家新买了一辆家用小汽车，其油箱可以装40升油，小汽车行驶一段路程后，油箱中剩余油量与行驶时间的关系如下图：
(1)小汽车行驶2时用去了( )升油。
(2)一箱油够连续行驶( )时。
(3)耗油量与行驶时间成( )比例。
10．科学课中的比例。
一个弹簧秤的弹簧的原长10厘米，用这个弹簧秤称物品时弹簧长度与所称物品的质量关系如图所示：
(1)称3千克物品时，弹簧的长度有( )厘米。
(2)弹簧长度增加8厘米时，所称物品的质量是( )千克。
(3)弹簧伸长的长度与所称物品的质量成( )比例。
11．实验与探究。
笑笑发现同学用了水后没有关水龙头，不断地流水。为了养成同学们良好的用水习惯，笑笑班级在接水浇花的同时，做了关于水龙头流水的实验记录。下图表示的是流出水的体积和时间的关系。

(1)从图中可知，流出水的体积和时间成( )关系。
(2)照这样计算，50分钟流水( )升；要流出180升水，需要( )分。
12．下表是妙想6岁前的体重变化情况。
年龄 出生时 2岁 4岁 6岁
体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0
（1）上表中哪些量在发生变化？
（2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。
分析与解答：
(1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。
(2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。
三、判断题
13．用一批纸张装订毕业纪念册，如果每本30页，可以装订20本，如果每本40页，这批纸张可以装订15本。( )
14．同学们订阅了《少年月刊》，所订的份数和所需的总钱数成正比例。( )
15．做10道计算题，做对的题数和做错的题数成反比例。( )
16．x＝15y，x和y成正比例关系。( )
四、计算题
17．解方程。
x－x＝ 42∶＝x∶
5x＋16×2＝36 ＝
五、解答题
18．用100千克小麦可以磨出80千克面粉，照这样计算，磨500千克面粉需要多少千克小麦？（列比例解答）
19．某口罩厂今年3月与4月销售的口罩的箱数比是6∶5，已知3月销售口罩3000箱，4月销售口罩多少箱？
20．把下表补充完整，平均每天看的页数和看完全书所需天数有什么关系？请说明理由。
平均每天看的页数 10 15 20 30 40
看完全书所需天数 12
21．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如表。
每分打字个数（个 120 100 75 60
所需时间（分 25 30 40 50
（1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？
（2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？
22．水果店销售两种西瓜，购买的质量与总价的关系如下图。
（1）（ ）西瓜的单价比较便宜，每千克（ ）元。
（2）分别写出两个无籽西瓜购买的总价与质量的比，并求出比值。
（3）购买的质量与总价的成（ ）关系。
23．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …
路程/千米 0 7 14 21 28 35 42 …
（1）图中的点A表示时间为1分时，磁悬浮列车行驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点并顺次连接。
（2）列车运行4.5分时，行驶的路程是多少？
24．输液时，一小瓶葡萄糖液均匀滴落，每分滴数与所需时间的关系如下。
每分滴数/滴 30 40 50 60 …
时间/分 40 30 …
（1）请把上表补充完整。
（2）每分滴数与所需时间这两个量是否成正比例或反比例？为什么？
25．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是该工厂口罩的生产数量与所需时间的关系。
时间/时 0 1 2 3 4 5 …
生产口罩的数量/只 0 300 600 900 1200 1500 …
（1）该工厂口罩的生产数量与所需时间成正比例吗？为什么？
（2）根据表中数据，在下图中描出该工厂口罩的生产数量与所需时间对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）生产750只口罩，需要（ ）时；7.5时可以生产（ ）只口罩。
参考答案
1．C
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。
【详解】A．由x∶8＝y∶z，可得xz＝8y，所以当z一定时，x和y成正比例；
B．由x∶8＝y∶z，可得xz＝8y，所以当x一定时，y和z成正比例；
C．由x∶8＝y∶z，可得xz＝8y，所以当y一定时，x和z成反比例；
D．由x∶8＝y∶z，可得xz＝8y，所以当y一定时，x和z成反比例。
故答案为：C
2．C
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量。
因此，若式子中m和n是两个相关联的量，并且它们的乘积一定，则说明m和n成反比例。
【详解】①3m＝4，m和n没有关联，通过式子无法确定m和n的关系。
②＝7，m和n的商一定，m和n成正比例。
③m＋n＝8，当m＝1时，n＝7，当m＝2时，n＝6，当m＝3时，n＝5；m和n的商、积都不是定值，m和n既不成反比例，也不成正比例。
④＝n，则mn＝7，m和n的积一定，m和n成反比例。
⑤6mn＝12，则mn＝2，m和n的积一定，m和n成反比例。
m和n成反比例的式子是：＝n、6mn＝12，共2个。
故答案为：C
3．B
【分析】
根据题意可知，把一个木料锯成n段，就要锯（n－1）次，用时间除以锯的次数，这题考查正比例的应用，即锯一次的时间一定， 说明时间与次数的比值一定，据此才能列出比例即可求出答案。
【详解】
因为把一根木料锯成6段，要锯（6－1）次，若锯成9段，要锯（9－1）次，
锯一次的时间一定，即比值一定，所以正确的列式是。
故答案为：B
4．C
【分析】根据题意可知，路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间的比值一定，它们成正比例关系，据此设从甲城到乙城有420千米，x小时可以到达，列比例为420∶x＝320∶4，然后解出比例即可；先用320÷4求出火车的速度，如果火车速度提高5%，则把原来火车的速度看作单位“1”，现在火车的速度是原来的（1＋5%），根据百分数乘法的意义，用原来的速度乘（1＋5%）即可求出现在的速度，然后用420千米除以现在火车的速度，即可求出如果火车速度提高5%，几小时就可以到达。
【详解】解：设从甲城到乙城有420千米，x小时可以到达。
420∶x＝320∶4
320x＝420×4
320x＝1680
x＝1680÷320
x＝5.25
320÷4＝80（千米/小时）
80×（1＋5%）
＝80×1.05
＝84（千米/小时）
420÷84＝5（小时）
从甲城到乙城有420千米，5.25小时可以到达；如果火车速度提高5%，5小时就可以到达。
故答案为：C
【分析】本题主要考查了正比例的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的关系是解答本题的关键。
5．C
【分析】根据题意可知，平整土地的总公顷数÷天数＝每天平整土地的公顷数（一定），平整土地的总公顷数和天数的比值一定，它们成正比例；据此设2天可以平整土地x公顷，列比例为：x∶2＝1.2∶5，然后解出比例即可。
【详解】解：设2天可以平整土地x公顷。
x∶2＝1.2∶5
5x＝1.2×2
5x＝2.4
x＝2.4÷5
x＝0.48
0.48＋1.2＝1.68（公顷）
照这样的效率，再工作2天，一共可以平整土地1.68公顷。
故答案为：C
【分析】本题主要考查了正比例的应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。
6．D
【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。x和y成正比例，则x和y的比值一定。设“？”处的数是x，可以列出比例，解出这个比例即可。
【详解】解：设“？”处的数是x。
8x＝4×32
8x＝128
x＝128÷8
x＝16
则“？”处应填写16。
故答案为：D
【分析】根据正比例的意义列出比例是解题的关键。
7．7.5 30
【分析】若x与y成正比例，则x和y的比值一定，据此写出正比例算式，求出y的值；若x与y成反比例，则x和y的积一定，据此写出反比例算式，求出y的值。据此解答。
【详解】若x和y成正比例
8∶15＝4∶y
解：y＝15×4÷8
y＝7.5
若x和y成反比例
8×15＝4y
解：y＝8×15÷4
y＝30
若x和y成正比例，则△＝7.5；若x和y成反比例，则△＝30。
8．反 正
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】单价×数量＝总价（一定），单价和数量成反比例；
总价÷数量＝单价（一定），总价和数量成正比例。
在单价×数量＝总价中，当总价一定时，单价和数量成反比例；当单价一定时，总价和数量成正比例。
9．(1)10
(2)8
(3)正
【分析】（1）原有油量－2时对应油量＝用去的油量，据此列式计算；
（2）2时耗油量÷2＝每时耗油量，原有油量÷每时耗油量＝一箱油连续行驶时间；
（3）x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。
【详解】（1）40－30＝10（升）
小汽车行驶2时用去了10升油。
（2）10÷2＝5（升）
40÷5＝8（时）
一箱油够连续行驶8时。
（3）耗油量÷行驶时间＝每时耗油量（一定），耗油量与行驶时间成正比例。
10．(1)16
(2)4
(3)正
【分析】（1）根据折线统计图可知，竖轴一格表示10÷5＝2厘米，当挂3千克重物，弹簧伸长的长度对应的是16厘米；
（2）弹簧长度增加8厘米时，即现在长度是10＋8＝18厘米，对应的所称物品的质量是4千克；
（3）比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断即可。
【详解】（1）10÷5×8
＝2×8
＝16（厘米）
即称3千克物品时，弹簧的长度有16厘米。
（2）8＋10＝18（厘米）
即弹簧长度增加8厘米时，所称物品的质量是4千克；
（3）增加长度为6厘米时，所称物品质量为3千克；增加长度为8厘米时，所称物品质量为4千克。
6∶3＝2
8∶4＝2
2＝2，所以比值一定
即弹簧伸长的长度与所称物品的质量成正比例。
【分析】此题主要考查的是如何观察折线统计图并从图中获取信息，然后分析整理即可。
11．(1)正比例
(2)100 90
【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。观察图像，用图中流出水的体积除以时间即可解答。
（2）通过计算可知，每分钟流水2升，用2乘50即可求出50分钟流水多少升；根据除法的意义，用180除以2，即可求出要流出180升水，需要多少分。
【详解】（1）10÷5＝2（升），20÷10＝2（升），30÷15＝2（升），40÷20＝2（升），50÷25＝2（升），流出水的体积和时间的商一定，则流出水的体积和时间成正比例关系。
（2）50×2＝100（升）
180÷2＝90（分）
则50分钟流水100升；要流出180升水，需要90分。
【分析】本题考查正比例的应用。根据正比例和反比例的意义，运用图中的信息进行计算，从而判断两种量成什么比例。
12．(1)年龄 体重
(2)增长 增加
【分析】（1）观察表格，年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重。
（2）根据表格中的数据，发现妙想6岁前的体重随年龄的增长而增大。
【详解】（1）出生时重是3.5千克，2岁时重是14.0千克，4岁时体重是18.0千克，6岁时，体重是21.0千克。
通过观察，我们发现妙想的年龄在发生变化，他的体重也在发生变化。
（2）年龄：出生时、2岁、4岁、6岁；
体重：3.5、14.0、18.0、21.0千克；
6岁前，妙想的年龄在增长，体重也随着增加。
【分析】本题考查了看图获取数学信息的能力和根据信息解决问题的能力。
13．√
【分析】根据题意可知，毕业纪念册的总页数不变。每本的页数与装订的本数成反比例；设这批纸张可以装订x本，列比例：30×20＝40x，解比例，即可解答。
【详解】解：设这批纸张可以装订x本。
30×20＝40x
600＝40x
x＝600÷40
x＝15
用一批纸张装订毕业纪念册，如果每本30页，可以装订20本，如果每本40页，这批纸张可以装订15本。
原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】解答本题的关键确定每本页数与装订的本数之间成什么比例，进而解答。
14．√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】根据总价÷数量＝单价，可知所需的总钱数÷所订的份数＝每份《少年月刊》的钱数（一定），单价一定，则所订的份数和所需的总钱数成正比例。原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。
15．×
【分析】两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
【详解】做10道计算题，做对的题数＋做错的题数＝10，和一定，则做对的题数和做错的题数不成比例。原题说法错误。
故答案为：×
【分析】掌握反比例的意义是解题的关键。
16．√
【分析】两个相关联的量，若其比值相等，则两个量成正比例关系；若其乘积相等，则两个量成反比例关系。
【详解】x＝15y，则＝15，比值一定，x和y成正比例关系。
故答案为：√。
【分析】本题属于辨识成正、反比例关系的量，就看两个量是比值一定，还是乘积一定。
17．x＝3；x＝50
x＝；x＝2.5
【分析】（1）先计算出方程左边x－x＝x，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原方程的解；
（2）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程x＝42×，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原比例的解；
（3）先计算出方程左边16×2＝32，再根据等式的性质，方程两边都减32，再都除以5即可得到原方程的解；
（4）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程1.2x＝7.5×0.4，再根据等式的性质，方程两边都除以1.2即可得到原比例的解。
【详解】（1）x－x＝
解：x＝
x÷＝÷
x＝÷
x＝×
x＝3
（2）42∶＝x∶
解：x＝42×
x＝30
x÷＝30÷
x＝30×
x＝50
（3）5x＋16×2＝36
解：5x＋32＝36
5x＋32－32＝36－32
5x＝4
5x÷5＝4÷5
x＝
（4）＝
解：1.2x＝7.5×0.4
1.2x÷1.2＝7.5×0.4÷1.2
x＝2.5
18．625千克
【分析】根据题意可知，每千克小麦磨出面粉的重量是一定的，则小麦的重量和磨出的面粉的重量成正比例，设磨500千克面粉需要x千克小麦，列比例：100∶80＝x∶500，解比例，即可解答。
【详解】解：设磨500千克面粉需要x千克小麦。
100∶80＝x∶500
80x＝100×500
80x＝50000
x＝50000÷80
x＝625
答：磨500千克面粉需要625千克小麦。
19．2500箱
【分析】根据题意可知，3月与4月销售的口罩的箱数比值是一定的，据此设4月销售口罩x箱，列比例为3000∶x＝6∶5，然后解出比例即可。
【详解】解：设4月销售口罩x箱。
3000∶x＝6∶5
6x＝3000×5
6x＝15000
x＝15000÷6
x＝2500
答：4月销售口罩2500箱。
【分析】本题主要考查了用比例解决问题，掌握解比例的方法是解答本题的关键。
20．反比例，见详解
【分析】平均每天看的页数×看完全书所需天数＝这本书的总页数，因为这本书的总页数不变，所以平均每天看的页数和看完全书所需天数成反比例关系。
【详解】
平均每天看的页数 10 15 20 30 40
看完全书所需天数 12 8 6 4 3
答：从表中可以看出，看完全书所需天数是随着平均每天看的页数的变化而变化的。乘看完全书所需天数，它们的积是书的总页数。因为书的总页数不变，也就是积一定，因此平均每天看的页数和看完全书所需天数成反比例关系。
【分析】此题考查了判断成反比例的方法，应注意灵活运用。
21．（1）见详解
（2）20分
【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
（2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。
【详解】（1）每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。
（2）解：设打完这篇稿子需要x分。
150x＝60×50
150x＝3000
x＝20
答：打完这篇稿子需要20分。
【分析】本题考查了正、反比例的辨认和应用。掌握正、反比例的意义，判断出相关联的两种量成什么比例是解题的关键。
22．（1）有籽；3
（2）15∶3＝5，10∶2＝5
（3）正比例
【分析】（1）横轴表示质量，纵轴表示总价，当购买总价15元的西瓜时，有籽西瓜的质量为5千克，无籽西瓜的质量为3千克；由此发现有籽西瓜更便宜；用总价除以质量即可算出单价。
（2）根据题意，进行比即可，最后应根据比的基本性质把比化为最简整数比；
求比值，用比的前项÷比的后项＝比值，解答即可；
（3）由图象可知，都是从（0，0）出发的两条直线，因此购买的质量与总价成正比例关系；
【详解】（1）无籽西瓜单价：15÷3＝5（元/千克）
有籽西瓜单价：15÷5＝3（元/千克）
有籽西瓜的单价比较便宜，每千克3元。
（2）无籽西瓜购买的总价与质量的比是15∶3＝5∶1，10∶2 ＝5∶1；比值是5；
（3）购买的质量与总价的成正比例关系。
【分析】解答此题看懂图象是解决问题的关键。
23．（1）见详解；
（2）31.5千米
【分析】将表中的数据进行分析，可知路程与时间的比值一定，即路程与时间成正比例关系；
（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米，可知本次列车的速度为7千米/分，依据表中数据将其他各点在图中描出即可；
（2） 列车运行4.5分时，依据路程＝时间×速度，将数据代入即可行驶的路程。
【详解】（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米，依据表中数据将其他各点在图中描出。如下图：
（2）4.5×7＝31.5（千米）
答：行驶的路程是31.5千米。
【分析】本题主要考查了正比例关系的应用，掌握成正比例的量的变化规律及其特征是解答此题的关键。
24．（1）24；20
（2）成反比例；理由见解析。
【分析】（1）观察统计表可知，一小瓶葡萄糖液的滴数是一定的，即总滴数＝每分钟滴的滴数×滴的时间；根据表中每分钟滴30滴、40滴时所用的时间，皆可求出一小瓶葡萄糖液的总滴数，据此即可求出每分钟滴50滴、60滴的所用时间。
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。据此解答。
【详解】由分析可知：
（1）30×40＝1200（滴）
1200÷50＝24（分）
1200÷60＝20（分）
（2）成反比例，因为30×40＝40×30＝1200（一定），每分滴数与所需时间的乘积一定，所以每分滴数与所需时间这两个量成反比例。
【分析】本题主要考查反比例的辨识及实际应用，通过统计表获取信息的意识。
25．（1）成正比例，见详解
（2）见详解
（3）2.5；2250
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是否对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答；
（2）根据统计表格的数据绘制统计图；
（3）用750÷300，求出生产750只口罩需要的时间；再用300×7.5，求出7.5小时生产的口罩数量。
【详解】（1）＝ ＝ ＝ ＝ ＝300（一定）；该工厂口罩的生产数量与所需时间成正比例。
答：该工厂口罩的生产数量与所需时间成正比例。
（2）
（3）750÷300＝2.5（时）
300×7.5＝2250（只）
【分析】利用正比例意义和辨别、正比例的图像的画法，利用正比例解决问题。

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