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第五单元 数学广角—鸽巢问题
（知识梳理+核心考点+易错专训）
1、灵活运用鸽巢原理解决实际问题。
一、选择题
1．幼儿园老师给10个孩子分香蕉，无论怎么分总有一个孩子至少分到2根香蕉，老师至少拿来了（ ）根香蕉。
A．21 B．11 C．20 D．10
2．图书角书架分上、中、下三层，明明把新买的16本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（ ）本书。
A．2 B．3 C．5 D．6
3．一个盒子里装有同样大小的红球、黄球、白球各6个，要想摸出的球一定有两个同色的，至少要摸出（ ）个球。
A．7 B．6 C．5 D．4
4．把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的珠子（珠子的大小、形状完全相同）各10颗放到一个袋子里。至少取出几颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子？（ ）
A．7颗 B．8颗 C．10颗 D．11颗
5．25位阿姨在王杰广场跳广场舞，她们至少有（ ）人的属相相同。
A．2 B．3 C．不能确定
6．胜利学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，最少从中挑选（ ）名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。
A．6 B．7 C．8 D．13
二、填空题
7．把4支铅笔放入3个文具盒里，有哪些不同的放法？照样子分一分，填一填。
无论怎样放，总有一个文具盒里至少要放进（ ）支铅笔。
8．盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球。
(1)至少摸出( )个球，才能保证有2个颜色相同的球。
(2)至少摸出( )个球，才能保证有2个颜色不同的球。
(3)至少摸出( )个球，才能保证有2个红球。
9．有红、黄、蓝三种颜色的筷子各两双混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出( )根才能保证一定有两根同色的筷子。
10．有红、白，黑三种颜色的筷子各10根混放在一起，闭上眼睛去摸，至少摸出( )根才能保证有2根筷子是同色的。用6，5、3这三个数字组成不同的三位数，结果出现奇数的可能性比出现偶数的可能性( )。
11．一副扑克牌共54张，其中1~13点各有4种，还有两张大小王，至少要取出( )张才能保证其中必须有2张牌点数相同。
12．向阳小学有23个女老师，27个男老师，至少有( )个老师在同一个月出生；现在任意派一位女老师和一位男老师外出学习，一共有( )种组合。
三、判断题
13．把8只兔子放进3个笼子里，至少有3只兔子要放进同一个笼子。( )
14．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
15．三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。( )
16．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( )
四、解答题
17．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
18．生活实践题。
（1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？
（2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？
（3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？
19．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
20．把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）呢？
21．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？
22．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？
晴 多云 阴 小雨 多云转晴
晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨
23．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？
参考答案
1．B
【分析】根据抽屉原理，从最极端情况分析：假设每个孩子得到1根香蕉，这时再多一根香蕉，则至少有1个孩子得到2根香蕉，所以至少有（10＋1）根香蕉。由此解答即可。
【详解】10＋1＝11（根）
老师至少拿来了11根香蕉。
故答案为：B。
【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
2．D
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体
【详解】16÷3＝5（本）……1（本）
5＋1＝6（本）
放书最多的一层至少要放入6本书。
故答案为：D
【分析】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
3．D
【分析】假设运气最差的情况，先摸出的3个球的颜色都不一样，此时再任意摸出1个，就有2个同色的球，所以至少要摸出（3＋1）个球。
【详解】3＋1＝4（个）
要想摸出的球一定有两个同色的，至少要摸出4个球。
故答案为：D
【分析】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
4．B
【分析】把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色看做7个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况，摸出7个球，分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫不同的颜色，再任意摸出1个球即可。
【详解】7＋1＝8
所以，至少取出8颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子。
故答案为：B
5．B
【分析】一共有12种不同的属相。把12种属相看作12个抽屉，25位阿姨看作25个元素。利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数尽可能少，只要使得每个抽屉的元素尽量平均分。据此解题。
【详解】25÷12＝2……1
2＋1＝3（人）
所以，25位阿姨她们至少有3人的属相相同。
故答案为：B
【分析】本题考查了抽屉原理，关键是要从最差情况去考虑。
6．C
【分析】最大的12岁，最小的6岁，根据“抽屉原理”，最差就有12－6＋1＝7名学生是6到12岁年龄不同的学生，只要再有1名学生，就一定有2名学生的年龄相同。据此解答。
【详解】
（名）
即最少从中挑选8名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学；
故答案为：C
7．见详解；2
【分析】
根据题意，先将4支铅笔平均放到3个文具盒里，每个文具盒里放1个，还剩下1个，这1支铅笔，无论放在哪个文具盒里，总有一个文具盒里至少有2支铅笔。
【详解】
（答案不唯一）
无论怎样放，总有一个文具盒里至少要放进2支铅笔。
8．(1)4
(2)11
(3)10
【分析】（1）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，假设前3次摸出的球颜色都不一样，则至少摸出（3＋1）个球，才能保证有2个颜色相同的球；
（2）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，数量最多的是红球，假设前10次摸出的都是红球，则至少摸出（10＋1）个球，才能保证有2个颜色不同的球；
（3）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，黄球有5个，白球有3个，假设前8次摸出的都是黄球和白球，则至少摸出（8＋2）个球，才能保证有2个红球。
【详解】（1）至少摸出4个球，才能保证有2个颜色相同的球；
（2）至少摸出11个球，才能保证有2个颜色不同的球；
（3）至少摸出10个球，才能保证有2个红球。
9．4
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，从最不利情况考虑，假设取出的前3根筷子颜色都不相同，此时再任意取一根筷子一定有2根筷子是同色的，据此解答。
【详解】3＋1＝4（根）
则每次最少拿出4根才能保证一定有两根同色的筷子。
10． 4 大
【分析】从最坏的结果考虑，当取出的颜色都不一样时，需要取3根，再取一根一定和其中的一根颜色一样。写出用6、5、3三张卡片组成的所有三位数，再看其中有几个奇数，几个偶数，然后根据奇数和偶数的数量即可比较奇数的可能性与出现偶数的可能性哪个大。
【详解】3＋1＝ 4（根）
所以，最少摸出4根才能保证有2根筷子是同色的。
用6、5、3组成的三位数有： 653、635、563、536、 365、 356共6个，
其中奇数有： 653、 635、563、365共4个，偶数有536、356共2个，
4＞2
所以结果出现奇数的可能性比出现偶数的可能性大。
【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。此题还考查了可能性的大小，应明确在总数不变的情况下，哪种数量多，出现的可能性就大；用到的知识点：求一个数是另一个数的几分之几或百分之几，用除法解答，也考查了奇数和偶数的辨识。
11．16
【分析】把（54－2）张牌看作被分放物体，1~13点看作13个抽屉，要使一个抽屉里至少2张牌点数相同，那么取出牌的张数应该比抽屉的个数多1，最后再加上两张大小王，据此解答。
【详解】13＋1＋2＝16（张）
所以，至少要取出16张才能保证其中必须有2张牌点数相同。
【分析】本题主要考查抽屉原理，准确找出抽屉数和被分放物体数是解答题目的关键。
12． 5 621
【分析】一年共有12个月，把12个月看作抽屉，总人数看作被分放物体，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1；任意派一位女老师有23种选择，任意派一位男老师有27种选择，每一位女老师都可以和27名男老师搭配成一组，即用23×27求出结果即可。
【详解】一年＝12个月
23＋27＝50（个）
50÷12＝4……2（个）
4＋1＝5（个）
所以，至少有5个老师在同一个月出生。
23×27＝621（种）
所以，一共有621种组合。
【分析】熟练掌握并灵活运用抽屉原理和搭配问题的解题方法是解答题目的关键。
13．√
【分析】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】8÷3＝2（只）……2（只）
2＋1＝3（只）
所以，把8只兔子放进3个笼子里，有一个笼子里至少放3只兔子，即至少有3只兔子要放进同一个笼子。
故答案为：√
【分析】掌握抽屉问题的解题方法是解答题目的关键。
14．×
【分析】由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
【详解】4＋1＝5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为：×
15．×
【分析】
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体
【详解】50÷12＝4（人）……2（人）
4＋1＝5（人）
三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有5个人是同一个月出生的，所以原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。
【详解】5×（3－1）＋1
＝5×2＋1
＝10＋1
＝11（本）
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为：√
【分析】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
17．76张
【分析】根据题意，要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡，按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张；根据最不利原则即运气最差，把数量多的卡依次摸出来，即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡，此时再任意摸一张，一定是黄卡，这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡；据此解答。
【详解】30＋25＋20＋1
＝55＋20＋1
＝75＋1
＝76（张）
答：最少要从箱子里摸出76张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【分析】本题考查鸽巣问题，采取最不利原则解题。
18．（1）（2）（3）见详解；
【分析】（1）5个班可以看作是5个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在5个抽屉中：18÷5＝3（名） 3（名），那么每个抽屉都有3名，那么剩下的3名，无论放到哪个抽屉都会出现至少4名留守儿童在同一个抽屉里。
（2）4个省份可以看作是4个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在4个抽屉中：18÷4＝4（名） 2（名），那么每个抽屉都有4名，那么剩下的2名，无论放到哪个抽屉都会出现至少5名留守儿童在同一个抽屉里。
（3）18名留守儿童可以看作是18个抽屉，50本图书看做50个元素，考虑最差情况：把50本图书平均分配在18个抽屉中：50÷18＝2（本） 14（本），那么每个抽屉都有2本，那么剩下的14本，无论放到哪个抽屉都会出现至少3本图书在同一个抽屉里。
【详解】（1）18÷5＝3（名） 3（名）
3＋1＝4（名）
答：所以将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。
（2）18÷4＝4（名） 2（名）
4＋1＝5（名）
答：18名留守儿童来自全国的4个省份，所以至少有5名来自同一个省份。
（3）50÷18＝2（本） 14（本）
2＋1＝3（本）
答：所以把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。
【分析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
19．5人
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【分析】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
20．4根；6根
【分析】考虑最不利的情况，红、蓝、黄各拿一根，再拿一根，无论什么颜色，都可保证一定有2根同色的筷子；根据前边的分析，拿4根能保证一定有2根同色的筷子，假设前4根是2红1蓝1黄，再拿2根，无论是红蓝、红黄、蓝蓝、蓝黄、还是黄黄，都可再组成一双同色的筷子，据此分析。
【详解】3＋1＝4（根）
4＋2＝6（根）
答：从中最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子，从中最少拿出6根才能保证一定有2双不同色的筷子。
21．
33位
【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。
【详解】
（位）
答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。
22．4天
【分析】
根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。
【详解】
31÷10＝3（天）……1（天）
3＋1＝4（天）
答：该市至少有4天是同一种天气。
23．2名
【分析】
根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。
【详解】
7÷6＝1（组）……1（名）
1＋1＝2（名）
答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。

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