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第二单元 圆柱和圆锥
（知识梳理+解决问题一）
一、解答题
1．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（）
2．工程队要在一个底面直径为4米，池深5米的圆柱形水池的底面和内壁抹水泥，如果每平方米需要水泥10元，一共需要多少元钱？
3．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。用这堆沙子去填一个长15米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？
4．一堆沙为近似的圆锥形，底面周长50.24米，高6米。将这堆沙运去铺一条宽8米的路，铺路厚度为0.2米，可以铺多少米路？
5．要想富，先修路，某村最近正在积极修建公路。一台压路机正在施工，压路机的滚筒是一个圆柱形，它的横截面周长是3.14米，长是1.5米，每滚一周能压多大的路面？如果转100周，压过的路面有多大？
6．一个用塑料薄膜搭成的蔬菜大棚，横截面是一个半圆（如下图）。搭成这个大棚需要塑料薄膜多少平方米？
7．在一个底面积是628cm2，高是3dm的圆柱形玻璃溶器里，盛有20cm高的水，现在把一个底面半径是10cm，高6cm的圆锥形铁块浸没水中，水面将会上升多少厘米？
8．一个圆柱形水桶的底面半径是，桶里完全浸没一个高为的圆锥形物体，当把这个物体从水桶里取出时，桶里的水面下降了，这个圆锥形物体的底面半径是多少？
9．如图，一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长为60米，横截面是一个直径为4米的半圆。
（1）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？
（2）大棚内的空间大约有多大？
10．如图是某县第一中学“25周年校庆纪念品”示意图。加工时，一个有机玻璃的圆柱体正好可以截成两个这样的纪念品。求一个纪念品的体积。（单位：厘米）
11．小军想测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面内直径是6厘米，往瓶子内装入一些水，正放时水面高10厘米，如果将它倒置放平，空瓶部分的高度是6厘米。瓶子的容积是多少毫升？
12．一个圆柱形容器从里面量得底面直径是4cm，高为26cm；另一圆锥形容器从里面量得底面直径为8cm，高为15cm。我们先向圆锥形容器中倒满水，然后将其容器中的水全部倒入圆柱形容器中，此时容器中水面离容器口还有多少cm？
13．人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？
14．一根圆柱形钢管，长50厘米，外直径是10厘米，管壁厚2厘米。
（1）将在这根钢管的外侧面（不包括底面），涂上沥青，涂沥青的面积有多少？
（2）在这样的水管中，水以每秒1米的速度流动，每分钟的流水量是多少立方米？
15．把一段底面半径是3厘米、高是9厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面大小不变的圆锥，圆锥的高是多少？
16．李大伯家决定挖一个底面周长是31.4米，深4米的圆柱形蓄水池。
（1）这个水池的占地面积是多少平方米？
（2）要挖这个水池，共需挖土多少立方米？
（3）在池内的侧面和底部抹一层水泥，抹水泥部分的面积有多少平方米？
17．如图，一个圆柱玻璃容器的底面直径为20厘米，里面装有水，水中没着一个底面直径为10厘米，高18厘米的圆锥形铅锤，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？

18．在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装了一些水，把一个底面半径是5厘米，高6厘米的圆锥形铁锤完全浸入水中，水面上升了多少厘米？
19．只列综合算式不计算。
工地上有一堆沙子，近似于一个圆锥体，底面直径是6米，高2.4米，如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？
20．下面是一个圆柱的表面展开图，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
21．一个圆锥形沙堆，它的占地面积是18平方米，高是1.2米，每立方米的沙重1.7吨，用载重为2吨的汽车把这堆沙运走，几次才运完？
22．一个圆柱形容器，底面直径20厘米，高30厘米，装水24厘米。将一个石块放入水中（完全浸没），水面上升3厘米。这个石块的体积是多少立方厘米？
23．一个直径是8厘米，高是10厘米的圆柱体，往里面加入6厘米深的水。将一个圆锥体放进去，水溢出9.42立方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？
24．如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？
25．下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14）
（1）在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？
（2）如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？
参考答案
1．2499立方厘米
【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。
【详解】解：设圆锥的高为厘米，
体积：
（立方厘米）
答：这个容器的容积是2499立方厘米。
2．753.6元
【分析】先计算出圆柱的半径，池深是圆柱的高，根据圆柱的表面积公式，求出水池的表面积，乘每平方米水泥花费的价钱，得到总价。
【详解】[3.14×（4÷2）2＋2×3.14×（4÷2）×5]×10
＝[3.14×4＋2×3.14×2×5]×10
＝[12.56＋62.8]×10
＝75.36×10
＝753.6（元）
答：一共需要753.6元。
【分析】此题的解题关键是掌握圆柱的表面积计算方法，注意这个圆柱是无盖的。
3．24厘米
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙子体积，用沙子体积÷长方体沙坑底面积即可。
【详解】24×1.8÷3÷（15×4）
＝14.4÷60
＝0.24（米）
0.24米＝24厘米
答：沙坑里沙子的厚度是24厘米。
【分析】关键是掌握圆锥和长方体体积公式。
4．251.2米
【分析】先求出圆锥形沙堆的体积，再用这个体积除以长方体的宽和高，求出长方体的长，据此求出铺路的长度即可。
【详解】
（米）
答：可以铺251.2米路。
【分析】本题考查长方体、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握长方体、圆锥的体积计算公式。
5．4.71平方米；471平方米
【分析】压路的面积等于这个圆柱的侧面积，横截面周长×长＝滚一周压路面积的大小。转100周压过的路面＝滚一周压路面积×100；据此列式解答。
【详解】3.14×1.5＝4.71（平方米）
4.71×100＝471（平方米）
答：每滚一周能压4.71平方米的路面，如果转100周，压过的路面为471平方米。
6．138.16平方米
【分析】要求需要多少平方米的塑料薄膜，就是求这个底面半径为4÷2＝2米，高为20米的圆柱体的表面积的一半，利用圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据即可计算得出。
【详解】底面半径：4÷2＝2（米）
圆柱的表面积：
（3.14×22×2＋3.14×4×20）÷2
＝（12.56×2＋12.56×20）÷2
＝（25.12＋251.2）÷2
＝276.32÷2
＝138.16（平方米）
答：搭成这个大棚需要塑料薄膜138.16平方米。
【分析】此题主要考查圆柱的表面积公式在实际生活中的意义，关键是熟记公式。
7．1厘米
【分析】圆锥完全浸入水中时，圆锥体积等于水面上升那部分的体积，再用水面上升的体积÷圆柱体玻璃溶器的底面积＝水面上升的高度。
【详解】×（3.14××6）÷628
＝×1884÷628
＝628÷628
＝1（厘米）
答：水面将会上升1厘米。
【分析】掌握圆锥的体积供水，以及意识到液面上升的水体积就是圆锥的体积是解题的关键。
8．
【分析】水面下降部分的体积就是圆锥的体积，即圆柱的底面积×下降高度；圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，进而求出圆锥的底面半径。
【详解】3.14×302×2
＝2826×2
＝5652（立方厘米）
5652×3÷24
＝16956÷24
＝706.5（平方厘米）
706.5÷3.14＝225
225＝15×15
答：这个圆锥形物体的底面半径是15厘米。
【分析】此题考查圆柱和圆锥的体积计算，掌握计算公式并能灵活运用是解题关键。注意求圆锥底面积时需先让体积×3。
9．（1）389.36平方米
（2）376.8立方米
【分析】这个大棚的形状是底面是半圆的半个圆柱体。
（1）求覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米，就是求圆柱的侧面积的一半，加上一个圆柱的底面积；
（2）求大棚内的空间大约有多大，就是求圆柱体积的一半．由此根据圆柱的表面积及体积公式，即可列式解答。
【详解】（1）3.14×4×60÷2＋3.14×（）2
＝376.8＋12.56
＝389.36（平方米）
答：覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有389.36平方米。
（2）3.14×（）2×60÷2
＝12.56×60÷2
＝753.6÷2
＝376.8（立方米）
答：大棚内的空间大约有376.8立方米。
【分析】此题主要利用圆柱的表面积和体积的公式解决问题，关键是理解大棚的形状是半个圆柱。
10．35.325立方厘米
【分析】
如图，将两个这样的纪念品拼成圆柱，圆柱的高是（6＋4）厘米，根据圆柱体积＝底面积×高，求出拼成的圆柱的体积，再除以2即可。
【详解】3.14×（3÷2）2×（6＋4）÷2
＝3.14×1.52×10÷2
＝3.14×2.25×10÷2
＝70.65÷2
＝35.325（立方厘米）
答：一个纪念品的体积是35.325立方厘米。
11．452.16毫升
【分析】瓶子的容积相当于底面直径为6厘米，高为厘米的圆柱体的体积，根据圆柱体积，将数值代入计算即可。
【详解】
＝
＝
=452.16（立方厘米）
＝452.16（毫升）
答：瓶子的容积是452.16毫升。
【分析】
12．6cm
【分析】根据V锥＝πr2h，求出圆锥形容器里水的体积，把这些水倒入圆柱形容器中，那么水的体积不变；根据S柱＝πr2求出圆柱的底面积，再根据圆柱的高h＝V÷S柱，求出圆柱形容器中水的高度，最后用圆柱形容器的高度减去水的高度，即是容器中水面离容器口的距离。
【详解】×3.14×（8÷2）2×15
＝×3.14×16×15
＝3.14×80
＝251.2（cm3）
3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（cm2）
251.2÷12.56＝20（cm）
26－20＝6（cm）
答：此时容器中水面离容器口还有6cm。
【分析】抓住“水的体积不变”以及灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。
13．942立方米
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出1根大理石门柱所用石材的体积，再乘12即可求出建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米。
【详解】3.14×（2÷2）2×25×12
＝3.14×12×25×12
＝3.14×1×25×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方米）
答：建造这十二根大理石门柱共用石材942立方米。
14．（1）1570平方厘米
（2）0.16956立方米
【分析】（1）由题可知，这根钢管的外侧面是一个长方形，该长方形的长是直径为10厘米的圆的周长，宽是50厘米，根据圆的周长：，长方形面积＝长×宽，代入数值计算即可；
（2）根据圆柱的体积公式：，先求出1秒流水的体积，再乘60即可。
【详解】（1）
（平方厘米）
答：涂沥青的面积有1570平方厘米。
（2）1分＝60秒
（厘米）
3厘米＝0.03米
（立方米）
答：每分钟的流水量是0.16956立方米。
【分析】本题主要考查的是圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式并注意单位的统一。
15．27厘米
【分析】根据题意，把一段圆柱形橡皮泥捏成一个底面大小不变的圆锥，说明圆锥与圆锥的体积相等，底面积也相等；
根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。
【详解】9×3＝27（厘米）
答：圆锥的高是27厘米。
【分析】掌握等体积等底面积的圆柱和圆锥高之间的关系是解题的关键。
16．（1）78.5平方米
（2）314立方米
（3）204.1平方米
【分析】（1）求这个水池的占地面积，就是求地面周长是31.4米的圆的面积；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝圆的周长÷2÷π；代入数据，求出底面的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个水池的占地面积；
（2）求共需要挖土多少立方米，就是求这个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可求出需要挖土多少立方米；
（3）求水池内的侧面和底部抹一层水泥的面积，就是求这个圆柱水池的去掉一个底面的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】（1）31.4÷2÷3.14
＝15.7÷3.14
＝5（米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方米）
答：这个水池的占地面积是78.5平方米。
（2）3.14×52×4
＝3.14×25×4
＝78.5×4
＝314（立方米）
答：共需挖土314立方米。
（3）3.14×52＋3.14×5×2×4
＝3.14×25＋15.7×2×4
＝78.5＋31.4×4
＝78.5＋125.6
＝204.1（平方米）
答：抹水泥部分的面积有204.1平方米。
【分析】利用圆的周长公式，面积公式，圆柱的表面积公式，圆柱的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。
17．1.5厘米
【分析】已知圆锥形铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铅锤的体积；
已知圆柱玻璃容器的底面直径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出容器的底面积；
如果把铅锤从圆柱玻璃容器中取出，那么水面会下降，水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积；
水面下降部分是一个底面直径为20厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算，即可求出水面下降的高度。
【详解】圆锥形铅锤的体积：
×3.14×（10÷2）2×18
＝×3.14×25×18
＝471（立方厘米）
圆柱玻璃容器的底面积：
3.14×（20÷2）2
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
水面下降的高度：
471÷314＝1.5（厘米）
答：容器中的水面高度将下降1.5厘米。
【分析】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，明白水面下降部分的体积等于铅锤的体积是解题的关键。
18．0.5厘米
【分析】根据题意，水面上升的部分体积等于圆锥形铁锤的体积；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥铁锤的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出水面上升的高度。
【详解】3.14×52×6×÷（3.14×102）
＝3.14×25×6×÷（3.14×100）
＝78.5×6×÷314
＝471×÷314
＝157÷314
＝0.5（厘米）
答：水面上升了0.5厘米。
【分析】熟练掌握和灵活运用圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。
19．×3.14×（6÷2）2×2.4×1.5
【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求沙堆的重量问题得解。
【详解】×3.14×（6÷2）2×2.4×1.5
＝×3.14×9×2.4×1.5
＝×28.26×2.4×1.5
＝9.42×2.4×1.5
＝22.608×1.5
≈33.91（吨）
答：这堆沙子大约重33.91吨。
【分析】本题主要考查圆锥的体积计算公式：V＝πr2h，运用公式计算时不要漏乘。
20．1884平方厘米；6280立方厘米
【分析】观察展开图，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱底面直径＝圆柱的高，先求出底面半径，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。
【详解】62.8÷3.14÷2＝10（厘米）
10×2＝20（厘米）
3.14×102×2＋62.8×20
＝3.14×100×2＋1256
＝628＋1256
＝1884（平方厘米）
3.14×102×20
＝3.14×100×20
＝6280（立方厘米）
答：这个圆柱的表面积是1884平方厘米，体积是6280立方厘米。
【分析】关键是理解圆柱展开图和圆柱之间的关系，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。
21．7次
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用18×1.2×即可求出沙堆的体积，然后根据乘法的意义，用沙堆的体积乘1.7吨即可求出沙堆的总重量，已知汽车每次只能运2吨，根据除法的意义用沙堆的总重量除以2吨即可求出运的次数，结果用进一法取值。
【详解】18×1.2×＝7.2（立方米）
7.2×1.7＝12.24（吨）
12.24÷2≈7（次）
答：7次才能运完。
【分析】本题主要考查了圆锥体积公式的灵活应用。
22．942立方厘米
【分析】这个石块完全浸没在水里后，石块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面半径为（20÷2）厘米，高为3厘米的圆柱体的体积，根据圆柱体的体积公式，把数据代入即可得解。
【详解】3.14×（20÷2）2×3
＝3.14×102×3
＝3.14×100×3
＝942（立方厘米）
答：这个石块的体积是942立方厘米。
【分析】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱体的体积公式，解决问题。
23．210.38立方厘米
【分析】将圆锥体完全浸没在水中，容器满了之后水溢出9.42立方厘米，则说明圆锥体的体积＝上升部分水的体积＋溢出水的体积，由题意可得，水面上升了（10－6）厘米，根据圆柱体的体积公式求解即可。
【详解】3.14×（8÷2）2×（10－6）＋9.42
＝3.14×42×4＋9.42
＝3.14×16×4＋9.42
＝200.96＋9.42
＝210.38（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是210.38立方厘米。
【分析】本题的解题关键是理解圆锥体的体积等于上升部分水的体积加溢出水的体积。
24．7厘米
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以先把圆锥内6厘米深的水倒入圆柱中，即为高6÷3＝2厘米的水的体积，原来圆柱内水的高度为11－6＝5厘米，当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是5＋2＝7（厘米）。据此解答。
【详解】6÷3＋（11－6）
＝2＋5
＝7（厘米）
答：容器里的液面高是7厘米。
【分析】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆锥内高6厘米的水的是指在圆柱内高度为2厘米的水的体积。
25．（1）12.56升；（2）分米
【分析】（1）已知一个装满水的无盖长方体容器，长8分米、宽6分米、高4分米；要在其中放入一个圆柱铁柱，且铁柱的直径为2分米，高为4分米；求放入后，会溢出多少升水；因为铁柱与长方体一样高，所以，放入后溢出的水的体积就相当于圆柱的体积；最后再把体积化为容积即可；可列式为：3.14×（2÷2）2×4＝12.56（升）。
（2）把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。意思是以长方体的宽为直径，锻造一个实心圆锥，求圆锥的高；可列式为：12.56×3÷[3.14×（6÷2）2]。
【详解】（1）3.14×（2÷2）2×4
＝3.14×4
＝12.56（立方分米）
＝12.56（升）
答：会溢出12.56升水。
（2）12.56×3÷[3.14×（6÷2）2]
＝37.68÷28.26
＝（分米）
答：这个圆锥的高是分米。
【分析】本题要求我们熟练应用圆柱、圆锥的体积公式，必要的时候，还要会将公式逆用；此外，对于盛满水的容器放入实心体这一类问题要能够结合具体题意进行分析，计算。

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