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第三单元 因数与倍数
（易错点归纳+易错题集锦）
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、没有最大的倍数。
4、3的倍数也可以是偶数。
5、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
6、5是奇数，但它的倍数的个位上可能是5，也可能是0。5的倍数的个位上是0的时候，这个数就是偶数。
7、判断一个数是3的倍数的时候，一定要把各个数位上的数字加起来，而不是看个位上的数字是几。
8、1既不是质数，也不是合数。
9、最小的质数是2，最小的合数是4。
10、2是唯一的一个偶质数。
11、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
12、只有1和它本身两个因数的数是质数，1的因为只有它本身。
13、判断一个数是不是另一个数的质因数，不仅要看这个数是不是另一个数的因数，还要看这个数是不是质数。
14、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
15、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
16、几个数的公倍数的个数是无限的。
17、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
一、选择题
1．把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有（ ）种分法。
A．5 B．4 C．3 D．6
2．三个连续的偶数，其中最大的一个数是m，最小的一个是（ ）。
A．（m＋2） B．（m－2） C．（m＋4） D．（m－4）
3．已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×5，则A和B的最大公因数是（ ）。
A．2 B．3 C．10 D．30
4．将分别标有数字2、3、4、5、6、7的六个同样小球放在一个不透明的袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸到标有（ ）的球可能性最小。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
5．把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是（ ）厘米。
A．2 B．4 C．8 D．6
6．永星小学五年级有4个班，五（1）班37人，五（2）班40人，五（3）班41人，五（4）班43人。能够把全班分成人数相同小组的是（ ）。
A．五（1）班 B．五（2）班 C．五（3）班 D．五（4）班
7．因为5×8＝40，所以8是40的（ ）。
A．质因数 B．公因数 C．因数 D．倍数
8．下面四个社团中可以分成人数相等的若干小组的社团是（ ）社团。
社团名称 舞蹈 绘画 书法 足球
人数 19 29 31 36
A．舞蹈 B．绘画 C．书法 D．足球
二、填空题
9．德国数学家哥德巴赫提出过两个猜想：任何一个不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式；任意一个大于5的奇数都可以写成三个质数之和，如4＝2＋2，11＝3＋3＋5。请你写出四个符合猜想的算式。
( )＝( )＋( ) ( )＝( )＋( )＋( )
( )＝( )＋( ) ( )＝( )＋( )＋( )
10．暑假期间，王老师每6天返校一次，刘老师每4天返校一次。7月25日两人在学校相遇，至少再过( )天两人相遇，再次相遇时是( )月( )日。
11．把1~9九张扑克牌背面朝上放在桌子上，小红和小亮玩翻牌游戏，规定二人轮流翻牌，每次任意翻开一张牌再放回，打乱后继续翻，如果翻开的数字是质数，小红得1分；如果翻开的数字是合数，小亮得1分；如果翻开的数字既不是质数也不是合数，两人都不得分。你认为这个游戏规则公平吗？( )
12．面包店烤好了一批面包，每12个装一袋或者每15个装一袋都正好装完，这批面包至少有( )个。
13．两根彩带，分别长48厘米和32厘米，把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是( )厘米，一共剪成了( )根短彩带。
14．烹饪课上，六（1）班学生进行分组操作，不管是每组6个人还是每组7个人都正好，六（1）班最少有( )个学生。
15．有两根钢管分别长24分米、20分米，现在要把它们锯成同样长的小段，每段钢管要尽可能长，且没有剩余，每段钢管长( )分米。
16．在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。
三、判断题
17．哥德巴赫猜想是任何一个数都可以拆成两个质数相加。( )
18．用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。( )
19．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数可能是8和12。( )
20．既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是1。( )
四、计算题
21．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
8和40 10和8 21和9
五、解答题
22．五（2）班有男生25人，女生20人。他们要参加体操比赛，如果要求每排男生人数与女生人数相等，每排最多只能站多少个人？
23．两根电线，第一根长56米，第二根长48米，要把它们剪成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少米？一共能剪成几段？
24．小华的爸爸每上班4天休息1天，妈妈每上班6天休息1天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么下一次同时在家休息是几月几日？
25．某社区广场舞队由60人组成，跳舞时要排成一个长方形的队形，要求每行或每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？试着写一写。
26．小丽到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付15.2元，小丽认为不对，你能解释这是为什么吗？
27．（1）用2、3、5、6四张数字卡片，能摆出多少个不同的两位数？请写出来？
（2）在组成的两位数中，质数和合数各有哪些？奇数和偶数呢？
（3）组成的两位数中，哪些既有因数2，又有因数3？
28．学校召开运动会，开幕式上每个年级派出一个方队进行风采展示。方队中每行的人数和行数都是质数（每行人数都相等）。四个小朋友在看台上数出五年级方队的总人数如下表，其中只有一个小朋友数对了。五年级方队有多少人？为什么？
芳芳 亮亮 红红 兵兵
66 72 77 80
参考答案
1．C
【分析】把45本书平均分成若干份，则每份中书的数量是45的因数；将45写成两数乘积的形式可得到45的因数；接下来，找出大于等于5且小于等于20的因数，满足这个条件的因数有几个就有几种分法。
【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9
45的因数有1、3、5、9、15、45，其中大于等于5且小于等于20的因数有5、9、15，共3个，所以把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有3种分法。
故答案为：C
【分析】此题考查的是因数的应用，学生还要熟练掌握找一个数因数的方法。
2．D
【分析】相邻的偶数之间相差2，最大的偶数－2＝中间偶数，中间偶数－2＝最小的偶数，据此分析。
【详解】m－2－2＝（m－4）
三个连续的偶数，其中最大的一个数是m，最小的一个是（m－4）。
故答案为：D
3．D
【分析】
分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数。
【详解】A＝2×2×3×5
B＝2×3×5
则A和B的最大公因数是：2×3×5＝30
故答案为：D
4．D
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。所以合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。
【详解】奇数有3、5、7，共3个；偶数有2、4、6，共3个；质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。
2＜3＜4
合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。
故答案为：D
【分析】本题主要考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关。
5．B
【分析】求每个正方形边长最大，就是求12和8的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最大公因数是2×2＝4
正方形边长最大是4厘米。
把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是4厘米。
故答案为：B
【分析】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解答本题的关键。
6．B
【分析】这些班的人数中，是合数的可以分成每组人数相同的组数，是质数的就不能分成每组人数相同的组数。
【详解】40＝2×2×2×5
37＝1×37
41＝1×41
43＝1×43
40是合数，可以平均分成人数相同的小组，37、41、43是质数，不可以分成人数相同的小组，所以五（2） 班、可以平均分成人数相同的小组。
故答案为：B
【分析】本题考查了根据质数和合数的性质进行求解。
7．C
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。质因数表示因数里面的质数，公因数表示两个数公有的因数。
【详解】因为5×8＝40，所以8是40的因数，不是40的质因数、倍数和公因数。
故答案为：C
【分析】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
8．D
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。根据题意可知，当人数是合数的时候，则可以分成人数相等的若干小组。据此解答。
【详解】根据分析可知，19、29、31是质数，36是合数。所以可以分成人数相等的若干小组的社团是足球社团。
故答案为：D
【分析】本题考查了质数、合数的辨别以及应用，掌握质数、合数的定义是解答本题的关键。
9．6 3 3 9 5 2 2 8 3 5 15 2 11 2
【分析】质数：因数只有1和它本身的数是质数。例：2、3、5、7、…。偶数：能被2整除的数是偶数，数的个位是0、2、4、6、8是偶数。奇数：不能被2整除的数是奇数，数的个位是1、3、5、7、9的数是奇数。
【详解】6＝3＋3；9＝5＋2＋2；
8＝3＋5；15＝2＋11＋2（答案不唯一）
10． 12 8 6
【分析】至少还需要几天两人相遇，这个天数是6和4的最小公倍数。据此，先求出最小公倍数，再推算再次相遇是几月几日。
【详解】6＝2×3
4＝2×2
6和4的最小公倍数是：2×2×3＝12
所以至少再过12天两人相遇。
7月还有：31－25＝6（天）
8月还要：12－6＝6（天）
7月25日再过12天是8月6日，所以8月6日他们又再次相遇。
11．公平
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；先找出质数、合数的个数，如果两种数字的个数相同，那么翻到质数和合数的可能性相同，游戏公平，如果两种数字的个数不相同，哪种数字的牌张数越多摸到的可能性越大，游戏不公平。
【详解】1~9中，质数有2，3，5，7，一共4个，合数有4，6，8，9，一共4个，质数牌的张数与合数牌的张数相同，所以他们得分的可能性相同，游戏公平。
12．60
【分析】每12个装一袋或者每15个装一袋都正好装完，说明面包个数是12和15的公倍数，求出12和15的最小公倍数是面包至少个数，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】12＝2×2×3
15＝3×5
2×2×3×5＝60（个）
这批面包至少有60个。
13． 16 5
【分析】“两根长度分别是48厘米、32厘米的彩带，把它们剪成长度一样的短彩带，且没有剩余”，要剪的长度就是48和32的公因数，要使每根短彩带最长可以是多少，要剪的长度就是48和32的最大公因数，求出最大公因数，再除以这两根彩带长度的和就是一共可剪成的段数。据此解答。
【详解】48＝2×2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
48和32的最大公因数：2×2×2×2＝16
（48＋32）÷16
＝80÷16
＝5（段）
所以，每根短彩带最长可以是16厘米，这样一共可以剪成5段。
【分析】本题考查的是公因数的应用，重点是理解每根短彩带最长应是48和32的最大公因数。
14．42
【分析】求六（1）班最少有多少名学生，即求6和7的最小公倍数，6和7是互质数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积，由此解答即可。
【详解】6×7＝42（个）
即六（1）班最少有42个学生。
【分析】此题主要考查了求两个数的最小公倍数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积。
15．4
【分析】两根钢管要锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余，求每段钢管多长，就是求24和20的最大公因数是多少；根据求最大公因数的方法，首先把每组中的数分解质因数，最大公因数是公有质因数的乘积；据此解答。
【详解】24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
最大公因数是2×2＝4，每段钢管长4分米。
【分析】本题的关键是要理解锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余，求每段钢管多长，就是求24和20的最大公因数。
16． 3 9 3 18＝2×3×3
【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。
【详解】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。
17．×
【详解】200百多年前，德国数学家哥德巴赫猜想发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和；同时，欧拉又补充指出：任何大于2的偶数都是两个质数之和；后来这两个命题被合称为“哥德巴赫猜想”；原说法中没有限定“任何大于2的偶数”，所以说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】2＋0＋1＋6＝9
9是3的倍数，所以用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
19．×
【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此可设这两个数分别是4x，4y，x和y互质，且4xy＝12，据此求出xy的积，进而推出x和y的值，最后推出这两个数。据此解答。
【详解】设这两个数分别是4x，4y，
4xy＝12
解：4xy÷4＝12÷4
xy＝3
3＝1×3
1×4＝4
3×4＝12
两个数的最大公因数是4，最小公倍数是12，这两个数是4和12。原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查了最大公因数和最小公倍数的认识和应用。
20．×
【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，5的倍数特征：个位是0、5的数是5的倍数，据此即可知道既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位是0，据此即可判断。
【详解】由分析可知：
既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是0，原说法错误。
故答案为：×
【分析】本题主要考查2和5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
21．最大公因数：8，2，3
最小公倍数：40，40，63
【分析】（1）当一个数是另一个数的倍数时，较大数是这两个数的最小公倍数，较小数是这两个数的最大公因数；
（2）利用短除法，求出所有公因数和独有因数，所有公因数的乘积是这两个数的最大公因数，所有公因数和独有因数的乘积是这两个数的最小公倍数。
【详解】（1）40÷8＝5
8和40的最大公因数是8，最小公倍数是40；
（2）
10和8的最大公因数是2，最小公倍数是2×5×4＝40。
（3）
21和9的最大公因数是3，最小公倍数是3×7×3＝63。
22．5人
【分析】已知要将男女生分别排队，每排的人数相同，要求每排最多可以排多少人，就是求20和25的最大公因数，据此解答。
【详解】20＝2×2×5
25＝5×5
20和25的最大公因数是5。
答：每排最多只能站5人。
23．8米；13段
【分析】根据题意，可计算出56与48的最大公因数，即每小段最长的长度，然后再用56除以最大公因数加上48除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
2×2×2
＝4×2
＝8
所以56与48的最大公因数是8，即每小段最长是8米；
56÷8＋48÷8
＝7＋6
＝13（段）
答：每小段最长是8米，一共可以截成13段。
【分析】正确理解题意，熟练掌握最大公因数的求法，是解答此题的关键。
24．3月25日
【分析】根据题意，爸爸每上班4天休息1天，即爸爸每5天休息1天；妈妈每上班6天休息1天，即妈妈每7天休息一天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息的天数为5和7的最小公倍数，再根据2022年是平年，2月有28天，得出下一次两人同时在家休息的日期。
【详解】4＋1＝5（天）
6＋1＝7（天）
5和7的最小公倍数是：5×7＝35
即每35天两人同时在家休息。
2022÷4＝505……2
2022年是平年，2月有28天。
28－18＝10（天）
35－10＝25（天）
即2022年2月18日再经过35天是3月25日。
答：下一次同时在家休息是3月25日。
25．5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
【分析】根据题意可知，先找出60的因数，可以一对一对的找；因为每行或每列不得少于5人，所以60的因数中，小于5的不考虑；去掉小于5的因数，60的因数中还剩下5、6、10、12，而5×12＝6×10＝60，进而可确定出每行每列的人数。
【详解】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
因为每行或每列不得少于5人，
所以行、列分别是5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
答：共有4种排法。
【分析】解答本题关键是掌握找一个数的因数的方法。
26．见详解
【分析】根据3的倍数的特征解决此题。
【详解】因为15.2元＝1520分，3本日记本的总价应是3的倍数，但1520并不是3的倍数，所以售货员计算有误。
【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
27．（1）能摆出12个不同的两位数，分别是 23、32、25、52、26、62、35、53、36、63、56、65。
（2）质数：23、53
合数：32、25、52、26、62、35、36、63、56、65
奇数：23、25、35、53、63、65
偶数：32、52、26、62、36、56
（3）组成的两位数中，既有因数2，又有因数3的数是36。
【分析】（1）分别以2、3、5、6做十位上的数，另3个数做个位上的数，写出来即可。
（2）只有因数1和它本身的数是质数，至少有三个因数的数是合数，根据因数的个数来判断这个数是质数还是合数；能被2整除的数是偶数，反之的是奇数，据此判断即可。
（3）一个数既有因数2，又有因数3说明这个数有因数2×3＝6，依次看这些数哪个能被6整除即可。
【详解】（1）能摆出12个不同的两位数，分别是 23、32、25、52、26、62、35、53、36、63、56、65。（2）质数：23、53
合数：32、25、52、26、62、35、36、63、56、65
奇数：23、25、35、53、63、65
偶数：32、52、26、62、36、56
（3）在这些数中能被6整除的数只有36，所以既有因数2，又有因数3的数是36。
【分析】此题考查了因数倍数的综合应用，质数与合数跟这个数的因数的个数有关，而奇数和偶数主要看能否被2整除。
28．77人；见详解
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
根据题意，方队中每行的人数和行数都是质数；据此把四个人数的总人数分解质因数，其中能分解成两个质数相乘形式的合数即是五年级方队的总人数。
【详解】66＝2×3×11
72＝2×2×2×3×3
77＝7×11
80＝2×2×2×2×5
答：五年级方队有77人。因为只有77能分解成两个质数相乘，而其他三个数都不能分解为两个质数相乘，所以五年级方队有77人。

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