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第三单元 正比例和反比例
（知识梳理+解决问题二）
一、解答题
1．悦悦学习完比例的知识后进行了测量学校旗杆高度的实验：
（1）实验器材：卷尺、2米长的竹竿。
（2）实验时间：6月2日中午（晴天）
（3）实验步骤：将竹竿直立在学校旗杆的旁边，量得竹竿的影长是1.2米。同一时间测得旗杆的影长是9.6米。
请你用比例解答，计算出旗杆的高度。
2．一本故事书共150页，李丽3天看了45页，照这样的速度，看完这本书还需用多少天？（用比例解）
3．开车从安阳到北京要行驶约500千米。一辆汽车从安阳出发前往北京，5小时行了全程的。照这样的速度，到达北京共需要多少小时？
4．风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视。我国风能资源丰富，它取之不尽，用之不竭。某校数学实践小组到石城县八卦脑风景区实践，测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米。风力发电架的高是多少米？（用比例解决问题）
5．淘淘从“六一”儿童节当天开始，前4天读了72页书。照这样计算，淘淘在6月份一共可以读多少页书？（用比例知识解）
6．萌萌和同学们在操场上测量出一棵树的影长是4米，同时测得直立的米尺影子长是40厘米，米尺长1米。这棵树高多少米？（用比例解）
7．某地洪水过后要修补一条长7.2千米的公路，前12天修了4.32千米，照这样的速度，剩下的还要几天修完？（用比例方程解）
8．化肥厂生产一批化肥，每天生产30吨，50天完成。如果要40天完成任务，每天应多生产多少吨？（用比例解）
9．工程队修一条水渠，每天工作6小时12天可以完成，如果工作效率不变，每天多工作2小时，多少天可以完成？（用比例解）
10．张同周末去爬山，上山时每小时大约走3.5千米，用了2.4小时，下山时按原路返回，比上山少用了0.3小时，他下山时每小时走多少千米？（用比例解）
11．博爱小学开学前各教室、功能室要消毒，如果每天消毒15间教室，8天可以全部消毒完，实际每天多消毒5间。实际几天可以全部消毒完？（用比例解）
12．用一辆汽车运送一批应急货物。
载重/吨 4 6 10 12 15 20
运送次数/次 30 20
（1）完成上表。
（2）如果用载重为30吨的大货车运送这批货物，几次可以运完？（用比例解）
13．一艘轮船从甲港驶往乙港，每小时行25千米，12小时到达。返回时每小时行30千米，可以提前几小时到达？（用比例知识解答）
14．2023年世界环境日中国主题是“低碳减排、绿色出行”，学校打印室积极响应，原计划每天用60张，可以用15天的A4纸，实际每天只用45张，________________？（提出一个数学问题并解答）
15．小林和小华共读一本文学名著，小林每天读20页，6天读完。小华每天读30页，几天可以读完？（用比例解）
（1）分析：每天读的页数和天数成（ ）比例关系。
（2）请你用比例方法来解答。
16．下面是森夏买皮球的情况。
数量/个 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 6 12 18 24 30 36 …
（1）根据表中的数据，描出各点，再按顺序连接起来。
（2）买8个皮球需要（ ）元，用108元可以买（ ）个皮球。
（3）购买皮球的总价和数量成比例吗？如果成比例，成的是什么比例，为什么？
17．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下。
每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 …
所需地砖的数量/块 300 150 100 60 50 …
（1）每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系？
（2）如果每块地砖的面积是0.4平方米，铺这一地面需要多少块地砖？
（3）铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是多大？
18．花园村新修一条水泥路，每天修的长度和所需天数如下表：
每天修的长度/米 240 80 60 40
所需天数 2 6 8 12
（1）每天修的长度和所需天数成反比例吗？为什么？
（2）如果每天修160米，那么修完这条路需要多少天？
19．张叔叔骑自行车的时间与路程如下表所示。
时间／分 0 1 2 3 4 5 …
路程／千米 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 …
（1）张叔叔骑自行车的路程与时间成正比例吗？为什么？
（2）先根据上表描点，再顺次连接。
（3）点（6，1.2）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？
20．汽车行驶的时间和路程如下表。
（1）完成表格。
时间/小时 1 2 3 5
路程/千米 60 120 240 360
（2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶150千米大约要用（ ）小时。
21．工人加工一批零件，每小时加工个数与加工时间如下表：（每小题2分，共4分）
每小时加工个数/个 10 20 30 50 …
加工时间/时 60 30 20 12 …
（1）每小时加工个数与加工时间是不是成反比例？说明理由。
（2）如果工人每小时加工40个零件，加工完这批零件需要多少小时？
参考答案
1．16米
【分析】根据同一时间，同一地点，物体的影长与物体的实际长度的比值一定，成正比例，即旗杆高度∶影长＝尺长∶尺的影长，由此列出比例解决问题即可。
【详解】由分析可得：
解：设学校旗杆的高度为x米，
1.2∶2＝9.6∶x
1.2x＝2×9.6
1.2x＝19.2
1.2x÷1.2＝19.2÷1.2
x＝16
答：旗杆的高度为16米。
【分析】解答本体的关键是根据题意，明确物体的高度和影长成正比例关系。
2．7天
【分析】由题意可知，设看完这本书还需用x天，因为每天看的页数是一定的，则看的页数和天数成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设看完这本书还需x天。
45x＝105×3
45x＝315
45x÷45＝315÷45
x＝7
答：照这样的速度，看完这本书还需用7天。
【分析】本题考查用比例解决实际问题，明确看的页数和天数成正比例是解题的关键。
3．6.25小时
【分析】把全长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用500×即可求出5小时行驶的路程，根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程和时间成正比例，设到达北京共需要x小时，列比例为：500∶x＝（500×）∶5，然后解出比例即可。
【详解】解：设到达北京共需要x小时。
500∶x＝（500×）∶5
500∶x＝400∶5
400x＝500×5
400x＝2500
x＝2500÷400
x＝6.25
答：到达北京共需要6.25小时。
【分析】本题主要考查了正比例的应用，掌握解比例的方法是解答本题的关键。
4．80米
【分析】根据实际长与影长的比值不变的关系，列出比例方程进行解答即可。
【详解】解：设风力发电架的高是x米。
答：风力发电架的高是80米。
【分析】本题考查用比例解决问题，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。
5．540页
【分析】由题意可知，淘淘每天读的页数是一定的，则读的天数与页数成正比例，6月份有30天，据此列比例解答即可。
【详解】解：设淘淘在6月份一共可以读页书。
＝
4＝30×72
4＝2160
4÷4＝2160÷4
＝540
答：淘淘在6月份一共可以读540页书。
【分析】本题考查用比例解决实际问题，明确读的天数与页数成正比例是解题的关键。
6．10米
【分析】设这棵树高x米，在同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比例，树的高度∶树的影长＝尺的长∶尺的影长，由此即可列比例求出这棵树的高。
【详解】解：设这棵树高x米。
40厘米＝0.4米
x∶4＝1∶0.4
0.4x＝4
0.4x÷0.4＝4÷0.4
x＝10
答：这棵树高10米。
【分析】解答此题的关键是弄清物体的高度与影长两种量成正比例关系。
7．8天
【分析】根据题意，公路全长7.2千米，前12天修了4.32千米，则剩下（7.2－4.32）千米；根据“照这样的速度”可知工作效率一定，即工作量∶工作时间＝工作效率（一定），比值一定，则工作量和工作时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
【详解】解：设剩下的还要天修完。
4.32∶12＝（7.2－4.32）∶
4.32＝12×（7.2－4.32）
4.32＝12×2.88
4.32＝34.56
＝34.56÷4.32
答：剩下的还要8天修完。
【分析】先确定工作效率不变，再根据工作效率、工作时间、工作量之间的关系，得出工作量和工作时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。
8．7.5吨
【分析】根据题意知道总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答即可。
【详解】解：设每天应多生产x吨，可得：
40×（30＋x）＝30×50
1200＋40x＝1500
1200＋40x－1200＝1500－1200
40x＝300
40x÷40＝300÷40
x＝7.5
答：每天应多生产7.5吨。
【分析】解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率、工作时间和工作量之间的关系，先判断哪两种量成何比例，再找准对应量，列式解答即可。
9．9天
【分析】由题意可知，修这条水渠一共需要的小时数不变，每天工作的时间×工作的天数＝一共需要的小时数（一定），那么每天工作的时间和工作的天数成反比例，据此列出比例并解比例求出需要的天数。
【详解】解：设x天可以完成。
（6＋2）×x＝6×12
8x＝6×12
8x＝72
x＝72÷8
x＝9
答：9天可以完成。
【分析】本题主要考查反比例的应用，明确题中相关联的两种量成反比例关系是解答题目的关键。
10．4千米
【分析】设下山时每小时走x千米。当路程一定时，速度与时间成反比例关系，即上山的速度×上山的时间＝下山的速度×下山的时间。根据这个数量关系可有（2.4－0.3）x＝3.5×2.4。
【详解】解：设他下山时每小时走x千米。
（2.4－0.3）x＝3.5×2.4
2.1x＝8.4
x＝8.4÷2.1
x＝4
答：他下山时每小时走4千米。
【分析】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。
11．6天
【分析】把实际需要的天数设为未知数，因为教室的总数量不变，所以每天消毒的教室数量和需要的天数成反比例，实际每天消毒的教室数量×实际需要的天数＝计划每天消毒的教室数量×计划需要的天数，据此解答。
【详解】解：设实际x天可以全部消毒完。
（15＋5）x＝15×8
20x＝15×8
20x＝120
x＝120÷20
x＝6
答：实际6天可以全部消毒完。
【分析】本题主要考查反比例的应用，明确题中相关联的两种量成反比例关系是解答题目的关键。
12．（1）12；10；8；6
（2）4次
【分析】（1）由表格可知，这批货物的重量是一定，汽车的载重与运送次数成反比例，即汽车的载重与运送次数的乘积是一定的，据此计算即可；
（2）由题意可知，设x次可以运完，因为这批货物的重量是一定，汽车的载重与运送次数成反比例，据此列比例解答即可。
【详解】（1）4×30÷10
＝120÷10
＝12
4×30÷12
＝120÷12
＝10
4×30÷15
＝120÷15
＝8
4×30÷20
＝120÷20
＝6
表格如下：
载重/吨 4 6 10 12 15 20
运送次数/次 30 20 12 10 8 6
（2）解：设x次可以运完。
30x＝4×30
30x＝120
30x÷30＝120÷30
x＝4
答：4次可以运完。
【分析】本题考查用比例解决实际问题，明确汽车的载重与运送次数成反比例是解题的关键。
13．2小时
【分析】根据题意可知，轮船往返甲、乙港的路程不变，即速度×时间＝路程（一定），乘积一定，那么速度和时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设返回时要用小时到达。
30＝25×12
30＝300
30÷30＝300÷30
＝10
12－10＝2（小时）
答：可以提前2小时到达。
【分析】先确定路程一定，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出速度和时间成反比例关系，列出相应的比例方程。
14．实际用了多少天？20天
【分析】可根据题意，提出一个问题：实际用了多少天？这批A4纸的总量一定，因为每天用纸量×用的天数＝A4纸总量，乘积一定，所以每天用纸量与用的天数成反比例，据此列出方程解答即可。
【详解】提出问题：实际用了多少天？
解：设实际用了x天，
60×15＝45×x
900＝45x
45x＝900
x＝900÷45
x＝20
答：实际用了20天。
【分析】本题考查利用反比例解决问题，解答本题的关键是判断出每天用纸量与用的天数成反比例关系。
15．（1）反；（2）4天
【分析】（1）根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系；
（2）设x天可以读完，根据每天读的页数×读的天数＝总页数（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】（1）每天读的页数×读的天数＝总页数（一定），每天读的页数和天数成反比例关系。
（2）解：设x天可以读完。
30x＝20×6
30x＝120
30x÷30＝120÷30
x＝4
答：4天可以读完。
【分析】关键是理解反比例的意义，积一定是反比例关系。
16．（1）见详解；
（2）48；18；
（3）皮球的总价和数量成比例，成正比例，因为购买皮球总价和数量的比的比值一定。
【分析】（1）观察图可知，纵轴表示总价，横轴表示数量，根据表中的数据依次在图中描出各个点并按顺序连接各个点即可。
（2）根据“总价÷数量＝单价”，求出皮球的单价；用皮球的单价乘购买的数量，即可求出买8个皮球需要的钱数；用108元除以皮球的单价，即可求出用108元可以买几个皮球。
（3）根据正反比例的意义可知，相关联的两个变量，比值一定，成正比例；相关联的两个量，乘积一定，成反比例；总价÷数量＝单价，又皮球的单价是一定，也就是皮球总价和数量之间的比值一定，据此解题即可。
【详解】（1）作图如下：
（2）6÷1＝6（元）
6×8＝48（元）
108÷6＝18（个）
所以，买8个皮球需要48元，用108元可以买18个皮球。
（3）皮球单价一定，
总价∶数量＝单价（一定）
答，皮球的总价和数量成比例，成正比例，因为购买皮球总价和数量的比的比值一定。
【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
17．（1）反比例；（2）75块；（3）0.15平方米
【分析】（1）根据题意可知，每块地砖的面积×所需地砖的数量＝总面积（一定），每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积一定，则它们成反比例关系；
（2）根据总面积÷每块地砖的面积＝所需地砖的数量，用总面积除以0.4平方米，即可求出所需地砖的块数；
（3）根据总面积÷所需地砖的数量＝每块地砖的面积，用总面积除以200块，即可求出每块地砖的面积。
【详解】（1）0.1×300＝30（平方米）
0.2×150＝30（平方米）
0.3×100＝30（平方米）
0.5×60＝30（平方米）
0.6×50＝30（平方米）
每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积一定，则它们成反比例关系；
（2）30÷0.4＝75（块）
答：如果每块地砖的面积是0.4平方米，铺这一地面需要75块地砖。
（3）300÷200＝1.5（平方米）
答：铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是1.5平方米。
【分析】本题考查了反比例的意义和应用，判断相关量是正比例还是反比例是解答本题的关键。
18．（1）成反比例，每天修的长度×所需天数＝480米（一定），乘积一定；
（2）3天
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
（2）根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”，用480米除以每天修路的长度，即可求出需要的天数。
【详解】（1）240×2＝480（米）
80×6＝480（米）
60×8＝480（米）
40×12＝480（米）
每天修的长度×所需天数＝480米（一定），乘积一定，所以，每天修的长度和所需天数成反比例。
答：每天修的长度和所需天数成反比例，因为每天修的长度×所需天数＝480米（一定），乘积一定。
（2）480÷160＝3（天）
答：修完这条路需要3天。
【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
19．（1）成正比例；见详解；
（2）见详解；
（3）在；张叔叔6分骑自行车1.2千米。
【分析】（1）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；据此解答；
（2）根据表中数据描点连线即可；
（3）判断是否在这条直线上，直接求的比值，比值等于0.2则在这条直线上，否则不在；横轴表示时间，纵轴表示路程；据此解答。
【详解】（1）因为＝＝＝＝＝0.2，是定值，所以张叔叔骑自行车的路程与时间成正比例。
（2）画图如下：
（3）因为＝0.2，所以点（6，1.2）在这条直线上，这一点表示张叔叔6分骑自行车1.2千米。
【分析】本题主要考查正比例的意义与辨识。
20．（1）4；6；180；300；
（2）见详解；2.5
【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，根据路程∶时间＝速度（一定），求出表格中时间对应的路程以及路程对应的时间；
（2）由图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示60千米，根据表格中的数据描出各点，然后依次连接各点，最后估算出150千米对应的时间，据此解答。
【详解】（1）＝60（一定），此时路程和时间成正比例关系，则＝60。
时间/小时 1 2 3 4 5 6
路程/千米 60 120 180 240 300 360
（2）
由图可知，行驶150千米大约要用2.5小时。
【分析】掌握路程、时间、速度之间的关系，速度一定时，路程和时间成正比例关系，根据表格画出正比例关系的图象是解答题目的关键。
21．（1）成反比例；理由见详解
（2）15小时
【分析】（1）判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量对应的是比值一定还是乘积一定，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例，据此解答；
（2）通过之间的关系列出比例，即可解答。
【详解】（1）10×60＝20×30＝30×20＝50×12＝600（一定）
每小时加工个数×加工时间＝这批零件的个数（一定），每小时加工个数与加工时间成反比例。
（2）解：设加工完这批零件需要x小数。
40x＝10×60
40x＝600
x＝600÷40
x＝15
答：加工完这批零件需要15小时。
【分析】熟练掌握正比例意义和辨识，反比例意义和辨识是解答本题的关键。

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