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第三单元 正比例和反比例
（知识梳理+解决问题一）
一、解答题
1．要解决老旧小区的供暖问题，工人师傅铺一条暖气管道，前6天铺了210m，照这样的速度，还需要8天才能把管道全部铺完。这条管道一共长多少米？
2．一个秦代高级军吏俑模型的高度与实际高度的比是1∶10，模型高度是19.6厘米。这个高级军吏俑的实际高度是多少？
3．为完成张老师布置的测量学校旗杆高度的实践作业，杨光同学将一根长3米的标杆直立在地上，测得该标杆影长为1.2米，而他的同伴夏天同学同时测得旗杆的影长比标杆影长多3.6米。他们记录了数据并通过计算，顺利地得到了旗杆的高度，旗杆的高度到底是多少米呢？（请运用比例求解旗杆的高度）
4．琪琪身高1.5米，阳光下她的影长为2米，此时测得一个水塔在同一地面的影长为60米，水塔的高度是几米？
5．学习了泰勒斯的故事，小明想测量一下学校旗杆的高度，他找了一根2.5米的竹竿，测得影长2米。如果同一时间同一地点测得旗杆的影长是12米，你知道旗杆有多高吗？（用比例解决）
6．甲、乙两地相距570千米，一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了380千米。照这样的速度，这辆汽车还需要多长时间才能到达乙地？（用比例解）
7．随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理多少个订单？（用比例解答）
8．洛阳地铁2号线整条线路全长约18.3千米，地铁列车10分钟大约可运行6.1千米，照这样计算，跑完2号线全程大约需多少分钟？（用比例解）
9．轮船从甲港口到乙港口顺水每小时行30千米，从乙港口到甲港口逆水每小时行20千米。往返一次共9小时。甲、乙两港口相距多少千米？
10．与经典同行，打好人生底色，与名著为伴，塑造美好心灵。为了提高学生的文化素养，学校购买了一批文学作品，如果每班分20本，可以分给45个班；学校计划分给五、六年级的25个班，平均每班分得多少本？
11．某小学开展节能减排活动，为绿色环保做贡献。原来学校平均每天用电200千瓦时，开展节约用电以来，平均每天用电120千瓦时。原来用6天的电量现在可以用多少天？
12．“最是书香能致远，读书之乐乐无穷。”“多读书”“读好书”可以提高阅读品味，提高综合素养。林小豪读一本书，如果每天读12页，21天读完；如果每天读18页，几天可以读完？
13．如下图，剪一根长14厘米的硬纸条，先找到纸条的中心点，再在中心点两侧每隔1厘米打一个孔，把纸条的中心固定在支架上。在支架右侧第4个孔处挂3个砝码（每个砝码重10克），想一想，在支架左侧第2个孔处挂多重的物体才能保持平衡？
14．给一间办公室铺地砖，每块地砖的面积与所需的地砖数量如表。
每块地砖的面积/平方厘米 300 400 600 800
所需地砖的数量/块 3200 2400 1600 1200
（1）所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？
（2）如果使用面积为1500平方厘米的地砖，那么铺完这间办公室需要多少块地砖？
15．小商店有两种圆珠笔。小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的圆珠笔。如果他只买单价是2元的圆珠笔，可以买多少支？
16．工程队修一条水渠，每天工作6小时，12天可以完成。如果每小时的工作量不变，每天工作8小时，多少天可以完成任务？
17．工程队修一段公路，原计划每天修4.8千米，18天修完。实际提前2天修完，实际每天修多少千米？
18．一间房子，用面积是60厘米×60厘米的方砖铺地，需要176块。如果用面积是80厘米×80厘米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解）
19．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如图。
（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成什么比例关系？乙车呢？
（2）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距多少千米？
20．购买一种彩带的长度和总价如下表：
长度/米 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 5 10 15 …
（1）将上表补充完整，并根据上表描出总价与长度的关系图。
（2）购买彩带的总价和长度成什么比例？说明理由。
（3）根据图像判断，购买2.5米彩带需要多少元？45元可以购买多少米的彩带？
21．“神舟十五号”，是中国发射载人航天工程的第十五艘飞船，是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，它运行的路程与时间如下表。
时间/秒 1 2 3 4 5 6
速度/千米 7.9 15.8 23.7 31.6 39.5 47.4
（1）观察表中数据，运行的时间和路程成（ ）比例。
理由：
（2）看了以上数据，奇思问妙想：“你知道当‘神舟十五号’运行到276.5千米时，它运行了多长时间吗？”（用比例知识解答）
22．某工厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表。
平均每天产量/台 200 300 500
所需时间/天 75 50 30
（1）平均每天产量与所需时间成反比例吗？为什么？
（2）如果要20天生产完这批豆浆机，平均每天生产多少台？
23．疫情期间口罩使用量大增，某口罩生产厂要完成一批任务，每天生产的数量与需要生产的天数如下表：
每天生产的数量/万只 500 600 800 1000 1200
时间/天 24 20 15 12 10
（1）如果每天生产的数量用m表示，需要的天数用t表示。用式子表示出m、t和生产口罩的总数之间的数量关系是（ ），m和t成（ ）比例关系，判断的理由是：________________。
（2）如果这批生产任务需要8天完成，每天需要生产多少万只口罩？
参考答案
1．490米
【分析】
铺的长度∶对应天数＝每天铺的长度（一定），比值一定是正比例关系，设这条管道一共长x米，根据管道总长度∶总天数＝每天铺的长度，列出正比例算式解答即可。
【详解】
解：设这条管道一共长x米。
x∶（6＋8）＝210∶6
x∶14＝210∶6
6x＝14×210
6x＝2940
6x÷6＝2940÷6
x＝490
答：这条管道一共长490米。
2．196厘米
【分析】根据题意可知，秦代高级军吏俑模型的高度∶实际高度＝1∶10，比值一定，秦代高级军吏俑模型的高度和实际高度成正比例，假设这个将军俑的实际高度是x厘米，列方程为19.6∶x＝l∶10，然后解出方程即可。
【详解】解∶设这个秦代高级军吏俑的实际高度是x厘米。
19.6∶x＝1∶10
x×1＝19.6×10
x＝196
答：这个秦代高级军吏俑的实际高度是196厘米。
3．12米
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
【详解】解：设旗杆的高度是x米。
3∶1.2＝x∶（1.2＋3.6）
1.2x＝3×4.8
1.2x＝14.4
1.2x÷1.2＝14.4÷1.2
x＝12
答：旗杆的高度是12米。
【分析】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
4．45米
【分析】由题意可知，设水塔的高度是x米，根据同一时间，同一地点物体高度与它的影长成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设水塔的高度是x米。
1.5∶2＝x∶60
2x＝1.5×60
2x＝90
2x÷2＝90÷2
x＝45
答：水塔的高度是45米。
5．15米
【分析】根据“同一时间同一地点杆高与影长成正比例”可知，竹竿的高与竹竿的影长的比值与旗杆的高与旗杆的影长的比值相等，即“2.5∶2”的比值和“旗杆的高∶12”的比值相等，根据这个数量关系可列比例解答。
【详解】解：设旗杆高x米。
x∶12＝2.5∶2
2x＝12×2.5
2x＝30
2x÷2＝30÷2
x＝15
答：旗杆高15米。
6．2小时
【分析】因为汽车前后的速度不变，路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例，4小时行了380千米，剩下（570－380）千米。设到达乙地还需要x小时，再按照正比例关系列方程。
【详解】解：设这辆汽车还需x小时到达乙地。
380∶4＝（570－380）∶x
380∶4＝190∶x
380x＝4×190
380x＝760
380x÷380＝760÷380
x＝2
答：这辆汽车还需要2小时才能到达乙地。
7．960个
【分析】设1台智能机器人12小时能处理x份订单，工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】30分钟小时
解：设1台智能机器人12小时能处理x个订单。
0.5x＝40×12
0.5x＝480
0.5x÷0.5＝480÷0.5
答：1台智能机器人12小时能处理960个订单。
8．30分钟
【分析】设跑完2号线全程大约需x分钟，根据路程∶时间＝速度，列出正比例算式解答即可。
【详解】解：设跑完2号线全程大约需x分钟。
18.3∶x＝6.1∶10
6.1x＝18.3×10
6.1x＝183
6.1x÷6.1＝183÷6.1
x＝30
答：跑完2号线全程大约需30分钟。
【分析】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。
9．108千米
【分析】
设从甲港口到乙港口用x小时，则从乙港口到甲港口用（9－x）小时，两港口距离一定，根据速度×时间＝路程，甲港口到乙港口的速度×甲港口到乙港口时间＝乙港口到甲港口的速度×乙港口到甲港口时间，列出反比例算式求出x的值，是甲港口到乙港口时间。甲港口到乙港口的速度×甲港口到乙港口时间＝甲、乙两港口距离。
【详解】解：设从甲港口到乙港口用x小时。
30x＝20×（9－x）
30x＝180－20x
30x＋20x ＝180－20x＋20x
50x＝180
50x÷50＝180÷50
x＝3.6
30×3.6＝108（千米）
答：甲、乙两港口相距108千米。
10．36本
【分析】
根据题意可知，先设平均每班分得x本，无论如何分配，书籍总数不变，所以20乘45等于25乘上x，据此列式即可。
【详解】
解：设平均每班分x本。
25x＝20×45
25x＝900
25x÷25＝900÷25
x＝36
答：平均每班分得36本。
11．10天
【分析】
根据题意，用电总量一定，每天用电量和用的天数成反比例，即每天用电量和用的天数的乘积一定，原来每天用电量×用的天数＝后来每天用电量×后来用的天数；设现在可以用x天，列出比例解答即可。
【详解】
解：设原来用6天的电量现在可以用x天。
120x＝200×6
120x＝1200
120x÷120＝1200÷120
x＝10
答：原来用6天的电量现在可以用10天。
12．
14天
【分析】每天读的页数×读完这本书需要的时间＝这本书的总页数（一定），根据这本书的总页数不变，所以每天读的页数和读完这本书需要的时间成反比例，如果每天读18页，设天可以读完，列方程求解即可。
【详解】解：设天可以读完，
答：如果每天读18页，14天可以读完。
13．60克
【分析】用左右两侧物体的质量分别乘它们到中心点的距离，当结果相等时，才能保持平衡，据此解答。
【详解】4×3×10÷2
＝12×10÷2
＝120÷2
＝60（克）
答：在支架左侧第2个孔处挂60克的物体才能保持平衡。
14．（1）成反比例关系；理由见详解；（2）640块
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。
（2）用这间办公室的总面积除以每块地砖的面积，据此解答。
【详解】（1）成反比例关系，理由如下：
因为300×3200＝400×2400＝600×1600＝800×1200＝960000，也就是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝这间办公室的总面积，总面积是一定，乘积一定，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。
答：成反比例关系，理由是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝办公室的总面积（一定）。
（2）300×3200÷1500
＝960000÷1500
＝640（块）
答：铺完这间办公室需要640块地砖。
15．3支
【分析】由题意可知，小明所带的总钱数一定，即总价一定。当总价一定时，单价与数量成反比例，由此设未知数，列出比例解答即可。
【详解】解：设可以买x支。
2x＝4×1.5
2x＝6
x＝6÷2
x＝3
答：可以买3支。
16．9天
【分析】把总工作量看作整体“1”，根据工作效率不变，每天工作的时间和工作的天数成反比例，设x天可以完成任务，列比例：6×12＝8x，解比例，即可解答。
【详解】解：设x天可以完成任务。
6×12＝8x
8x＝72
x＝72÷8
x＝9
答：9天可以完成任务。
17．5.4千米
【分析】根据题意可知：工作总量是一定的，工作效率和工作时间成反比例关系，设实际每天修千米，据此列比例解答。
【详解】解：设实际每天修千米。
（18－2）＝4.8×18
16＝86.4
＝86.4÷16
＝5.4
答：实际每天修5.4千米。
【分析】明确工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系，据此列出比例是解答本题的关键。
18．99块
【分析】由题意可知，这间房子地面的面积一定，则方砖的面积与块数成反比例关系，据此列比例解答即可。
【详解】解：设需要x块。
60×60×176＝80×80×x
3600×176＝6400x
6400x＝633600
6400x÷6400＝633600÷6400
x＝99
答：需要99块。
【分析】本题考查用比例解决实际问题，明确方砖的面积与块数成反比例关系是解题的关键。
19．（1）甲车成正比例关系；乙车成正比例关系
（2）750千米
【分析】
（1）根据“正比例关系的图象是一条经过原点的直线”进行解答；
（2）从图象可知，甲车1小时行驶90千米，乙车1小时行驶60千米，已知两车经过5小时相遇，根据“速度和×相遇时间＝路程”，据此求出A、B两地的距离。
【详解】
（1）答：从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系，乙车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系。
（2）（90＋60）×5
＝150×5
＝750（千米）
答：A、B两地相距750千米。
20．（1）20；25；30；关系图见详解
（2）正比例；理由见详解
（3）12.5元；9米
【分析】
（1）观察表格可知，1米彩带5元，根据单价×数量＝总价，分别求出购买4米、5米、6米彩带的总价，据此填表；根据统计表中的数据，先描点，再连线即可完成关系图；
（2）根据总价÷数量＝单价（一定），判断成什么比例关系即可；
（3）用单价乘2.5米即可求出购买2.5米彩带需要多少元；根据总价÷单价＝数量，代入数据即可求出45元可以购买多少米的彩带。
【详解】（1）4×5＝20（元）
5×5＝25（元）
6×5＝30（元）
填表如下：
长度 /米 1 2 3 4 5 6 …
总价 /元 5 10 15 20 25 30 …
关系图如下：
（2）购买彩带的总价和长度成正比例；因为总价÷长度＝5（一定），所以购买彩带的总价和长度成正比例。
（3）2.5×5＝12.5（元）
45÷5＝9（米）
所以，购买2.5米彩带需要12.5元，45元可以购买9米彩带。
21．（1）正；理由见详解
（2）35小时
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
（2）再根据判断出的比例进行解答。
【详解】（1）7.9÷1＝15.8÷2＝23.7÷3＝31.6÷4＝39.5÷5＝47.4÷6＝7.9，即＝＝＝＝＝＝7.9（一定），运行的时间和路程成正比例。
（2）解：设它运行了x秒。
＝
7.9x＝276.5
x＝276.5÷7.9
x＝35
答：它运行了35秒。
【分析】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。
22．（1）成反比，因为平均产量与时间的积是一个定值；
（2）750台
【分析】（1）判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
（2）用对应的平均每天产量和所需时间的积一定，求出总台数，再用总台数÷20即可。
【详解】（1）200×75＝300×50＝500×30＝15000，即对应的平均每天产量和所需时间的积一定，所以平均每天产量与所需时间成反比例。
（2）15000÷20＝750（台）
答：平均每天生产750台。
【分析】本题主要考查反比例的意义与辨识。
23．（1）生产口罩的总数＝mt；反；生产口罩总量不变，根据成反比例关系的两个量对应的数值乘积相等，则m和t成反比例关系。
（2）1500万只
【分析】（1）生产口罩总数＝每天生产口罩数×需要的天数，可列出含有字母的式子：生产口罩总数＝mt，成反比例关系的两个量对应的数值乘积相等，由于生产口罩总量不变，根据反比例定义可得出答案；
（2）可设每天生产口罩数为x，则根据定义式列出方程解答本题。
【详解】（1）用式子表示出m、t和生产口罩的总数之间的数量关系是生产口罩的总数＝mt；m和t成反比例关系，因为生产口罩总量不变，根据成反比例关系的两个量对应的数值乘积相等，则m和t成反比例关系。
（2）设每天需要生产x万只口罩。
8x＝500×24
x＝1500
答：每天需要生产1500万只口罩。
【分析】本题主要考查的是反比例关系判定，列方程解答问题，解题的关键是熟练掌握反比例关系的应用，进而得出答案。

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