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第六单元 圆（知识清单）
（思维导图+知识盘点+易错攻略+典例精讲+巩固培优）
知识点一：圆的认识
1、圆的特征。
圆是由曲线围成的封闭图形，没有顶点。
2、圆的各部分的名称。
（1）圆心:用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。
（2）半径:连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。半径决定圆的大小，半径越长，圆越大;半径越短，圆越小。
（3）直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。
3、半径和直径的特征及圆的对称性。
（1）圆有无数条直径和半径。在同圆或者等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示是d=2r或r=。
（2）圆是轴对称图形，有无数条对称轴,每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
4、圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
5、圆的画法:
（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。
（2）把有针尖的脚固定在一点上。
（3）把装有铅笔芯的脚旋转一周，就画成了一个圆。旋转圆规时，两脚间的距离不能变。
知识点二：扇形和圆心角
1、如图,由圆的两条半径和对应的一段曲线围成的图形叫作扇形(即图中阴影部分)。A、B两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分。
2、像上图中∠1那样,顶点在圆心的角叫作圆心角。
圆心角的大小:把量角器的0°刻度线和圆心角的一边重合，角的另一边对应的刻度是多少，这个圆心角就是多少度。
3、弧的意义:圆上任意两点之间的曲线叫作弧。
知识点三：圆的周长
1、圆的周长的意义。
围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
2、圆周率的意义。
任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定的数，叫作圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数。π=3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。
3、圆的周长的公式。
如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系:C=πd或C=2πr。
知识点四：圆的面积
1、圆的面积的估算。
圆的面积可以用画正方形的方法来估算,圆的面积比以它的半径为边长的正方形面积的3倍多一些。估算时,圆的面积大约等于半径×半径×3。
2、在推导圆的面积计算公式时,把圆分成偶数等份,然后拼成一个近似的长方形,根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式。
3、圆的面积计算公式:圆的面积等于圆周率乘半径的平方。如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是S=πr2。
4、运用圆的面积公式解决问题。
运用圆的面积公式解决问题，关键是先找准或求出圆的半径，然后运用圆的面积公式即可求出圆的面积。
知识点五：圆环的面积
1、圆环的面积。
圆环是由两个半径不同的同心圆构成的,环形面积就是两个圆之间的部分的面积,故圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。
用字母表示为s = πR2-πr2(R表示外圆半径,r表示内圆半径)。
2、简单组合图形的面积。
对于组合图形的面积的计算，可以先把它分解成两个或几个规则图形的和或差,再计算这些规则图形的面积的和或差,从而求出组合图形的面积。
1、直径的长度是半径的2倍这一关系的前提条件是在同圆或等圆中。
2、通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。
3、对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径。
4、圆心角必须具备两个条件：其一，顶点在圆心上；其二，角的两边是圆的半径。
5、3.14只是圆周率的近似值。回答“圆的周长是它直径的多少倍”时，应该说是π倍，而不是3.14倍。
6、圆周率是一个固定不变的数，不随圆的大小而改变。
7、求半圆的周长时，容易只计算出圆周长的一半，而忽略了直径。
8、半径扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，圆的面积就扩大到原来的几倍的平方或缩小到原来的几分之一的平方。
9、周长和面积是两个不同的概念，它们的意义不同，单位不同，不能进行比较。
10、在计算圆的面积时，不要把r2计算成r×2，r2等于r×r。
11、在一个大圆内随意剪去一个小圆不一定能形成圆环。
12、任何一个环形，已知内圆直径和环宽，求外圆直径，应用内圆直径加上2个环宽；已知外圆直径和环宽，求内圆直径，应用外圆直径减去2个环宽。
13、求圆环的面积时不能用环形的宽度的平方乘3.14。
考点一：圆的认识
【典例一】用一张长是8厘米，宽5厘米的长方形纸最多可以剪（ ）个直径是2厘米的圆。
A．4 B．2 C．6 D．8
【分析】根据题意，沿着长方形的长能剪（10÷2＝5） 个圆；5÷2＝2 （个） ……1（厘米），沿着长方形的宽能剪2个圆， 所以共剪（ 5×2＝10 ）个圆，据此解答。
【详解】8÷2＝4（个）
5÷2＝2 （个） ……1（厘米）
4×2＝8（个）
所以，用一张长是8厘米，宽5厘米的长方形纸最多可以剪8个直径是2厘米的圆。
故答案为：D
【分析】抓住在长方形内剪切圆的方法即可解答此类问题。
【典例二】同学们在操场上进行套圈游戏，下面哪种站法最公平？为什么？
【分析】要求套圈的站法最公平，也就是每个人站的位置到小旗的距离相等；第一种站法，小旗到线上垂直距离的垂点位置的学生，离小旗最近，越往两边的同学离小旗越远，所以不公平，第二种站法中四个角上站的同学离小旗较远，而站在中间位置的同学离小旗较近，所以不公平，第三种站法根据圆上所有的点到圆心的距离都相等，即同一个圆内所有的半径都相等，也就是每个学生到小旗的距离都相等，所以公平。
【详解】由分析可知：
第三种站法最公平，因为圆上所有的点到圆心的距离都相等，即同一个圆内所有的半径都相等，也就是每个学生到小旗的距离都相等，所以公平。
【分析】本题考查半径的定义，注意：同一个圆内所有的半径都相等。
【针对练习一】如图，用两块三角板可以测得圆的直径，这是因为（ ）。
A．同一圆内，半径相等 B．圆是轴对称图形
C．直径是圆内最长得线段 D．圆的周长是直径得π倍
【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长；由此解答即可。
【详解】由分析可知：
用两块三角板可以测得圆的直径，这是因为直径是圆内最长得线段。
故答案为：C
【分析】本题考查圆的特点，明确直径是圆内最长的线段是解题的关键。
【针对练习二】菲菲同学在学完了圆的知识后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图由5个完全相同的半圆组合而成，你知道菲菲在画半圆的时候，圆规两脚间的距离是多少吗？（单位：mm）
【分析】观察图形可知，上半部分是三个直径与两个12毫米的和，下半部分是两个直径与两个22毫米一个16毫米的和，设：圆的直径为x毫米。列方程：3x＋12×2＝2x＋22×2＋16，解方程，求出直径，再除以2，就是这个圆规两脚之间的距离。
【详解】解：设圆的直径为x毫米
3x＋12×2＝2x＋22×2＋16
3x＋24＝2x＋44＋16
3x－2x＝60－24
x＝36
36÷2＝18（毫米）
答：圆规两脚的距离是18毫米。
【分析】本题考查方程的实际应用，根据题意找出相关的量，列方程，解方程。
考点二：扇形的认识
【典例一】下图中阴影部分不是扇形的是（ ）。
A． B． C．
【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；据此解答。
【详解】A．的顶点都不在圆心上，不是圆心角，没有两条半径，所以不是扇形；
B、C．的顶点在圆心上，由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，符合扇形的定义，所以阴影部分是扇形。
故答案为：A
【分析】掌握扇形的定义是解题的关键。
【典例二】分针从12起所经过的部分都可以看作扇形。
(1)走5分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。
(2)走15分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。
(3)走30分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。
【分析】一个周角是360°，分针走一圈，走了60分钟，把360°平均分成60份，走1分钟就是走了1份，每份扇形圆心角的度数是360°÷60＝6°。所以分针走5分钟，扇形的圆心角是（6×5）°；分针走15分钟，扇形的圆心角是（6×15）°；分针走30分钟，扇形的圆心角是（6×30）°。
【详解】（1）360°÷60＝6°
6°×5＝30°
走5分钟，这个扇形的圆心角度数是30°。
（2）6°×15＝90°
走15分钟，这个扇形的圆心角度数是90°。
（3）6°×30＝180°
走30分钟，这个扇形的圆心角度数是180°。
【针对练习一】在钟面上画一画，涂一涂，分针从12起，走10分钟、15分钟和45分钟所经过的部分都可看作是（ ），圆心角分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】根据扇形的定义是一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，由此结合题意即可得出答案；钟面分成12个大格，分针每过一个大格是5分钟；分针指向3，走10分钟、15分钟和45分钟分别走了10÷5＝2个大格，15÷5＝3个大格，45÷5＝9个大格；根据钟表的认识，角的分类，钟面上的分针从12起走一圈走了60分钟；走过的角是周角；是360度；钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆周角是360°÷12＝30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30°，依此解答。
【详解】根据扇形的定义，可得分针从12起，走10分钟、15分钟和45分钟所经过的部分都可看作是扇形。
如图：
10÷5＝2
15÷5＝3
45÷5＝9
2×30°＝60°
3×30°＝90°
9×30°＝270°
圆心角分别是60°、90°、270°。
【分析】本题考查了认识平面图形的知识，属于基础题，解题关键是要求指向旋转了多少度，关键是看走了几个数字。
【针对练习二】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍。大、小扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？
【分析】
已知一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍，可以把小扇形圆心角的度数看作1份，则大扇形圆心角的度数是4份，一共是（1＋4）份；
圆周角是360度，用圆周角除以总份数，求出一份数，即小扇形圆心角的度数，再乘4即是大扇形圆心角的度数；
用小扇形的份数除以总份数，求出小扇形占圆的几分之几；
用大扇形的份数除以总份数，求出大扇形占圆的几分之几。
【详解】4＋1＝5（份）
小扇形：
360÷5＝72（度）
1÷5＝
大扇形：
72×4＝288（度）
4÷5＝
答：大扇形的圆心角是288度，小扇形的圆心角是72度。大扇形占圆的，小扇形占圆的。
考点三：圆的周长
【典例一】星期天，小林去游乐场游玩，摩天轮的半径是50米，小林坐着它转动一周，大约在空中转过（ ）米。（π取3.14）

A．157 B．314 C．78.5 D．7850
【分析】求摩天轮在空中转过的米数，就是求半径为50米的圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可。
【详解】2×3.14×50＝314（米）
大约在空中转过314米。
故答案为：B
【分析】本题考查圆的周长公式的运用，明白摩天轮旋转一周的距离即是圆的周长
【典例二】小敏从家骑自行车上学要10分钟。从小敏家到学校大约有多少米？
①自行车的车轮外直径大约是60厘米。 ②小敏每分钟步行65米。 ③车轮每分钟转100圈。
从上面框内选出你需要的条件，根据所选的条件，解答问题。
我选的条件是（ ）（填序号）
解答：
【分析】（1）题干中已知条件是小敏骑自行车到学校用10分钟，这是骑自行车所用的时间，所以要选择的信息必须能求出骑自行车每分钟能前进的路程，即自行车的速度；
（2）车轮转动一周前进的路程等于车轮的周长，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮转动一周前进的路程；再乘100圈，即能求出车轮每分钟前进的路程，即自行车的速度；最后再根据速度×时间＝路程，求出从小敏家到学校大约有多少米。
【详解】（1）从上面方框内选出我需要的信息是 ①、③。
（2）60厘米＝0.6米
3.14×0.6×100×10
＝1.884×100×10
＝188.4×10
＝1884（米）
答：从小敏家到学校大约有1884米。
【分析】解答此题的关键是根据圆周长计算公式求出自行车轮的周长，再根据路程、速度、时间三者之间的关系求出这辆自行车所行的路程。注意长度单位换算。
【针对练习一】一辆汽车轮胎表面的一部分刚被涂了油漆，如图表示当车移动时这个轮胎所形成的印迹。那么这个轮胎的周长是( )厘米。
【分析】根据题意可知，从A到B的位置，轮胎刚好转了2周，印记长度为616厘米，所以轮胎的周长是厘米，据此解答。
【详解】（厘米）
即这个轮胎的周长是308厘米。
【针对练习二】有一个200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25m（如下图）。
（1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？
（2）如果在这个跑道上进行200m赛跑，请问第3道的起跑线与第1道相差多少？
（3）如果在这个跑道上进行100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？
【详解】（1）3.14×（31.85＋1.25×2）＝107.859（m）
107.859＋50×2＝207.859（m）
答：他跑了207.895米。
（2）1.25×2×3.14＝7.85（m）
7.85×（3－1）＝15.7（m）
答：第3道的起跑线与第1道相差15.7米。
（3）1.25×3.14＝3.925（m）
答：在200m的跑道上进行100m赛跑，当第1条跑道的起跑线确定后，以后每一道起跑线要比前一道提前3.925 m。
考点四：圆的面积
【典例一】圆规两脚之间的距离是4厘米，这时用圆规画出的圆的面积是（ ）平方厘米。
A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24
【分析】用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径，根据圆的面积＝πr2，代入数据计算即可。
【详解】
＝
（平方厘米）
即该圆的面积是50.24平方厘米；
故答案为：D
【典例二】李想在画圆时忘记测量圆规两脚尖之间的距离，于是他用如图的方法去测量。画这个圆，圆规两脚尖之间的距离是( )厘米，圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【分析】画圆时，圆规两脚尖之间的距离是半径，看图可知，圆的直径＝6－4＝2（厘米），直径÷2＝半径，圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。
【详解】6－4＝2（厘米）
2÷2＝1（厘米）
3.14×2＝6.28（厘米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
画这个圆，圆规两脚尖之间的距离是1厘米，圆的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米。
【针对练习一】千年银杏被誉为“东北树王”，一根长25.12米的麻绳刚好可以在这棵银杏树的树干上绕4圈。这棵银杏树的树干横截面的半径是( )米，面积是( )平方米。
【分析】根据题意，用25.12÷4，求出麻绳绕这棵银杏树的树干1圈的长度，也就是这个树干的周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷π，代入数据，求出树干横截面的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2。代入数据，即可解答。
【详解】25.12÷4＝6.28（米）
6.28÷2÷3.14
＝3.14÷3.14
＝1（米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方米）
千年银杏被誉为“东北树王”，一根长25.12米的麻绳刚好可以在这棵银杏树的树干上绕4圈。这棵银杏树的树干横截面的半径是1米，面积是3.14平方米。
【针对练习二】5G网络是第五代移动通信网络，5G技术为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革。一个5G基站的覆盖面近似一个圆，覆盖半径大约为0.5千米。
结合上面信息，请提出一个数学问题，并解答。
所提问题：
解答：
【分析】根据题意，一个5G基站的覆盖面近似一个圆，覆盖半径大约为0.5千米。可以提一个数学问题，这个5G的基站的覆盖面积大约多少平方千米（答案不唯一）？再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】一个5G基站的覆盖面积大约是多少平方千米？
3.14×0.52
＝3.14×0.25
＝0.785（平方千米）
答：一个5G基站的覆盖面积大约是0.785平方千米。
考点五：圆环及组合图形的面积
【典例一】如图所示。一个半径8m的圆形花坛，周围有一条2m宽的小路。这条小路的占地面积是（ ）m2。
A．64π B．28π C．4π D．36π
【分析】求这条小路的面积求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可。
【详解】π [（8＋2）2－82]
＝π[100－64]
＝36π
故答案为：D
【分析】本题考查圆环的面积，熟记公式是解题的关键。
【典例二】玉碧是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一。有一种形式是光素无纹的素面璧，如图所示的素面璧外圆半径是8厘米，内圆直径是6厘米，厚0.4厘米。这块玉璧正面的面积是多少？（计算时，厚度忽略不计）
【分析】根据题意，求这块玉璧的正面的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。
【详解】内圆的半径：6÷2＝3（厘米）
3.14×（82－32）
＝3.14×（64－9）
＝3.14×55
＝172.7（平方厘米）
答：这块玉璧正面的面积是172.7平方厘米。
【分析】熟练掌握圆环的面积公式是解答本题的关键。
【针对练习一】学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正方形（如图）。如果圆环的面积是20π平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；大正方形的边长等于圆环的大圆半径，小正方形的边长等于圆环的小圆的半径，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；大正方形面积＝大圆半径2，小正方形面积＝小圆半径2，阴影部分面积＝大圆半径2－小圆半径2；根据圆环的面积公式：圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），大圆半径2－小圆半径2＝圆环面积÷π，即阴影部分面积＝圆环面积÷π，据此解答。
【详解】20π÷π＝20（平方厘米）
学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正方形（如图）。如果圆环的面积是20π平方厘米，那么阴影部分的面积是20平方厘米。

【分析】解答本题的关键明确阴影部分面积与圆环面积之间的关系，进而解答。
【针对练习二】亮亮一家共10人去饭店聚餐，饭店餐桌是直径2米的圆形餐桌。
（1）这个餐桌的面积是多少平方米？
（2）如果每隔0.6米坐一个人，那么这个餐桌够坐吗？
（3）餐桌上还有一个方便夹菜的玻璃转盘，转盘半径是7分米，那么转盘周围留出放碗筷的面积是多少平方米？（得数保留一位小数）
【分析】（1）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答；
（2）根据圆的周长公式：C＝πd，求出这张桌面的周长，如果每隔0.6米坐一个人，用桌面的周长除以0.6即可；
（3）根据环形面积＝外圆面积－内圆面积，把数据代入公式解答。
【详解】（1）3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方米）
答：这个餐桌的面积是3.14平方米。
（2）3.14×2÷0.6
＝6.28÷0.6
≈10（人）
答：如果每隔0.6米坐一个人，这个餐桌够坐。
（3）7分米＝0.7米
3.14－3.14×0.72
＝3.14－3.14×0.49
＝3.14－1.5386
＝1.6014
≈1.6（平方米）
答：剩余的面积大约是1.6平方米。
【分析】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
基础训练
一、填空题（共20分）
1．人类对圆周率的研究历史非常久远，在我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载。这里的“周三径一”是指在同一个圆中( )大约是( )的3倍。
2．
车轮一周的长度是车轮的周长。比较3个车轮的直径和周长，你有什么发现？
分析与解答：
车轮的周长是指车轮一周的( )，比较车轮的直径和车轮的周长发现，车轮的直径越长，车轮的周长就越( )。
3．这4个扇形的半径都是( )厘米，它们的圆心角度数的和是( )°。

4．如图中大圆的直径是( )cm，小圆的半径是( )cm。
5．朵朵要用圆规画一个周长18.84厘米的圆，她应把圆规两脚分开( )厘米，随后她又画了一个如图所示的长方形，她发现圆的面积和长方形面积相等，那么图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
6．小英在画圆时忘记测量圆规两脚尖之间的距离，于是她用如下图的方法测量。画这个圆，圆规两脚尖之间的距离是( )厘米，圆的周长是( )厘米。

7．一个圆形花坛的直径是30米，沿着它的边线大约每隔0.6米种一棵郁金香，一共要种( )棵郁金香。（π取3.14）
8．如图，平行四边形的面积比长方形的面积大6cm2，圆的面积是( )cm2。

9．圆的直径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。
10．如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是( )平方厘米。（结果用含有π的式子表示）
二、判断题（共10分）
11．一个圆的半径是10cm，这个圆的周长是62.8cm。( )
12．圆周率是圆的周长除以它直径的商，是一个固定值。( )
13．两个圆只要半径相等就可以说它的形状和大小完全一样。( )
14．一个圆，半径变为原来的2倍，周长和面积也都变为原来的2倍。( )
15．下图两个正方形的边长都是3厘米，涂色部分的周长和面积分别相等。( )
三、选择题（共10分）
16．美术老师用彩色卡纸制作了一个2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”，制作时需要把一个直径4厘米的圆形纸片剪成两个半圆，这两个半圆的周长和是（ ）厘米。
A．10.28 B．12.56 C．16.56 D．20.56
17．三张边长都是12厘米的正方形铁皮，分别按下图剪下不同规格的圆片。哪种剪法最浪费材料？（ ）

A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．三种浪费的同样多
18．下面几种图形中，（ ）有4条对称轴。
A．圆 B．正三角形 C．正方形 D．半圆
19．下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长70cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是（ ）。
A． B．
C． D．
20．如图，井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了（ ）。
A．同一个圆的直径都相等 B．圆是轴对称图形
C．圆是曲边图形 D．同圆内直径是半径的2倍
四、计算题（共12分）
21．（6分）大圆直径8米，是小圆直径的2倍。求阴影部分的面积。

22．（6分）求涂色部分的面积。（单位：厘米）
培优拓展
五、作图题（共6分）
23．（6分）一件环形玉佩的内圆直径是3厘米，外圆直径是5厘米，在方格图中按环形玉佩的尺寸画一个圆环。
六、解答题（共42分）
24．（6分）为方便销售，售货员把啤酒瓶捆成如图（从瓶底方向看）的形状，每个瓶底的直径是7厘米，计算出每组至少需要多长的绳子？（接头处不计）你发现了什么规律？
25．（6分）木匠王师傅给一个直径是0.55米的水缸做木盖，木盖的直径比缸口大5厘米，做这个木盖至少需要多少平方米木料？如果给外沿镶一圈铁皮，现有2米长的铁皮，够吗？
26．（6分）手工课上，小华从一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少厘米？剩下的面积是多少平方厘米？
27．（6分）阳光花园小区有一个圆形水塘。水塘的直径是12米，王大妈喜爱运动，每天绕水塘边走10圈。
（1）王大妈每天绕水塘走多少米？
（2）为美化环境，小区又在水塘一周修了一个2米宽的环形花圃。环形花圃的面积是多少平方米？
28．（6分）琴琴妈妈在淘宝上买了一个三层角柜（如图），正好可以摆放在客厅的90°墙角处，这个角柜可以放置物品的面积是多少平方厘米？

29．（6分）共享单车不仅解决了“最后一公里”问题，而且低碳环保。一种共享单车的车轮半径是40厘米，如果车轮每分钟转100周，要通过长2512米的大桥，需要几分钟？
30．（6分）墙角O点处的一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4米，墙角两边的墙长2米。这只羊能吃到草的面积是多少？
参考答案
1．周长 直径
【分析】由“因为圆的周长＝直径×π”可知：圆的周长÷直径＝π≈3，据此解答。
【详解】人类对圆周率的研究历史非常久远，在我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载。这里的“周三径一”是指在同一个圆中（周长）大约是（直径）的3倍。
【分析】理解“周三径一”的意思，明白周长、直径之间的关系是解答的关键。
2．长度 长
【分析】车轮转动一周时，所行走的路程即是车轮边缘的展开，即周长；圆的周长＝2πr，周长与半径成正比，半径越大，直径越大，周长越大，由此即可进行判断。
【详解】车轮的周长是指车轮一周的长度，比较车轮的直径和车轮的周长发现，车轮的直径越长，车轮的周长就越长。
【分析】此题考查了圆的周长公式的灵活应用，抓住半径确定圆的大小进行解答。
3．4.5 360
【分析】由图可知，两个半径组成正方形的边长，用边长除以2即可求出半径长度；4个扇形的圆心角都是正方形的角，即都是90°，据此求解即可。
【详解】9÷2＝4.5（厘米）
90°×4＝360°
即这4个扇形的半径都是4.5厘米，它们的圆心角度数的和是360°。
【分析】本题考查对扇形半径和圆心角的理解。
4．4 1.5
【分析】
看图，大圆的直径和长方形的宽相等。将长方形的长减去大圆直径，可求出小圆直径。再将小圆直径除以2，即可求出小圆半径。
【详解】（7－4）÷2
＝3÷2
＝1.5（cm）
所以，大圆的直径是4cm，小圆的半径是1.5cm。
5．3 21.195
【分析】圆规两脚分开的距离就是这个圆的半径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆规两脚的距离；圆的面积等于长方形的面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，也就是长方形的面积；阴影部分面积等于长方形面积减去圆的面积的，也就是圆的面积平均分成4份，其中的3份等于这个阴影部分的面积，据此解答。
【详解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
3.14×32÷4×3
＝3.14×9÷4×3
＝28.26÷4×3
＝7.065×3
＝21.195（平方厘米）
朵朵要用圆规画一个周长18.84厘米的圆，她应把圆规两脚分开3厘米，随后她又画了一个如图所示的长方形，她发现圆的面积和长方形面积相等，那么图中阴影部分的面积是21.195平方厘米。
【分析】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和面积公式；关键明确阴影部分面积与圆的面积之间的关系。
6．1 6.28
【分析】用圆规画圆时，圆规两脚尖叉开的距离是所画圆的半径长度，由图可知直径为2厘米，再根据同一圆中，圆的直径是半径的2倍，求出圆的半径；利用圆的周长公式：C＝πd，代入数据，即可解答。
【详解】2÷2＝1（厘米）
3.14×1×2
＝3.14×2
＝6.28（厘米）
小英在画圆时忘记测量圆规两脚尖之间的距离，于是她用如下图的方法测量。画这个圆，圆规两脚尖之间的距离是1厘米，圆的周长是6.28厘米。
【分析】本题考查圆的半径、周长相关的知识，熟记圆的周长公式是解答本题的关键。
7．157
【分析】在封闭图形上面植树，棵数＝间隔数，间隔数＝总长÷间距；据此先根据“圆的周长公式为：”，求出圆形花坛的周长，再用花坛的周长除以0.6即可。
【详解】3.14×30÷0.6
＝94.2÷0.6
＝157（棵）
所以，一共要种157棵郁金香。
【分析】掌握封闭图形上面植树棵数的计算方法及圆的周长计算公式是解答题目的关键。
8．28.26
【分析】长方形的长、平行四边形的高、圆的直径相等。由平行四边形的面积比长方形的面积大6 cm2，可知平行四边形的高是6÷（5－4）＝6（cm），所以圆的半径是：6÷2＝3（cm）；再根据圆的面积公式：，即可求出圆的面积。
【详解】6÷（5－4）
＝6÷1
＝6（cm）
6÷2＝3（cm）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
所以，圆的面积是28.26cm2。
【分析】正确理解图意，熟记长方形、平行四边形、圆的面积计算公式，是解答此题的关键。
9． 2 4
【分析】假设出原来圆的直径，利用“C＝πd”表示出原来和现在圆的周长，利用“S＝πr2”表示出原来和现在圆的面积，最后求出圆的周长和面积扩大的倍数，据此解答。
【详解】假设原来圆的直径是4厘米，
4×2＝8（厘米）
周长：8π÷4π＝2
面积：[π×（8÷2）2]÷[π×（4÷2）2]
＝[π×16]÷[π×4]
＝16π÷4π
＝4
所以，一个圆的直径扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的4倍。
10．64－16π
【分析】如图，先看最小的三角形和半圆，最小三角形部分的阴影面积为三角形面积减去半圆面积：由于三角形的两条直角边是4厘米，圆心位于斜边中点，从圆心像三角形的直角边作垂线，由此即可知道圆的半径应该是直角三角形直角边的一半，即4÷2＝2厘米，半圆的面积公式：πr2÷2：则阴影部分的面积：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2＝8－2π；由于最小的两个阴影部分面积相等，稍微大一点的三角形是最小三角形的2倍，那么阴影部分也是它的2倍，则稍微大一点的阴影部分的面积是：（8－2π）×2，最大的三角形面积是最小三角形面积的4倍，则阴影部分的面积是最小三角形的4倍，则它的面积是：（8－2π）×4，据此把四个部分的面积相加即可。
【详解】如图：
最小的阴影部分面积是：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2
＝8－4π÷2
＝（8－2π）平方厘米
最上面的阴影部分面积：（8－2π）×2＝（16－4π）平方厘米
最大的阴影部分的面积：（8－2π）×4＝（32－8π）平方厘米
阴影部分面积：32－8π＋16－4π＋8－2π＋8－2π
＝32＋16＋8＋8－8π－4π－4π
＝（64－16π）平方厘米
如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是（64－16π）平方厘米。
【分析】本题主要考查求阴影部分的面积，同时掌握圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键。
11．√
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr代入数据，即可判断。
【详解】2×3.14×10
＝3.14×20
＝62.8（cm）
一个圆的半径是10cm，这个圆的周长是62.8cm，此说法正确。
故答案为：√
【分析】此题主要考查了圆的周长计算公式。
12．√
【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
【详解】由分析可得：圆周率是圆的周长除以它直径的商，是一个固定值。
故答案为：√
【分析】本题主要考查圆周率的意义，圆周率是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。
13．√
【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，根据圆的面积公式：S＝πr2，由于当半径相等，π是固定值，所以周长相等，也就是形状相同；半径相等，那么半径的平方也是相同，所以大小也是一样，据此即可判断。
【详解】由分析可知：
两个圆只要半径相等就可以说它的形状和大小完全一样，说法正确。
故答案为：√
【分析】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
14．×
【分析】设圆的半径是1，半径变为原来的2倍，则扩大后圆的半径为1×2＝2，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，分别求出原来圆的周长和扩大后圆的周长，再用扩大后圆的周长除以扩大前圆的周长，求出周长变为原来的多少倍；圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出扩大前和扩大后圆的面积，再用扩大后圆的面积除以扩大前圆的面积，即可求出面积变为原来的多少倍，据此解答。
【详解】设圆的半径是1，则扩大后圆的半径为1×2＝2。
（3.14×2×2）÷（3.14×1×2）
＝（6.28×2）÷（3.14×2）
＝12.56÷6.28
＝2
（3.14×22）÷（3.14×12）
＝（3.14×4）÷（3.14×1）
＝12.56÷3.14
＝4
一个圆，半径变为原来的2倍，周长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍。
原题干说法错误。
故答案为：×
15．×
【分析】观察图形可知，左图涂色部分的周长等于直径是3厘米的圆的周长＋3厘米×2，右侧图形涂色部分的周长等于直径是3厘米的圆的周长，所以左图涂色部分的周长大于右侧涂色部分的周长；左图涂色部分的面积等于边长是3厘米的正方形的面积减去直径是3厘米的圆的面积，右图涂色部分的面积等于边长是3厘米的正方形的面积减去直径是3厘米的圆的面积。所以左图涂色部分面积等于右图涂色部分面积。据此判断。
【详解】由分析可知，涂色部分的周长不相等，面积相等，原题说法错误。
故答案为：×
【分析】此题考查了有关圆的阴影部分周长和面积的计算，认真观察图形解答即可。
16．D
【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径，所以这两个半圆的周长和比圆的周长增加两条直径的长度，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×4＋4×2
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
故答案为：D
【分析】此题考查的目的是理解半圆周长的意义，掌握半圆的公式及应用。
17．D
【分析】要想知道哪种剪法最浪费材料，就是求哪张铁皮剩下的废料多．
由题意可知：剪法1：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－一个大圆的面积，
剪法2：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－4个小圆的面积；
剪法3：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－16个小圆的面积；正方形的边长是12厘米，则能求出正方形的面积和圆的面积，从而求得剩下的铁皮的面积．
【详解】因为正方形的边长是12厘米
则正方形的面积是：
12×12＝144（平方厘米）
剪法1：
圆的半径是12÷2＝6（厘米）
剩下的铁皮的面积是
144－3.14×62
＝144－113.04
＝30.96（平方厘米）
剪法2：圆的半径是
12÷2÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
剩下的铁皮的面积是
144－3.14×32×4
＝144－113.04
＝30.96（平方厘米）
剪法3：圆的半径是
12÷4÷2
＝3÷2
＝1.5（厘米）
剩下的铁皮的面积是
144－3.14×1.52×16
＝144－3.14×2.25×16
＝144－113.04
＝30.96（平方厘米）
所以剩下的铁皮同样多；
三种浪费得同样多。
故答案为：D
【分析】解答此题的关键是明白：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－圆的面积，只要补充上直径的长度，即可求解。
18．C
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，据此选择即可。
【详解】A．圆有无数条对称轴；
B．正三角形有3条对称轴；
C．正方形有4条对称轴；
D．半圆有1条对称轴。
故答案为：C
【分析】熟练掌握轴对称图形的特点是解答此题的关键。
19．B
【分析】根据题意可知，这个交通标志中红色部分面积等于直径是80cm的圆的面积－长是70cm，宽是12cm长方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（80÷2）2－70×12
＝3.14×402－840
＝3.14×1600－840
＝5024－840
＝4184（cm2）
下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长70cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是3.14×（80÷2）2－70×12。
故答案为：B
20．A
【分析】根据圆内最长的线段是圆的直径，而且都相等，所以圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，在同圆或等圆中，圆的直径的长度总是半径的2倍，由此解答即可。
【详解】井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一个圆的直径都相等这一原理。
故答案为：A
21．37.68平方米
【分析】阴影部分的面积可以看作是大圆的面积减去小圆的面积S＝πr2，结合圆的面积计算公式，代入相应数值计算即可解答。
【详解】小圆直径：8÷2＝4（米）
3.14×（8÷2）2－3.14×（4÷2）2
＝3.14×42－3.14×22
＝3.14×（16－4）
＝3.14×12
＝37.68（平方米）
22．48平方厘米
【分析】根据图中可得：阴影部分面积由左右两侧的阴影部分面积，我们可以将左侧阴影部分移动到右侧半圆左上方，可以拼接成一个底为8里面，高为6厘米的平行四边形。根据平行四边形面积=底×高得出答案。如图：
【详解】涂色面积为：（平方厘米）
23．见详解
【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
直径÷2＝半径，据此确定圆心和半径，根据画圆的方法，分别画出直径3厘米和直径5厘米的两个同心圆即可。
【详解】3÷2＝1.5（厘米）
5÷2＝2.5（厘米）
24．35.98厘米；42.98厘米；49.98厘米；绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径
【分析】如图，捆两个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×2，捆三个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×3，捆四个瓶子需要的绳子长度＝一个圆的周长＋直径×4，即绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径，据此分析。
【详解】3.14×7＋7×2
＝21.98＋14
＝35.98（厘米）
3.14×7＋7×3
＝21.98＋21
＝42.98（厘米）
3.14×7＋7×4
＝21.98＋28
＝49.98（厘米）
答：每组至少需要35.98厘米、42.98厘米、49.98厘米长的绳子，发现绳子长度＝圆的周长＋瓶子数量×直径。
【分析】关键是看懂图示，掌握圆的周长公式，圆的周长＝πd。
25．0.2826平方米；够
【分析】求至少需要多少平方米的木料，就是求这个圆形木盖的面积，木盖的直径等于水缸的直径加上5厘米，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个木盖的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出这个外镶铁皮的周长，再进行比较，即可解答。
【详解】5厘米＝0.05米
0.55＋0.05＝0.6（米）
0.6÷2＝0.3（米）
3.14×0.32
＝3.14×0.09
＝0.2826（平方米）
3.14×0.6＝1.884（米）
1.884＜2，够。
答：做这个木盖至少需要0.2826平方米，够。
【分析】解答本题的关键明确木盖的直径等于水缸的直径加上5厘米。
26．37.68厘米；126.96平方厘米
【分析】在长方形纸上剪下一个最大的圆，这个最大的圆的直径是长方形的直径，也就是12厘米，根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×12即可求出圆周长；根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（12÷2）2即可求出圆的面积，再根据长方形的面积公式，用20×12求出长方形纸的面积，最后用长方形纸的面积减去圆的面积，即可求出剩下的面积。据此解答。
【详解】3.14×12＝37.68（厘米）
3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
20×12＝240（平方厘米）
240－113.04＝126.96（平方厘米）
答：这个圆的周长是37.68厘米；剩下的面积是126.96平方厘米。
【分析】本题考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
27．（1）376.8米；
（2）87.92平方米
【分析】（1）根据“圆的周长公式为：”，求出圆形水塘的周长，再乘王大妈走的圈数，即可求出王大妈每天绕水塘走多少米。
（2）环形花圃的面积相当于一个外圆半径（12÷2＋2）米、内圆半径（12÷2）米的圆环的面积，圆环的面积“”，据此解题即可。
【详解】（1）3.14×12×10
＝37.68×10
＝376.8（米）
答：王大妈每天绕水塘走376.8米。
（2）12÷2＝6（米）
3.14×[（6＋2）2－62]
＝3.14×[82－62]
＝3.14×[64－36]
＝3.14×28
＝87.92（平方米）
答：环形花圃的面积是87.92平方米。
【分析】本题考查了圆的周长计算公式、圆环面积公式的应用，关键是熟记公式。
28．942平方厘米
【分析】每个扇形的圆心角都是90°，那么每个这样的扇形的面积相当于半径是20厘米的圆面积的四分之一，根据圆的面积公式：，求出圆的面积再除以4即可计算出一层的面积，再乘3即可。
【详解】3.14×202÷4×3
＝3.14×400÷4×3
＝1256÷4×3
＝314×3
＝942（平方厘米）
答：这个角柜可以放置物品的面积是942平方厘米。
【分析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
29．10分钟
【分析】共享单车车轮每转一周，则行驶的路程就是这个车轮的周长，根据圆周长=，再乘100周可得出车轮每分钟行的路程，已知大桥长2512米，运用除法可计算得出答案。
【详解】共享单车每分钟走的路程：2×3.14×40×100＝25120（厘米）＝251.2（米）
2512÷251.2＝10（分钟）
答：通过大桥需要10分钟。
30．18.84平方米
【分析】
如图：
羊吃到草的面积由三部分组成：一部分是半径为4米的圆面积的四分之一；另外两部分均是半径为2米的圆面积的四分之一，这三部分合起来的面积就是羊吃到草的面积。根据圆面积公式，用3.14×42即可求出半径为4米的圆面积；用3.14×22即可求出半径为2米的圆面积；根据分数的意义，半径为4米的圆面积的四分之一就是把半径为4米的圆面积看作单位“1”，平均分成4份，取其中的一份，所以用3.14×42÷4即可求出半径为4米的圆面积的四分之一；同理，用3.14×22÷4即可求出半径为2米的圆面积的四分之一，然后将三部分相加即可求出羊吃到草的面积。
【详解】
3.14×42÷4＋3.14×22÷4＋3.14×22÷4
＝3.14×16÷4＋3.14×4÷4＋3.14×4÷4
＝12.56＋3.14＋3.14
＝18.84（平方米）
答：这只羊能吃到草的面积是18.84平方米。

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