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冀教版七年级数学下册第六章《二元一次议程组》（同步教学设计）
单 元 备 课
第 1单元 本单元所需课时数 8课时
课标要求 1.了解二元一次方程（组）及其解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程（组）的解，会把一些简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程（组）表示。 2.掌握代入消元法和加减消元法解一元二次方程组的步骤，能够根据二元一次方程组的特点选择合适的解法。 3.会用二元一次方程组解决实际问题，通过分析和解决问题的过程增强学生的数学应用意识。 4.了解三元一次方程（组）的概念，并会用消元法解简单的三元一次方程组。
教材分析 本章内容的编写是在学生已经学过有理数、整式、一元一次方程等内容基础上展开的。从实际情境出发，引入并展开二元一次方程（组）的有关知识，使学生了解方程、方程组都是反映现实世界数量关系的有效的数学模型，并学会寻找实际问题中隐含的数量之间的等量关系，掌握其基本的解决方法。本章的最后设置了一个选学内容“简单的三元一次方程组”，目的在于通过实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高对方程组的应用能力，提升学生对方程组的探索与全面认识。本章内容所体现的模型化思想和通过消元实现的化归思想，对学生数学能力的提高和发张有着极为重要的作用。
主要内容 本章的主要内容是二元一次方程组、二元一次方程组的解法及应用和简单的三元一次方程组。主要包括4节：第6.1节“二元一次方程组”主要介绍二元一次方程（组）及其解，第6.2节“二元一次方程组的解法”学习代入消元法和加减消元法，第6.3节“二元一次方程组的应用”学习用二元一次方程组解决实际问题，第6.4节“简单的三元一次方程组”学习三元一次方程（组）及解法。
教学目标 1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程（组）的解。 2.掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤。 3.掌握用二元一次方程组解决实际问题的步骤。 4.了解三元一次方程（组）的概念，并会用消元法解简单的三元一次方程组。
课时分配 6.1 二元一次方程组 1课时 6.2 二元一次方程组的解法 3课时 6.3 二元一次方程组的应用 2课时 6.4 简单的三元一次方程组 1课时 教学活动 回顾与反思 1课时
教与学建议 1.把握好教学要求。 2.抓住重点、加强练习。 3.培养学生的模型思想和消元化归思想。 4.培养学生用数学知识解决实际问题的能力。
6.1 二元一次方程组
课题 二元一次方程组 课型 新授课
教学内容 教材第2-5页的内容
教学目标 (1）了解二元一次方程及其解、二元一次方程组及其解的概念；会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程（组）的解。
(2）会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程（组）表示出来。
教学重难点 教学重点：1.了解二元一次方程（组）和它的解。 2.会判断一组未知数的值是否为二元一次方程（组）的解. 教学难点：用方程组表示简单实际问题中的数量关系。
教 学 过 程 备 注
创设情境，引入课题 【复习引入】 什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能写出一个一元一次方程吗？ 【师生活动】（学生回答）老师点评，并引出教材P2“观察与思考”。 【教材展示】 教师展示教材P2“观察与思考”题目，提出问题。 某酒厂有大小两种存酒的木桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒28升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2升.那么，1个大桶和1个小桶分别可盛酒多少升？ 【问题1】你能从中找到几个等量关系，是什么？用一元一次方程解答此题。 【师生活动】学生解答题目，老师板书。 列出方程x+5（28-5x）=20① , 解得x=5,28-5x=3. 【问题2】上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？试着用两个未知数表示出等量关系。 【师生活动】学生解答。老师板书。 设1个大桶盛酒x升，1个小桶盛酒y升。 根据题意，可得方程： 5x+y=28②, x+5y=20③. 归纳总结，探索新知 【问题3】观察①②③是否为一元一次方程，如果不是，那么这三个方程的共同点是什么，不同点是什么？ 【师生活动】学生回答，引导学生从未知数的个数和未知数项的次数总结。老师归纳总结给出二元一次方程的概念。 像5x+y=28和x+5y=20这样，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 【问题4】通过一元一次方程得到x=5,28-5x=3，那么二元一次方程中x，y的值呢？x，y的值是否同时满足方程②③？ 【师生活动】学生回答，老师归纳总结，给出二元一次方程的一组解的概念。 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程的一组解. 如x=5,y=3是方程5x+y=28的一组解,也是方程x+5y=20的一组解.一般地,将二元一次方程的一组解记为的形式。 【师生活动】老师让学生尝试解答教材P3“试着做做”，然后让学生回答“大家谈谈”中的问题。 【问题5】对于二元一次方程,任意给定未知数x的一个值,你能求出满足方程的未知数y的值吗 填写下表. 2x+3y=12x…2345…y……3x-2y=5x…2345…y……
【问题6】分别写出方程2x+3y=12和方程3x-2y=5的四组解。还能找出这两个方程的其他解吗？一个二元一次方程有多少组解？ 【师生活动】学生自主完成问题5、6。 【问题7】是否有同时满足问题6中两个方程的一组解 若有,请你指出是哪组解. 【师生活动】引导学生进行大胆猜测和尝试，老师引导学生回答关于二元一次方程组及其解的特点，引出定义。 由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解. 一般地,二元一次方程组记作的形式,而是这个方程组的解. 学以致用，应用新知 考点1 二元一次方程及其解 【例1】判断下列各式是不是二元一次方程？ 3a+5=9; (2)x+y=3; (3) 2xy=8; (4) d+p+t+9; (5) x +y=7；（6） . 答案：只有（2）是 二元一次方程，（1）（3）（4）（5）(6)不是. 【例2】 关于二元一次方程3x+2y =11的解的说法正确的是 ( ) A、 任何一对有理数都是它的解 B、只有一个解 C、只有两个解 D、无穷多个解 答案：D 考点2 二元一次方程组及其解 【例3】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） 答案：C 【例4】以下的各组数值是方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 答案：B 考点3 列二元一次方程（组） 【例5】一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？（只列出方程组） 解：设这个学生有中国邮票x张，外国邮票y张. 由题意可列方程： 4.随堂训练，巩固新知 (1)教材P4练习 （2）备用题目 1.以下方程中，是二元一次方程的是（ ） A.8x－y=y B.xy=3 C.3x+2y D.y= 答案：A 下列方程组不是二元一次方程组的是（ ） 答案：C 3.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下列方程组中符合题意的是（ ） 答案：B 4.若是方程组的解，则m+n的值是（ B ） A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案：B 5.请写出解为的一个二元一次方程组________. 答案不唯一 6.在① ;② ;③ ;④ ,四对数值中，是方程x-3y=2的解的是 ，是方程2x+y=18的解的是 ，是方程组的解的是 答案：①④；①③；① 列二元一次方程组： 两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？ 答案：设每节火车皮、每辆汽车分别装x吨、y吨，则 8.如果 是关于x,y的二元一次方程,求a、n、m的值。 答案：a≠1，n=2，m=0 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）老师明确提出问题，学生回答： ①关于二元一次方程、二元一次方程组的概念的注意事项。②二元一次方程、二元一次方程组的解的个数。 ③列二元一次方程（组）的关键。 6.布置作业 课本P4习题A组第1,2,3题,B组第1题。 学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫。 通过“观察与思考”体会到同一个问题中的数量关系，通过设一个或两个未知数都可以表示出来，但用两个未知数来表示更便于列方程。 共同点：都是方程;不同点：前者是用一个方程来表示数量关系,其中进行了一次运算（28-5x）；后者是直接用两个方程来表示数量关系的。 归纳总结二元一次方程的特点： ①含有两个未知数； ②未知数的项的次数都是1； ③方程左右两边都是整式. x，y的值同时满足方程②③ 注意：二元一次方程的解要同时满足两个方程。 进一步加深对一元一次方程与二元一次方程的区别与联系的理解。 学生通过活动自己感受“二元一次方程有无数多个解” 。 学生解答时，老师应巡视指导，关注有困难的同学。 学生通过练习，加深对二元一次方程概念的理解。 引导学生回答不是二元一次方程组的原因，加深对二元一次方程组概念的理解。 紧扣二元一次方程的解及二元一次方程组的解的定义，代入验证.
板书设计 6.1 二元一次方程组 1．二元一次方程： 方程x+5（28-5x）=20① , 解得x=5,28-5x=3. 5x+y=28②, x+5y=20③. 2．二元一次方程的解：x=5,y=3记为 3．二元一次方程组： 4.二元一次方程组的解.
教后反思 根据简单的实际问题来列方程组对学生而言比较简单，以实际情境引入，引起学生的兴趣，同时，为防止课堂枯燥，让学生们积极参与到教学活动，自主学习、总结，加深对二元一次方程（组）及其解的概念的理解，体会二元一次方程（组）解题的好处。同时注意提高学生运算能力、逻辑思维能力、分析和解决实际问题的能力。
6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法（1）
课题 代入消元法（1） 课型 新授课
教学内容 教材第6-8页的内容
教学目标 1.理解代入消元法的概念，初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”. 2.会用代入消元法解未知数系数含1或-1的方程组.
教学重难点 教学重点：理解代入消元法的概念，初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”. 教学难点：会用代入消元法解未知数系数含1或-1的方程组.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【复习引入】 【问题1】已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示，并比较哪一种形式比较简单。 【师生活动】学生回答，教师点评。 【问题2】二元一次方程组的解是（ ） B. C. D. 【师生活动】学生回答，教师点评，引导学生说出解答方法：“代入”检验。 2.类比探究，学习新知 通过上节课的学习，我们会通过代入检验一组数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习. 老师展示本章教材章前页中的“鸡兔同笼”题目，提出问题。 数学著作《孙子算经》中有一个经典的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。” 【问题3】用一元一次方程和二元一次方程组列式,并解一元一次方程。 【师生活动】学生回答，老师板书。 一元一次方程：设鸡有x只，则2x+4（35-x）=94；① 解得x=23，35-x=12. 二元一次方程组：设鸡有x只，兔子有y只，则 【问题4】列出的二元一次方程组，如何处理才能将二元的转化为一元的呢？ 【师生活动】老师给出提示：结合【问题1】中用含x的式子表示y，【问题2】中的代入能不能化成一元的呢？学生相互讨论，并回答，教师板书。 由①得y=（35-x），④ 将④代入③得2x+4（35-x）=94。【问题5】根据上面的方法尝试解答教材例1： 求二元一次方程组 【师生活动】学生自主解答，并可以上台展示，老师讲解点评，引出概念。 定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。 求二元一次方程组的解的过程叫做解二元一次方程组 【问题5】学生自主解答P7教材“大家谈谈”题目. 解二元一次方程组： 【师生活动】学生自主解答，学生上台展示所有不同的解答过程。学生讨论哪种解答过程简单，并讨论解二元一次方程组的基本思路，教师总结。 归纳：用代入消元法解二元一次方程组的过程中，尽可能的选择方程中未知数的系数为±1的方程变形，然后代入另一个方程，达到消元的目的。 代入法解二元一次方程组的基本思路：“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 3.学以致用，应用新知 考点 代入消元法解未知数系数是1或-1的二元一次方程组 【例1】下列各方程组中，应怎样代入消元？ （1） （2） 答案：（1）由①直接代入②； 由①得y=7x –11 ③，将③代入②. 【例2】解方程组: (1) (2) 解：(1)将②直接代入①中，得2y-(y+1)=3, 解得 y=4.将y=4代入②中，得 x=5. 所以原方程组的解为 (2)方程①可变形为 y=2x-5.③ 将③代入②中，得 4x+3(2x-5)=15, 解得 x=3.将x=3代入③中，得 y=1. 所以原方程组的解为 随堂训练，巩固新知 1.若方程是关于、的二元一次方程，则、的值是（ ）. A. B. C. D. 答案：C 2.若，都是方程的解，则______，________. 答案：.2，1 3.解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 答案：（1） （2） （3） （4） 4.某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的2倍少8人，问这两组人数各是多少？ 解：设第一组有x人，第二组有y人， 根据题意，可列方程组 解这个方程组，得 答：第一组有64人，第二组有36人. 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈你这节课的收获是什么？ (2)代入法解二元一次方程组的思路：. 通过这节课的学习，要熟练运用代入法解未知数的系数为±1的二元一次方程组，并能检验结果是否正确. 6.布置作业 课本P8习题A组、B组。 【问题1】为用代入法解二元一次方程组打下基础；【问题2】既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料. 通过《孙子算经》中的问题，引起学生们的兴趣，再逐步引导学生完成二元向一元的转化。 引导学生自主完成教材例1的解答，加深对代入的理解。 当方程组中有一个方程为y=ax+b的形式，则直接将该方程代入到第二个方程中进行消元. 本题应该有四种解答过程。 教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.通过总结让学生掌握代入法解二元一次方程组的要点. 通过练习，让学生熟练掌握未知数系数是1或-1的二元一次方程组的解法，提高学生的计算能力。 通过总结,掌握代入消元的目的是将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。
板书设计 6.2 二元一次方程组的解法 第1课时 1.一元一次方程：设鸡有x只，则2x+4（35-x）=94；① 解得x=23，35-x=12. 二元一次方程组：设鸡有x只，兔子有y只，则 由①得y=（35-x），④ 将④代入③得2x+4（35-x）=94. 2.代入法定义 3.代入消元法解二元一次方程组的思路： 二元一次 方程组 → 选择未知数系数为±1的方程进行变形 ↓代入消元 一元一次方程
教后反思 通过本节课的学习，同学们知道解二元一次方程组的基本思想方法就是通过“消元”将二元转化为“一元”.代入法解二元一次方程组时，选择未知数系数为±1的方程进行变形，能更准确、快速地解答。要让学生练习，提高运算能力，加深对代入消元的掌握。
代入消元法（2）
课题 代入消元法（2） 课型 新授课
教学内容 教材第8-10页的内容
教学目标 1.会用代入消元法解未知数系数不含1或-1的方程组. 2.进一步体会解二元一次方程组的“消元”思想代入消元法解二元一次方程组的思想.
教学重难点 教学重点：（1）会用代入消元法解未知数系数不含1或-1的方程组. （2）能灵活应用代入消元法解二元一次方程组． 教学难点：能灵活应用代入消元法解二元一次方程组．
教 学 过 程 备 注
1.复习旧知，引入课题 （1）方程组如何求解？解题思路是什么？解题的步骤是什么？ 【师生活动】学生解答，教师点评。 （2）将方程 ①写成用含的代数式表示的形式；②写成用含的代数式表示的形式． 【师生活动】学生解答，教师予以肯定。 2.类比探究，学习新知 1.教师展示教材P8例2，并提出问题。 解方程组 这个方程组与上节课中学习的未知数系数含1或-1的二元一次方程组有什么不同？ （2）从具体一个方程中用含的代数式表示，或用含的代数式表示？ （3）完成（2）的基础上，将它代入哪一个方程转化为一元一次方程？ （4）怎样求出另一个未知数的值？ 【师生活动】让学生积极思考上述问题，按自己的想法解这个方程组，然后向大家展示并讲解不同解法． 老师点评，对每一种解法进行相应的肯定和完善，并让学生观察感知哪种解题方法比较简单，最后老师分析总结，并板书标准解题过程． 分析总结：这里两个方程中未知数的系数都不是1，方程①中的系数是3，比较简单，可以将方程①中的用含的代数式表示出来，这样解题更快、更准． 2.【师生活动】老师提问：通过解上面例题，大家总结一下代入法解二元一次方程组的一般步骤． 学生活动：尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤．之后，看课本第10页，试着用几个字概括每个步骤，并发言． 教师总结代入法解二元一次方程组的一般步骤，并板书。 （1）变形（）；（2）代入消元（）； （3）解一元一次方程得（）；（4）把代入求解； （5）检验结果是否正确；（6）写出二元一次方程组的解． 3.【师生活动】教师展示题目： 例3：解方程组 学生活动：自主完成例3 教师巡视，及时纠正学生的错误．找两名学生板演。教师总结。 总结：可见，对每个二元一次方程组，若用代入消元法来解，从哪个方程将哪个未知数用另一个未知数表示出来都是可以的，但应该选择表示方法尽可能简单的． 3.学以致用，应用新知 考点 代入消元法解未知数系数不是±1的二元一次方程组 【例1】解方程组： 答案：（1） （2） 【例2】已知 和 都是方程mx+ny=7的解，求6m+2n的值. 答案：7 随堂训练，巩固新知 1.教材P10练习 2.备用练习 （1）已知3x-y=7,则用含x的代数式表示y为___________,用含y的代数式表示x为____________. 答案：， （2）解方程组的最佳方案是（ ） A.由方程①，得m=3+2n,再代入② B.由方程②，得,再代入① C.由方程①，得 ,再代入② D.由方程①，得2m=6+4n ,再代入② 答案：D （3）已知与是同类项，则x=___ , y=＿＿. 答案：2,-2 5.课堂小结，自我完善 （1）用代入法解二元一次方程组的步骤． （2）用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧；②代入的技巧． （3）对一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②若未知数的系数不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程． （4）对运算的结果养成检验的习惯． 6.布置作业 课本P10习题 复习上节课所学的用代入消元法解含有未知数系数为±1的二元一次方程组。 为学习用代入消元法解未知数系数不含±1的二元一次方程组做准备。 通过问题，逐步引导学生解题，让学生观察总结，深入了解如何更快、更准地解 未知数的系数都不是±1的二元一次方程组。 学生可以真正理解每个步骤的含义，并提高总结概括能力。 代入法解二元一次方程组的一般步骤：变形、代入、求解、检验、写解。 学生及时训练巩固，老师及时纠正，规范解题步骤。 通过例题讲解与练习，让学生掌握代入法解方程组的步骤，并进一步规范学生的解题过程。 通过小结，进一步回顾总结本节课的知识，加深记忆与理解。
板书设计 6.2 二元一次方程组的解法 第2课时 1.解：由方程①，得3x=14-10y， .③ 将③代入②，得 140-55y=96. 解这个一元一次方程，得 . 把代入③，得. 所以，原方程组的解为 代入法解二元一次方程组的基本步骤： （1）变形（）；（2）代入消元（）； （3）解一元一次方程得（）；（4）把代入求解； （5）检验结果是否正确；（6）写出二元一次方程组的解． 概括为： 变式 、代入 、求解、检验、写解。
教后反思 解二元一次方程组是通过解一元一次方程来实现的，实现这个的过程需要转化，转化的办法是“代入消元”，即化归。在教学中，让学生深刻体会化归思想，并多加练习，规范解题步骤，提高计算能力。
第3课时 加减消元法
课题 加减消元法 课型 新授课
教学内容 教材第10-13页的内容
教学目标 1.了解同类项及合并同类项的概念。 2.通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从中体会“数式通性”和类比的思想，培养学生观察、探索、分类、归纳的能力。
教学重难点 教学重点：1.进一步掌握“消元”思想在解二元一次方程组中的应用. 2.会用加减消元法解二元一次方程组. 教学难点：会用加减消元法解二元一次方程组.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，复习导入 【复习巩固】 我们已经学过用代入法解二元一次方程组，那么现在大家用代入法解答下面的题目。 【师生活动】学生解答，并请两名同学上台展示解答过程。 教师提出问题：用代入法解二元一次方程组的基本思想和主要步骤是什么呢？ 学生回答，老师进行评价，说明学生已经掌握用代入法解二元一次方程组，并复述基本思想是消元，主要步骤是变形、代入、求解、检验、写解。 【问题引入课题】 上面的方程组，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容。 2.类比探究，学习新知 1.【师生活动】老师提出问题：（1）上面的方程组中，未知数的系数有什么特点？ 能否根据这一特点，经过变形，实现消元，得到一个一元一次方程呢？请同学们思考、讨论，解答上面的方程组，并请同学回答。 学生活动：学生思考、相互讨论，按照自己的想法解题，举手回答。 学生回答：（1）方程①中y的系数是3，方程②中y的系数是-3，互为相反数。 （2）把方程左右两端分别相加，消去未知数y，得5x+2x=16-2，得到一个一元一次方程：7x=14，进而求得二元一次方程组的解． 老师对学生的回答予以肯定、表扬，并按照此方法和学生共同完成解答过程，老师板书。 老师总结：上面方程组中的两个方程，因为y的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了． 让学生观察教材P112“做一做”，思考老师的问题，并解方程组。 【师生活动】老师问题：（1）哪个未知数的系数有特点？（2）把这两个方程怎样变化可以消去系数有特点的未知数？ 学生活动：学生思考、讨论问题，并解方程组。同时有学生上台展示解答过程。 3.【师生活动】老师：学生解答完后，老师可以让同学思考： （1）用①－②和②－①消去x哪个比较简单？（①－②简单） （2）把y的值代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程） 学生：回答问题，老师点评。 4.【师生活动】老师提问：（1）比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？ （2）在什么条件下可以用加减法进行消元？ （3）什么条件下用加法、什么条件下用减法？ 学生回答：（1）加减法简单；(2)某一个未知数的系数相等或互为相反数；（3）某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法。 教师总结：当方程组中同一未知数的系数互为相反数或相等时，采用将两个方程两边分别相加（或相减）的方法，“消元”较简便. 教师展示教材P12例5，提出问题： （1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？ （2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？ 【师生活动】学生活动：学生思考，相互交流，回答问题。 学生回答：（1）不符合；（2）②×2，使y的系数相等。 老师：老师点评，并让学生自主解答此题，请同学上台演示。 最后老师给出加减法定义。 定义：将二元一次方程组中两个方程相加(或相减，或进行适当变形后再相加减)，消去一个未知数，得到一元一次方程.通过求解一元一次方程，再求得二元一次方程组的解.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. 老师让学生思考一下问题：（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤；（2）解方程组时应该注意什么？ 【师生活动】学生活动：学生观察例5的解答过程，讨论，再阅读教材P13内容，回答。 学生回答：（1）适当变形、加减消元、解一元一次方程、代入得另一未知数的值、写出方程组的解。 （2）应注意观察两个方程中同一未知数的系数情况，再选择合适的方法求解。 老师：老师点评，总结。 （基本步骤：变形、加减消元、求解、检验、写解） 随堂训练，巩固新知 1.教材P13练习 2.（1）二元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 答案：C （2）已知，求、的值． 答案：x= ， y= 4.课堂小结，自我完善 （1）用加减法解二元一次方程组的思想： （2）当方程组中同一未知数的系数互为相反数或相等时，采用将两个方程两边分别相加（或相减）的方法，“消元”较简便. （3）用加减法解二元一次方程组的步骤：变形、加减消元、求解、检验、写解。 5.布置作业 课本P13习题A组，B组第2题。 通过用代入法解二元一次方程组回顾上节课内容，达到复习的目的。 由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题． 让学生能够参与到教学活动，自主发现、应用知识、提高学生的观察、总结能力。 共同解答时，既可以锻炼学生的解题思路，又可以规范学生的解题步骤。 通过问题，逐步引导学生解答问题，避免出现学生没有思路的情况。 通过提问，让学生可以在解二元一次方程组时，找到简洁、快速的方法，提高计算准确率。 这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性． 通过问题，让学生找到解决办法。 通过问题，总结加减消元法的解题步骤，让学生的解题更规范。 通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力。
板书设计 6.2 二元一次方程组的解法 第3课时 1.加减消元法 解：①＋②，得，x=2. 把代入①，得,. 所以，原方程组的解为 2.方程组特点：方程组中同一未知数的系数互为相反数或相等。 3.加减消元法的基本步骤：变形、加减消元、求解、检验、写解。
教后反思 本节课利用了学生已有的代入消元法的经验。通过让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生在实践中体验、理解和掌握数学知识，待学生通过巩固练习积累感性经验后，又将加减法程序化，归纳出解题步骤，使之更具操作性，促进学生由方法向技能的转化。本节课重视知识的发现过程，在教学过程中，通过设置适当的问题情境，给学生有充分的从事数学活动的时间与空间，让他们积极参与、自主探索，整个课堂教学时时处处立足于让学生先看、先思、先做、先说，符合新课改的以学生为本的理念。
6.3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用（1）
课题 二元一次方程组的应用（1） 课型 新授课
教学内容 教材第14-17页的内容
教学目标 1．通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识． 2．了解二元一次方程组应用题找等量关系；掌握解二元一次方程应用题的步骤，会解二元一次方程应用题。 3. 通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重难点 教学重点：根据简单应用题的题意列出二元一次方程组。 教学难点：将实际情境中的数量关系抽出来，并用二元一次方程组表示。
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？ （1）分别列出一元一次方程和二元一次方程组解题． （2）比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？ 学生活动：练习本上解题，思考并回答上述问题。 2.探索新知，讲授新课 可见，有时我们列二元一次方程组解决实际问题更容易，今天我们就来学习二元一次方程组的应用． 1.出示课本第14页大马和小马的对话。 【师生活动】教师提问：（1）大马的两句话，说出了两个等量关系，这两个等量关系是什么？ （2）如果大马驮物x包，小马驮物y包，列出的二元一次方程组是怎样的？并解方程组。 学生活动：观察、分析后回答。 学生回答：（1）大马托的包数-1=小马托的包数+1， 大马托的包数+1=2（小马托的包数-1）． 根据所设的未知数以及等量关系，列出方程组，并解答。 教师点评，并强调：（1）选定未知数，根据条件找等量关系． （2）根据等量关系，列出对应的方程组，再解方程组即可得到答案。 2.展示教材例1： 【师生活动】教师提问：本题中的等量关系是什么（用文字语言描述）？如何设未知数？如何列方程组？又如何完整地解决这个应用题？ 学生活动：学生阅读题目，思考、分析、讨论。 教师：请多名同学回答问题，并进行完整地解题板书。 同学可能对应用题的解题过程有不同的展示步骤，老师可以多让几名同学回答，最终给出标准的答题模式。 解：设平均每节火车车厢装运化肥x吨，每辆卡车装运化肥y吨，根据题意，得 解这个方程组，得 答：平均每节火车车厢装运化肥60吨，每辆卡车装运化肥4吨． 【师生活动】教师提问:你能谈谈用二元一次方程组解实际问题一般有哪些步骤吗？你认为最关键的是什么？ 教师给出引导性的语句：可以结合一元一次方程解实际问题的步骤。 学生活动：学生类比、思考，相互交流讨论。 教师：请同学回答讨论结果，并点评、总结。 通过归纳总结步骤：用二元一次方程组解实际问题的步骤：（1）审题，分析题目中的已知与未知，找出数量关系； （2）设未知数；（3）列方程组；（4）解方程组； （5）检验；（6）写出答案. 概括为：审、设、列、解、检、答。 关键是找出问题中等量关系和设未知数。 4.学生独立完成课本第15页“做一做”。 3.学以致用，应用新知 考点 用二元一次方程组解实际问题 【例1】教材第15页“做一做” 答案：275名工人生产甲种零件，385名工人生产乙种零件。 【例2】某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 答案：胜8场，平3场 【例3】古题今解： 以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 答案：绳长48尺, 井深11尺 4.随堂训练，巩固新知 1.课本第16页练习1、2. 2.（1）某校的学生宿舍 30 间，大宿舍每间可住 8 人，小 宿舍每间可住 5 人 . 该校 198 个住宿生恰好住满30间宿舍. 设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组________。 答案： （2）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套. 答案：12,16 （3）松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天中有几天晴天，几天是雨天？ 答案：这几天中共有2天晴天，6天雨天． 5.课堂小结，自我完善 （1）今天我们学习用二元一次方程组解决实际问题，通过今天的学习你有什么收获？ （2）用二元一次方程组解实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答。 （3）用二元一次方程组解实际问题的关键：找等量关系，设未知数。 6.布置作业 课本P16习题A组1、2. B组1.2。 通过两种解法的比较，让学生体会列二元一次方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣． 老师引导学生将原问题转化为文字语言表述的数量关系，再转化为数学符号表示的数量关系． 例1用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力． 通过师生共同解答，明确规范的解题格式． 通过类比，可以归纳总结用二元一次方程组解实际问题的步骤，提高学生分析、概括能力。 教师强调，一定要检验结果是否是二元一次方程组的解，同时符合实际情况。 教师巡视，帮助有困难的同学，掌握本节知识。 通过例1，了解如何用二元一次方程组解决配套问题。
板书设计 6.3 二元一次方程组的应用 1.解：设平均每节火车车厢装运化肥x吨，每辆卡车装运化肥y吨，根据题意，得 解这个方程组，得 答：平均每节火车车厢装运化肥60吨，每辆卡车装运化肥4吨． 2.用二元一次方程组解实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答。
教后反思 在引导学生找等量关系时，要注重“和差倍分”类应用题中的等量关系，此类型作为基础，尤为重要。 小组讨论中，教师要深入到小组中去，及时对小组讨论中的关键点进行点拨，帮助学生尽快建立解二元一次方程应用题的思路。
第2课时 二元一次方程组的应用（2）
课题 二元一次方程组的应用（2） 课型 新授课
教学内容 教材第17-19页的内容
教学目标 1．通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识。 2.了解复杂的二元一次方程组应用题找等量关系；会解较复杂的二元一次方程应用题。 3. 通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重难点 教学重点：根据简单应用题的题意列出二元一次方程组． 教学难点：将实际情境中的数量关系抽出来，并用二元一次方程组表示。
教 学 过 程 备 注
1.复习提问，引入课题 （1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？ （2）列方程组解应用题的关键两步是什么？ 学生活动：回答老师提出的问题． 教师：教师点评，并引入新课。 这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题． 类比探究，学习新知 1. 展示课本17例2 例2 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总人数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%,高中一年级招生人数增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比去年招生总人数增加18%．今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？ 【师生活动】老师提问：题中的等量关系是什么？ 学生活动：学生回答等量关系，有可能是（1）去年七年级招 生人数+去年高一招生人数=500，今年七年级招生人数+今年高一招生人数=500×（1+18%），也有可能是（1）去年七年级招生人数+去年高一招生人数=500，今年七年级招生人数增加量+今年高一招生人数增加量=500×18%。 教师:老师点评，予以肯定，并提问：根据自己的分析设出未知数、列方程组，解答此题。 学生活动：学生自主解答，并进行相应的板演。 教师：老师进行点评。 还有没有其他的解法，直接设今年两个年级计划招生人数为未知数，列方程组解答例2中的问题。 【师生活动】教师提问：（1）是否可以用上面的等量关系？ （2）如何列方程组？解答方程组。 学生活动：学生思考问题，并解答。 教师：与例2中的解答过程相比，哪种解法更简单？ 学生活动：学生回答。 教师：老师总结。 总结：准确找出等量关系，合理设未知数，能使解答过程准确又快捷。 请同学们看课本18页“一起探究”测火车速度的问题． 【师生活动】教师：教师放“完全过桥”和“整列火车在桥上”的动画片和或让学生模仿 “火车过桥”帮助学生理解题意。 教师提问：大家知道“完全过桥”和“整列火车在桥上”的含义了吧？ 学生活动：学生回答，教师点评。 教师提问：（1）问题中涉及了哪些量？ （2）用画示意图的方式表示本题反映的等量关系． （3）用x，y分别表示火车的速度（m/s）和长度（m），把上面的等量关系转化为方程组． （4）解答“一起探究”中的问题。 学生活动:学生回答，解题。 教师：老师点评。 3.学以致用，应用新知 考点 用二元一次方程组解应用题 【例1】某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆．试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？ 若设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，请你根据题意填空，并列出方程组求x与y的值． (1)若每天生产35辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y辆汽车__________(“多”或“少”)生产10辆，则可得二元一次方程____________． (2)若每天生产40辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y________(填“多”或“少”)生产20辆，则可列二元一次方程_________________． (3)列方程组_________________________，并解得________． 2．一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 如图： 若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米． 根据题意填空： (1)若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________． (2)若相向而行，两车4秒钟共行驶__________米，可列方程_____________． (3)由以上可得方程组__________________，解得________． 答案：1．(1)35x　少　35x+10=y (2)40x　多　40x－20=y (3)，　 2．(1)150米　20x－20y=150 (2)150　4x+4y=150 (3)，　 4.随堂训练，巩固新知 1.课本P18练习1，2 2.（1）甲、乙两条绳共长17 m,如果甲绳减去，乙绳增加1 m,两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多少？若设甲绳长x m,乙绳长y m,则得方程组（ ） A. B. C. D. 答案：C （2）一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ） A.3∶1 B.2∶1 C.1∶1 D.5∶2 答案：B （3）某水果批发市场香蕉的价格如下表，张强两次购买香蕉50kg，一共付款264元，如果第二次购买的质量多于第一次购买的质量，张强每次分别购买香蕉多少千克？ 答案：第一次14㎏，第二次36㎏。 5.课堂小结，自我完善 （1）用二元一次方程组解决实际问题的关键是寻求两个等量关系，有些等量关系较隐晦，要善于发现，可借助画示意图帮助我们寻求，有些是几何，物理以及化学中的公式. （2）接着分析等量关系中，已知量与未知量之间的关系，确定怎样设未知数，最后将等量关系转化为方程组，求出方程组的解后，再检验解的合理性. 6.布置作业 课本P18 习题A组1、2，B组1、2。 回忆用二元一次方程组解应用题的一般步骤及关键． 学生自己解决问题． 训练学生分析问题的能力，同时暴露学生在分析问题、解决问题时存在的不足． 让学生能够在实例中感受找等量关系和设未知数的重要性。 可见，适当地设未知数，能使问题简单. 通过演示帮助学生理解题意． 训练学生分析问题的能力． 教师巡视指导，并帮助不会解答的同学。 逐步练习，提高学生解答问题的能力。
板书设计 6.3 二元一次方程组的应用（2） 1.例题讲解 例2 2.“试着做做”
教后反思 逐步引导学生，让学生掌握用二元一次方程组解应用题的步骤，同时应该多去关注学生的解答过程，规范过程，及时进行指正。 部分学生找不准较为复杂的等量关系，要培养学生将等量关系先列出来的思考习惯。
6.4 简单的三元一次方程组*
课题 简单的三元一次方程组 课型 新授课
教学内容 教材第20-23页的内容
教学目标 1.理解三元一次方程组的定义； 2.掌握简单的三元一次方程组的解法； 3.进一步体会“消元”的基本思想．
教学重难点 教学重点：简单的三元一次方程组的解法． 教学难点：根据方程组特点选择最佳的消元方法．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【引语】前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题． 小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张． 【师生活动】教师提出问题： （1）题目中有几个未知数，你如何去设？ （2）根据题意你能找到等量关系吗？ （3）根据等量关系你能列出方程组吗？ 学生活动：大家分组讨论上述问题。 学生成果展示： （1）设1元，2元，5元各x张，y张， z张．(共三个未知数) （2）三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍． （3）上述三种条件都要满足，因此可得方程组 教师：老师对学生的回答予以肯定及表扬。 提出问题：我们如何去解这个方程组？能不能类比二元一次方程组的解法呢？ 2.类比探究，学习新知 【过渡语】我们已经学习了利用代入消元法和加减消元法对二元一次方程组进行求解。在本节中，我们将用消元的方法，对简单的三元一次方程组进行求解。 1.【师生活动】教师提出问题：（1）什么是三元一次方程？ （2）什么是三元一次方程组？ （3）什么是三元一次方程组的解？ 教师引导学生类比二元一次方程组的相关概念去思考。 学生活动：学生思考，并讨论、交流、总结、回答。 教师点评，总结： （1）含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫做三元一次方程。 （2）含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 （3）三元一次方程组各方程的公共解叫做三元一次方程组的解。 2.【师生活动】怎样解呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？ 学生活动：学生小组交流，探索如何消元． 学生回答：可以把③分别代入①②，消去x，变成包含y和z的二元一次方程组：解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x． 教师：老师点评，并让学生自主完成后面的解答过程，然后总结。 总结： 此题因为存在x=4y，所以适合采用代入消元法解答。 【师生活动】教师：阅读课本第20页“观察与思考”，并思考以下问题： （1）小亮是采用什么方法进行消元的？ （2）你能否仿照小亮的方法消去未知数x或y？ （3）试着解这个方程组。 学生活动：学生分组交流、讨论，并回答(1)(2)。 教师:老师点评，并让学生自主完成解答，最后总结。 总结： 此题适合通过加减消元法解答。 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程． 即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 3.学以致用，应用新知 考点 解三元一次方程组 【例1】展示课本第21页例题: 让学生先观察特点，思考用什么方法解答简便。 学生回答，师生共同完成此题的解答过程。 【例2】展示课本第21页“做一做”，并根据思考教材中的问题。 学生回答（1）（2），自主完成（3）。 4.随堂训练，巩固新知 1.课本第22页练习 2.（1）方程组的解是（ ） A. B. C. D. 答案：D （2）解三元一次方程组时，首先消去z，得二元一次方程组为___________________，再消去未知数x，得一元一次方程为_________________.解得y=_______;将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=_________，最后将x和y值同时代入②；得z=__________. 答案：, 2y=6, 3, 2, 1 （3）解下列三元一次方程组. 答案： 5.课堂小结，自我完善 （1）本节课你有什么收获？ （2）解三元一次方程组的基本思路：即三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程 6.布置作业 课本P22/23习题A组1、2，B组1、2。 结合前面学习的实际问题与方程组，把实际问题转化为数学问题，引入含三个未知数的方程组。 教师在学生讨论时，巡视指导。 通过生活情境，帮助学生感知三元一次方程组的存在，并引导性地提出类比二元一次方程组的解法去求解。 通过问题，锻炼学生类比、总结学习知识的能力。 三元一次方程组的注意点：（1）3个未知数，3个方程（2）含未知数的项的次数都是1；（3）3个方程不一定都是三元一次方程。 老师给出提示，学生自主探索，体会代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组的过程，提高学生的知识应用能力。 老师在学生解答时巡视指导。 老师在学生解答时巡视指导。 总结三元一次方程组的基本思想。 让学生习惯解方程组前先观察特点，选择最优解法，师生共同完成，规范解答步骤。 能够用三元一次方程组解决简单的实际问题。
板书设计 6.4 简单的三元一次方程组* 1.解三元一次方程组的基本思路：即三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程 2.例1 3.例2
教后反思 学习本节课的知识是在二元一次方程组的基础上进行的，在类比思想的指导下完成，把知识类比的探索活动交给学生完成，既巩固旧知识，又顺利进行新知识的学习。但是需要对解三元一次方程组的方法多加关注，让学生多练习提高正确率。

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