资源简介

教学设计
课程基本信息
课题 等差数列的前n项和公式
教学目标
探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式与二次函数的关系，培养学生逻辑推理的能力； 会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究的最值； 通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，发展学生的数学建模和数学运算素养，培养学生思维的灵活性与广阔性；
教学内容
教学重点： 求等差数列前n项和的最值。
教学难点： 等差数列前n项和的性质及应用。
教学过程
一：复习导入 等差数列前n项和公式及推导方法： 设计意图：强化上节课知识，引入本节课新知识的讲解。 由等差数列的通项公式，可以看成一个关于n的一次函数，自然引出，等差数列的前n项和公式2，进一步整理，按照项数n的降幂排列，可以看成一个关于n的二次函数。 二：探究新知 通过让学生观察、发现公式3的特点，引出思考：如果数列{an}的前n项和为=pn2+qn+r,其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 通过这三组数据猜想：当r=0时，数列{an}是等差数列； 通过这三组数据猜想：当r≠0时，数列{an}从第二项起的后续各项组成一个等差数列. 因此需要证明上述猜想是正确的，过程如下： 已知sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常数，且p≠0， 综上所述得出结论： 当r=0时，数列{an}是等差数列； 当r≠0时，数列{an}从第二项起的后续各项组成等差数列. 设计意图： 通过大量的实验数据，从特殊到一般的去归纳猜想，经过严谨的逻辑推理，证明了等差数列前n项和公式的形式特征和性质。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三：典型例题 例1 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且. 由，可得， 因此，第1排应安排21个座位. 设计意图：通过等差数列前项在实际问题中的应用，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。 1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和sn，还是求项数n. 3.解决等差数列前n项和实际问题的一般步骤： (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用等差数列前n项和公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 例2 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解法1：由，得，所以是递减数列. 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 也就是说，当或6时，最大. 因为，所以的最大值为30. 设计意图：通过思考的四个问题，逐层深入，借助等差数列的通项公式解决等差数列的最值问题，培养学生思考问题的方式和能力。 解法2：因为， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30. 设计意图： 通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式函数特征的理解及综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 将看作关于n的函数，考察函数的单调性。从等差数列前n项和公式入手，借助二次函数的图象及性质求最值，从而解决数列问题，体现数学中函数的思想。 四：课堂小结 本节课开始，我们通过从特殊到一般的归纳猜想，经过严谨的逻辑推理证明了等差数列前n项和公式的形式特征和性质。典例1我们首先利用数学建模的思想把实际问题转化为数学问题，感受数列的应用价值。典例2我们通过两种方法探究等差数列前n项和的最值，利用等差数列通项公式， 寻求正、负项的分界点，则从第一项起，到”分界点该项“的各项和为最大或最(小)值，也可以利用，等差数列前n项和公式3，将看成关于n的二次函数，利用函数图像和性质研究，这种利用函数性质解决数列问题的方法体现了函数思想。 设计意图： 本节课学习了等差数列的前n项和公式及其应用，掌握求等差数列的前n项和最值的方法，深刻体会数学建模思想和函数思想。 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 五：课后作业 完成本节课课后习题，课本24页练习第1、3题. 想一想，生活中还有哪些有关等差数列求和的实际问题？ 设计意图： 通过练习，巩固本节所学知识。数学来源于生活，又服务于生活，用数学知识解决实际问题，培养学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 六：教学反思 由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。培养学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

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