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3.6.2 零指数幂与负整数指数幂
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.
2.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的
数.
3.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义，体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.
复习回顾
怎样计算同底数幂的除法
(a≠0，m，n是正整数，且m＞n).
am ÷ an=am－n
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
此性质可逆用，即am－n=am ÷ an（a≠0，m，n为正整数，且m>n).
新知讲解
【想一想】对于同底数幂相除的法则am ÷ an=am－n (a≠0)，m，n必须满足什么条件
m，n是正整数，且m＞n
要使53÷53=53-3也能成立，你认为应当规定50等于多少
∵53=125，∴53÷53=125÷125=1，∴53÷53=53-3=50=1.
新知讲解
更一般地，a0(a≠0)呢
规定：
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
a0=1(a≠0).
底数是-2
指数为0
结果为1
底数是100
指数为0
结果为1
（-2）0=1
100 0=1
新知讲解
【拓展提高】
(1) 零指数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但不可以是0；
(2) 因为 a=0 时，a0 无意义，所以 a0 有意义的条件是 a≠0，常据此确定底数中所含字母的取值范围.
新知导入
要使33÷35=33-5和a2÷a5=a2-5也成立，应当规定3-2 和 a3分别等于什么呢
33
33
2
33÷35=33-5=3-2
新知导入
要使33÷35=33-5和a2÷a5=a2-5也成立，应当规定3-2 和 a3分别等于什么呢
a2
a2
3
a2÷a5=a2-5=a-3
新知讲解
【总结归纳】
任何不等于零的数的-p (p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数
推广到了整数. 正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用.
新知讲解
【例3】用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值.
(1)10-3. (2)(-0.5)-3. (3)(-3)-4.
新知讲解
什么是科学记数法：
【想一想】
绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
【例】12000=__________.
1.2×104
新知讲解
想一想：下面两个数怎样用科学计数法表示？
0.00…01=
n个0
【填一填】
0.01=____=_____
0.001=________=__________
10-1
10-2
10-3
【思考】你发现了什么？
=10-n
（1）0.002 1. （2）0.000 050 1.
新知讲解
绝对值较小的数m=±a×10n，1≤│a│<10，n 为一个负整数，
│n│=原数中第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的零).
注意：在a×10n中，一定要注意n与小数位数的关系.
【例4】把下列各数表示成a×10n(1≤a<10，n为整数)的形式.
（1）0.002 1. （2）0.000 050 1.
新知讲解
①确定a，a是只有一位整数的数，即（1≤ |a| <10）；
②确定n，当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数减去1；
当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数(含整数数位上的零)．
【总结归纳】
用科学记数法表示数的方法：
新知讲解
例5 计算：
(1) 950×(-5)-1. (2) 3.6×10-3. (3) a3÷(-10)0. (4)(-3)5÷36.
解：(1) 950×(-5)-1=
(2) 3.6×10-3.=3.6× =3.6×0.001=0.0036.
(3) a3÷(-10)0 =a3÷1 =a3
(4)(-3)5÷36=(-3)5÷(-3)6=(-3)-1
新知讲解
解题技巧：
(1)正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用.
(2)如果结果是负整数指数幂，应把它化为正整数指数幂的倒数.
(3)对于含有负整数指数幂的算式，有两种处理方法：
一是先把负整数指数幂化为正整数指数幂，然后进行计算；
二是在整数范围内使用幂的运算法则进行计算.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
D
课堂练习
2.生物学家发现了某种花粉的直径约为0.000 003 6毫米，数据0.000 003 6用科学记数法表示正确的是(　　)
A．3.6×10-5 B．0.36×10-5
C．3.6×10-6 D．0.36×10-6
C
课堂练习
D
3.下列计算中，错误的是(　　)
A．a2÷a0·a2＝a4(a≠0)
B．a2÷(a0·a2)＝1(a≠0)
C．(－1.5)8÷(－1.5)7＝－1.5
D．－1.58÷(－1.5)7＝－1.5
课堂练习
4.用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值.
(1)10-3; (2)(-0.5)-3; (3)(-3)-4; (4)y3÷y4.
（4）y3÷y4=y3-4=y-1
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
A
课堂练习
C
6.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量只有0.000 005克，50只这种昆虫的总质量是(　　).
A．5×10－6克 B．25×10－5克
C．2.5×10－4克 D．2.5×10－5克
课堂练习
【综合实践类作业】
解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m，
(10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018(个)．
答：1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
7.纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m，把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1.
a0=1(a≠0).
2.绝对值较小的数m=±a×10n，1≤│a│<10，n 为一个负整数，
│n│=原数中第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的零).
板书设计
课题：3.6.2 零指数幂与负整数指数幂


教师板演区

学生展示区
一、a0=1(a≠0)
二、用科学计数法表示较小的数
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.下列各式计算正确的有(　　)
①(－3)－1＝－3； ②3－2＝－32；
⑤(π－3)0＝1； ⑥2－3＝－8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
作业布置
D
2.甲种细胞的直径用科学记数法表示为8.05×10－6，乙种细胞的直径用科学记数法表示为8.03×10－6，若甲、乙两种细胞直径的差用科学记数法表示为a×10n，则n的值为(　　)
A．－5 B．－6 C．－7 D．－8
作业布置
选做题：
作业布置
选做题：
B
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
【综合实践类作业】
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分课时教学设计
《3.6.2 零指数幂与负整数指数幂》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版七年级下学期第3章第6节的内容，第2课时。前面已经学习了正整数幂的性质。这一节是将正整数幂推广到整数指数幂的运算，扩大了运算的范围。零指数幂与负整数指数幂，需要学生掌握零指数幂与负整数指数幂的定义和运算法则，并能准确地运用零指数幂与负整数指数幂的运算法则进行有关运算。
学习者分析 零指数幂与负整数指数幂定义部分的难点在于零指数幂与负整数指数幂有意义的条件，学生易忽视底数不能等于零，从而在解题和学习过程中出现错误和问题；运算法则中，需要强调学生注意运算顺序，尤其是负整数指数幂运算中结果符号的确定。
教学目标 1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力. 2.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数. 3.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义，体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.
教学重点 经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.
教学难点 会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题： 怎样计算同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷ an=am－n(a≠0，m，n是正整数，且m＞n). 此性质可逆用，即am－n=am ÷ an（a≠0，m，n为正整数，且m>n). 填空： （1）53÷53=_______ 【想一想】对于同底数幂相除的法则am÷ an=am－n(a≠0)，m，n必须满足什么条件 m，n是正整数，且m＞n 要使53÷53=53-3也能成立，你认为应当规定50等于多少 ∵53=125，∴53÷53=125÷125=1， ∴53÷53=53-3=50=1.学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生思考53÷53=_______ 得出50=？ 活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究零指数幂与负整数指数幂教师活动2： 教师提问： 更一般地，a0(a≠0)呢 规定： 任何不等于零的数的零次幂都等于1. a0=1(a≠0). 【拓展提高】 (1) 零指数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但不可以是0； (2) 因为 a=0 时，a0 无意义，所以 a0 有意义的条件是 a≠0，常据此确定底数中所含字母的取值范围. 要使33÷35=33-5和a2÷a5=a2-5也成立，应当规定3-2 和 a3分别等于什么呢 33÷35=33-5=3-2 a2÷a5=a2-5=a-3 【总结归纳】 任何不等于零的数的-p (p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数. 规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推广到了整数. 正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用. 【例3】用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值. (1)10-3. (2)(-0.5)-3. (3)(-3)-4. 学生活动2： 学生回答教师提出的问题。 学生根据教师引导列出方程组。 师生共同完成解题过程。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：探究“用科学计数法表示较小的数”教师活动3： 【想一想】什么是科学记数法： 绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数. 【例】12000=1.2×104. 想一想：下面两个数怎样用科学计数法表示？ （1）0.002 1. （2）0.000 050 1. 【填一填】 0.01=____=_____ 0.001=________=__________ 【思考】你发现了什么？ 绝对值较小的数m=±a×10n，1≤│a│<10，n 为一个负整数，│n│=原数中第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的零). 注意：在a×10n中，一定要注意n与小数位数的关系. 【例4】把下列各数表示成a×10n(1≤a<10，n为整数)的形式. （1）0.002 1. （2）0.000 050 1. 【总结归纳】 用科学记数法表示数的方法： ①确定a，a是只有一位整数的数，即（1≤ |a| <10）； ②确定n，当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数减去1； 当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数(含整数数位上的零)． 例5 计算： (1) 950×(-5)-1. (2) 3.6×10-3. (3) a3÷(-10)0. (4)(-3)5÷36. (2) 3.6×10-3.=3.6×0.001=0.0036. (3) a3÷(-10)0 =a3÷1 =a3 (4)(-3)5÷36=(-3)5÷(-3)6=(-3)-1 解题技巧： (1)正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用. (2)如果结果是负整数指数幂，应把它化为正整数指数幂的倒数. (3)对于含有负整数指数幂的算式，有两种处理方法： 一是先把负整数指数幂化为正整数指数幂，然后进行计算； 二是在整数范围内使用幂的运算法则进行计算.学生活动3： 学生完成课本例题。 学生根据教师分析，列出二元一次方程组，并解出这个方程组。 学生在教师的引导下总结解决实际问题应注意几个问题。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.6.2 零指数幂与负整数指数幂 一、a0=1(a≠0) 二、用科学计数法表示较小的数
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 2.生物学家发现了某种花粉的直径约为0.000 003 6毫米，数据0.000 003 6用科学记数法表示正确的是(　C　) A．3.6×10-5 B．0.36×10-5 C．3.6×10-5 D．0.36×10-5 3.下列计算中，错误的是(　D　) A．a2÷a0·a2＝a4(a≠0) B．a2÷(a0·a2)＝1(a≠0) C．(－1.5)8÷(－1.5)7＝－1.5 D．－1.58÷(－1.5)7＝－1.5 4.用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值. (1)10-3; (2)(-0.5)-3; (3)(-3)-4; (4)y3÷y4. （4）y3÷y4=y3-4=y-1 选做题： 5.计算2－2的结果是(　A　) A． B．4 C．－4 D．－ 6.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量只有0.000 005克，50只这种昆虫的总质量是(　C　). A．5×10－6克 B．25×10－5克 C．2.5×10－4克 D．2.5×10－5克 【综合拓展类作业】 7.纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m，把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计) 解：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m， (10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018(个)． 答：1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式计算正确的有(　B　) ①(－3)－1＝－3； ②3－2＝－32； ⑤(π－3)0＝1； ⑥2－3＝－8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.甲种细胞的直径用科学记数法表示为8.05×10－6，乙种细胞的直径用科学记数法表示为8.03×10－6，若甲、乙两种细胞直径的差用科学记数法表示为a×10n，则n的值为(　D　) A．－5 B．－6 C．－7 D．－8 选做题 解：（1）原式＝3－1＋ ＝. （2）原式＝1＋2－5÷1＝－2. 4.下列式子：①(－7)－2＝；②b0＝1；③3a－2＝(a≠0)； ④－7.02×10－4＝－0.000 702，其中正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】
教学反思 本节课在探究完运算法则后的新知应用环节，练习的设计还需要层次更细致一些。先让学生针对基础题进行简单的模仿，并且模仿前老师一定要示范做题过程，然后再慢慢进行变式训练和创新训练。因为熟能生巧，所以，基础的题目练熟练了扎实了，在进行变式训练时学生才更容易独立地进行知识的迁移。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示)。2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3理解乘法公式(a+b)(a—b)= a2—b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数)。5.会进行同底数幂相除的运算.6.会进行单项式除以单项式，多项式除以单项式的计算.7.会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题.
内容分析 整式的乘除是在学生学习了有理数的运算、列简单的代数式、一元一次方程及整式的加减等知识的基础上安排的。主要内容包括幂的运算法则、整式的乘法、乘法公式以及整式除法。这些知识是初中数学的重要内容，是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，是今后将要学习分式、一元二次方程、函数等内容的基础。学习本章重要的是通过探究公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析 一、知识经验基础:之前学生学过有理数的运算、整式及整式的加减运算，为学习本章内容奠定基础。二、活动经验基础:学习本章时，学生已经掌握了有理数的运算，会用代数式表示一些简单问题中的数量关系；能进行简单的整式加减运算；特别是对有理数乘方的认识为学习幂的运算性质打下基础，在前面的学习中经历了探索有理数运算法则、整式的加减的活动过程，积累了一定的数学活动经验，具有了一定抽象概括能力，能比较有条理地表达自己的思考，这些都为学习整式的乘除运算提供了条件。三、学生学习困难：七年级学生，善于观察、发现、猜想，合情推理能力较强，但演绎推理能力不足对幂的运算性质的一般性结论的推导存在一定困难；本章运算法则繁多，学生易出现运算法则的混淆问题.
单元目标 （一）教学目标1.经历推导正整数指数幂的运算性质的过程，能说出整数指数幂的意义、并能运用它们进行简单计算.2.经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.会进行简单的整式加减乘除运算(其中整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式).3.会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，（a±b)2=a2±2ab+b2,能解释公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养.（二）教学重点、难点重点：1.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.2.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验。3.进一步用科学记数法表示0到1之间的数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.推导平方差公式和完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算，了解公式的几何背景，发展几何直观。难点：1.能熟练的运用运算法则进行运算.2.正确理解乘法公式的意义，认识乘法公式的结构以及明确字母的广泛意义。3.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法13.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够发现运算法则。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，学生可以进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算。理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。单项式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够理解单项式的乘法法则。多项式的乘法1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，学生能够体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。整式的化简1.能利用加、减、乘、乘方将整式化简；2.能利用整式运算解决简单的实际问题．掌握整式化简的运算顺序，应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。通过计算掌握整式化简的运算顺序。同底数幂的除法1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；3.会进行简单的乘除混合运算．理解并掌握单项式除以单项式的法则及多项式除以单项式法则并能运用通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。
《整式的乘除》 单元教学设计
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