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沪科版七年级数学下册第六章（同步教学设计）
第6章 实 数
单 元 备 课
第6章 本单元所需课时数 5课时
课标要求 1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数. 2.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，并会用根号表示平方根、算术平方根、立方根. 3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 4.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 5.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 6.在解决实际问题时，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值.
教材分析 本章引入无理数，从有理数扩充到实数，是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，同时实数也是后面内容学习（如一元二次方程、函数等）的基础，因此，本章内容具有基础性，应要求学生能熟练掌握实数的有关运算.
主要内容 本章的主要内容是平方根与立方根，无理数与实数的概念，实数的运算及大小比较.主要包括两节：6.1节“平方根、立方根”主要介绍平方根（算术平方根）、立方根的相关概念及求法；6.2节“实数”是在学习根式后引进无理数，进而扩展到实数，进行实数的运算及大小比较.
教学目标 1.了解平方根、算术平方根、立方根、实数的概念，并会求平方根、算术平方根、立方根，能进行有关实数的简单运算. 2.探求实数性质及其运算规律，并会借助计算器计算平方根、立方根、探索数学规律等. 3.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识及解决问题的能力.
课时分配 6.1 平方根、立方根 2课时 6.1.1 平方根 6.1.2 立方根 6.2 实 数 2课时 第1课时 实数的概念及分类 第2课时 实数的运算及大小比较 教学活动 小结 1课时
教与学建议 1.加强实数的有关概念及其运算与有理数的类比教学. 2.重视培养学生实数运算的能力. 3.抓住重点、加强练习，打好基础.
6.1 平方根、立方根
6.1.1 平方根
课题 平方根 课型 新授课
教学内容 教材第2-5页的内容
教学目标 1.理解平方根、算术平方根的概念，并会表示一个数的平方根、算术平方根. 2.理解开平方的意义，会求一个非负数的平方根、算术平方根. 3.会用计算器求一个数的算术平方根或其近似值. 4.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重难点 教学重点：会求一个非负数的平方根、算术平方根. 教学难点：正确理解平方根、算术平方根的意义.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入（学生活动） 已知一个正方形的边长是4， 则这个正方形的面积是______. 【探究2】探究教材P2问题① 装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1 m ，问这种地砖一块的边长是多少？ 【师生活动】学生尝试解答，列方程. 设一块正方形地砖的边长为x m，根据题意，有 x =. 教师提问：怎么解这个方程呢？ （学生先答，老师解答）因为 =，所以x=. 因为 =，所以x=. 地砖的边长不能是负数，x=舍掉， 所以地砖的边长是 m. 2.探索新知，归纳知识 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根. 例如，上面问题①中， =， =， 所以和都是的平方根. 或者说的平方根是和（合写为）. 【交流学习】（学生活动）请同学们口答下面各题． 1.16的平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？ 3.-9有没有平方根？ 【探究1】一个正数有几个平方根？0和负数呢？ 根据学生的回答情况，引导归纳： （1）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数. 我们用表示a的正的平方根，读作“根号a”，其中a叫做被开方数，这个根也叫做a的算术平方根，另一个负的平方根记为-. （2）0的平方根是0. （3）负数没有平方根. 【探究2】开平方与平方有什么关系？ 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 例如：左图是求一个数的平方，右图是求一个数的平方根. 教师提问:根据上图，可以得到二者有什么关系呢？ （学生先答，老师解答）开平方是平方的逆运算. 利用两种运算互逆的关系可以求一些数的平方根. 【教材例题】 例1 判断下列各数是否有平方根，为什么？ 25； ； 0.016 9； -64. 解：因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以25，，0.016 9都有平方根；-64没有平方根. 例2 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）1；（2）81；（3）64；（4）（-3） . 解:（1）因为（±1） =1，所以1的平方根是±1，即±=±1；1的算术平方根是1. （2）因为（±9） =81，所以81的平方根是±9，即±=±9；81的算术平方根是9. （3）因为（±8） =64，所以64的平方根是±8，即±=±8；64的算术平方根是8. （4）（-3） =9.因为（±3） =9，所以9的平方根是±3，也就是（-3） 的平方根是±3，即±=±3；（-3） 的算术平方根是3. 教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的平方根，应该怎样求其平方根呢？ 利用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值. 例3 利用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3） ；（4）. 解:（1）在计算器上依次键入： 2 =， 显示结果是1.414 213 562，精确到0.1，得≈1.41. （2）≈42.78. （3） ≈ 0.94. （4）在计算器上依次键入：（ 5 ÷ 7 ） =， 即可得≈0.85. 用计算器求一个数的平方根的应用 本章引言中提到的速度v2是第二宇宙速度，v2=， 其中g取9.8 m/s ，r取6.4×106 m，用计算器可求得 v2≈=11 200（m/s）=11.2（km/s）. 例4 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：h=gr ，其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8 m/s .假设跳板的高度是3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？ 解:设运动员下落到水面约需t s，根据题意，得 3+1.2=×9.8t ， t = ≈0.857 1， t≈0.93. 因而，运动员下落到水面约需0.93 s. 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的平方根 【例1】求下列各数的平方根和算术平方根： (1)16； (2)； (3)1； (4)(-2.1)2. 解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±＝±4，16的算术平方根是4； (2)由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±，的算术平方根是； (3)1＝，由于＝，因此1的平方根是与－，即±＝±，1的算术平方根是； (4)(－2.1)2＝2.12，因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±＝±2.1，(－2.1)2的算术平方根是2.1. 考点2 利用平方根的意义求字母的值 【例2】某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．9 解析：因为一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，所以(2a－1)+(－a＋2)＝0，解得a＝-1.故这个数是（2a-1） =（-3） =9，故选D. 答案：D 考点3 算术平方根的非负性 【例3】 已知a，b满足|a－2|＋＝0，求2a+b的值． 解：由绝对值的意义知|a－2|≥0； 由算术平方根的意义知≥0， 所以a－2＝0，b－3＝0，所以a=2.b=3, 所以2a+b=2×2+3=7. 考点4 估计一个二次根式的范围 【例4】估计：在哪两个相邻整数之间？ 解：因为7 =49，8 =64，且49＜51＜64， 所以8. 4.随堂训练，巩固新知 （1）（广西桂林中考）9的平方根是(　　) A．3 B．±3 C．－3 D．9 答案：B （2）（山东济宁中考）4的算术平方根是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4 答案：A （3）一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝______． 答案：2 (4)若式子有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≥0 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≥2 答案：D （5）若|m-1|+=0，求m+n的值. 解：因为|m-1|≥0，≥0，又|m-1|+=0， 所以|m-1|=0，=0，所以m=1，n=-3， 所以m+n=1+(-3)=-2. （6）用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 解：设每块地板砖的边长为x m. 由题意，得240x =60，即x =， 于是x==0.5. 所以每块地板砖的边长是0.5 m. 5.课堂小结，自我完善 （1）平方根和算术平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.一个正数正的平方根叫作它的算术平方根. （2）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0（0的算术平方根也是0）；负数没有平方根. （3）用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值. 6.布置作业 课本P5练习第3-5题，P8习题6.1第2、5、6题. 复习：已知正方形边长求面积. 思考：已知正方形面积如何求边长？ 正方形的面积=边长 通过解决实际问题，引导学生理解求平方根的必要性. 初步体会已知一个数的平方，求这个数. 提醒学生注意，解决实际问题，验证解要符合实际. 归纳总结平方根的概念，并举例说明. 让学生自主探索一个正数的平方根、一个负数的平方根、0的平方根，归纳平方根的情况，引出算术平方根的概念. 拓展：算术平方根的性质. 非负数的算术平方根满足：≥0，≥0. 算术平方根具有双重非负性. 通过举例，对比平方与开平方两种运算之间的关系，总结出开平方与平方是互逆运算，等同于有理数的加法与减法. 例1中给出了正整数、正分数、正小数和负数，判断这几个数平方根的情况. 例2一个数的算术平方根，是这个数的非负的平方根. 格外注意（4）的形式，（-3） =9,9的平方根是±3. 以上学习的被开方数都是可以直接求出其平方根的，遇到无法直接求平方根的数，需要借助计算器求.求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）. 第二宇宙速度是指人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度. 通过让学生解决生活中的实际问题，进一步理解求一个数的平方根，培养计算能力，激发学习兴趣。 求一个数的算术平方根的一般步骤： ①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数； ②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0. 易错警示：注意本题要求的是这个数，而不是字母a的值. 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 注意：a ≥0，|a|≥0，≥0. 观察被开方数在哪两个相邻整数的平方数之间，则对应的二次根式就在这两个相邻整数之间. 注意：二次根式有意义的条件是被开方数非负. 注意被开方数和算术平方根的非负性.
板书设计
教后反思 本节课通过实际问题创设情境引入平方根，让学生感知“负数没有平方根”，激发学生的求知欲望．再让学生用计算器求一个数的平方根，通过对比认识到平方根与算术平方根的区别与联系． 课堂上，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历观察式子、探索规律、归纳概念的学习过程，使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。
第6章 实 数
6.1 平方根、立方根
6.1.2 立方根
课题 立方根 课型 新授课
教学内容 教材第6-8页的内容
教学目标 1.了解立方根的概念，会求一个数的立方根，并会用根号表示一个数的立方根. 2.会用计算器求一个数的立方根或其近似值. 3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重难点 教学重点：理解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根. 教学难点：能用开立方运算求某些数的立方根，理解开立方与立方互为逆运算.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入（学生活动） 已知一个正方体的棱长是4， 则这个正方体的体积是______. 【探究2】探究教材P6问题② 要做一个容积是64 dm3的正方体木箱，问它的棱长是多少？ 【师生活动】学生尝试解答，列方程. 设正方体木箱的棱长为x dm，根据题意，有 x =. 教师提问：怎么解这个方程呢？ （学生讨论，教师引导）想哪个数的立方是64 1 =1,2 =8,3 =27,4 =64，x=4. 2.探索新知，归纳知识 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根，记作，读作“三次根号”，其中叫做被开方数，3叫做根指数. 例如，上面问题②中，因为4 =64，所以4是64的立方根，即=4. 【探究1】（学生口答） 类比开平方与平方的关系，探究开立方与立方的关系？ （教师解答）开立方与立方互为逆运算. 根据这种关系，可以求一些数的立方根. 【教材例题】 例5 求下列各数的立方根： （1）27；（2）-64；（3）0. 解:（1）因为33=27，所以27的立方根是3，即=3. （2）因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4，即=-4. （3）因为03=0，所以0的立方根是0，即=0. 教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的立方根，应该怎样求其立方根呢？（学生讨论） 利用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 【教材例题】 例6 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）2；（2）7.797；（3）-17.456；（4）. 解:（1）在计算器上依次按键：2ndf 2 =， 显示结果是1.259 921 05，精确到0.01，得≈1.26. （2）≈1.98. （3）≈02.59. （4）在计算器上依次按键：2ndf （ 137 ÷ 398 ） =， 即可得≈0.70. 【探究2】（教师提问） 根据上面的例题，探究立方根有什么特征？ （学生口答下面问题） （1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根？ （3）负数有几个立方根？ （学生先答，老师归纳总结） 正数、0和负数都是只有一个立方根. 正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0. 【探究3】探究平方根与立方根的区别？ 请一名学生上台完成下表： 平方根立方根表示方法____________被开方数____________特征一个正数有___个平方根；0只有____个平方根,它是0本身；负数_____平方根正数的立方根是____； 0的立方根是______； 负数的立方根是_____
【探究4】猜想一下和（） 分别等于什么？ 计算：=_____;=_____;=_____. （） =______;（） =______;（） =______. （引导学生归纳总结） =a，（） =a. （教师引导，师生共同验证）根据立方根的定义，如果x =a，那么x就是a的立方根，即x=，所以x =（） =a； （参考上面验证方法，学生自行验证=a） 【探究5】一般地，对吗？ 计算：=_______;=_______. =_______;=_______. （引导学生参考探究4证明） 验证：如果x =a，那么； . 所以. 教师总结：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的立方根 【例1】求下列各数的立方根： (1)1 000； (2)； (3)0.125； (4)(-2.1)3. 解：(1)由于10 ＝1 000，因此1 000的立方根10，即=10； (2)由于() ＝，因此的立方根是，即； (3)由于0.5 ＝0.125，因此0.125的立方根0.5，即=0.5； (4)=-2.1. 考点2 立方根与平方根的综合问题 【例2】如果为的算术平方根，为的立方根，求2a－3b的立方根． 解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8. 所以＝＝2. 【例3】如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是(　　) A．1 B．0或1 C．0或±1 D．任意非负数 答案：B 4.随堂训练，巩固新知 （1）有下列四个说法，其中正确的是(　　) A.1的算术平方根是1； B.的立方根是±； C.－27没有立方根； D.若一个数的立方根是这个数本身，则这个数一定是零． 答案：A （2）已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根． 解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4，所以x＝6. 因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入，解得y＝8. 因为x2＋y2＝62＋82＝100，所以x2＋y2的算术平方根为10. （3）若与互为相反数，求的值. 解：因为与互为相反数， 所以1-2x与3y-2互为相反数， 所以1-2x+3y-2=0，即2x+1=3y， 所以==3. （4）将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解：因为600+129=729（cm ），， 所以这个正方体的棱长为9 cm. 已知一个正方体的体积是8m ，如果把它的体积扩大27倍，那么它的棱长扩大多少倍？ 解：设这个正方体的棱长为a m， 根据立方根的概念，可知a==2. 如果体积扩大27，即变为8×27=216（m ）， 设此时棱长为b m，根据立方根的概念，可知b==6. 所以它的棱长扩大为b÷a=6÷2=3倍. 5.课堂小结，自我完善 （1）立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根. （2）任何一个数都只有一个立方根.其中正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. （3）用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 6.布置作业 课本P7练习第2-4题，P8习题6.1第7-10题. 复习：已知正方体棱长求体积. 思考：已知正方体体积如何求棱长？ 正方体的体积=棱长 通过解决实际问题，引导学生理解求立方根的必要性. 所列方程是已知一个数的立方，求这个数. 根据上面解决的实际问题，引出立方根，并抽象出立方根的概念. 注意：根指数3不能省略. 举例说明： 例5求立方根的过程是严格按照定义书写的，这样有利于学生体会开立方与立方的互逆关系.后面做练习时，学生的表述可以适当简化. 借助计算器求一个数的立方根，求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）. 按键时注意区分与. 这样提问，是为了突出平方根与立方根的对比，便于弄清两者的区别与联系. 任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同． 探究3答案： ±，； 非负数，任意数； 2，1，没有，正数，0，负数. 探究4答案： 2 0 -3 8 27 -64 根据立方的定义，可知a 是a的三次方，所以a 的立方根是a，即=a. 探究5答案： -3 -4 -3 -4 -a与a互为相反数，也互为相反数， 所以. 任何一个数的立方根的符号与原数的符号相同． （4）根据公式=a可直接写出答案. 本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a－3b的立方根，体现了方程思想的应用． 只有0和1的算术平方根等于本身； 只有-1,0和1的立方根等于本身. 任何一个数都有立方根，且有唯一一个立方根. 本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求解． 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 根据正方体体积求棱长，实质上就是求一个数的立方根. 如果已知正方体的体积扩大a倍，那么这个正方体的棱长扩大倍.
板书设计
教后反思 本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识．在教学时可引导学生对比平方根进行学习，理解立方根与平方根的区别.
第6章 实 数
6.2 实 数
第1课时 实数的概念及分类
课题 实数的概念及分类 课型 新授课
教学内容 教材第9-12页的内容
教学目标 1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数. 2.掌握实数的概念，会对实数进行分类.
教学重难点 教学重点：理解并掌握无理数、实数的概念，并会进行正确分类. 教学难点：判断一个数是不是无理数.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 思考：在下图中，你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？ 老师提问，学生口答： （1）有面积分别是1，4，9的格点正方形吗？ （2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来. （找学生上来画一个面积是2的格点正方形） 老师追问：还有与这些面积不相同的格点正方形吗？ （找学生上来画一画） 教师根据学生画的，总结：还有面积为5的格点正方形. 2.探索新知，归纳知识 【探究1】我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形（如图），这种正方形的边长应是多少？ （老师引导学生，回顾已知正方形的面积求边长的方法） （学生陈述，老师写板书） 设这种正方形的边长为x，则x =2. 因为x＞0，所以x= 【探究2】是一个怎样的数呢？ 老师提问，学生口答： 问题1：是整数吗？为什么？ （师生活动）学生思考并尝试解释，老师给出正确答案. 显然不是整数. 因为1 =1＜2，2 =4＞2，所以没有任何一个整数的平方等于2.也就说明不是整数. 问题2：在哪两个相邻的整数之间？ 因为1 =1＜2，2 =4＞2，所以1＜＜2. 问题3：在哪两个一位小数之间呢？ 请学生计算：1.1 =____;1.2 =____;1.3 =____;1.4 =____;1.5 =____;1.6 =____. 从而得到：_____＜＜_____.（提问学生回答） （老师确认答案）因为1.4 =1.96＜2，1.5 =2.25＞2，所以 1.4＜＜1.5. 问题4：在哪两个两位小数之间呢？ 请学生计算：1.41 =____;1.42 =____;1.43 =____. 从而得到：_____＜＜_____.（提问学生回答） （老师确认答案）因为1.41 =1.988 1＜2，1.42 =2.016 4＞2，所以1.41＜＜1.42. （老师使用计算机操作）归纳总结： 像上面这样一直（无限）做下去，可以得到： =1.414 213 5…. 我们发现，这个小数是可以无限写下去，而且数字是没有规律的，可以称它为无限不循环小数. 问题5：是不是有理数呢？ 带领同学们复习有理数的相关概念. （师生活动）学生回答后，老师给出总结： 我们知道，有理数包括整数和分数，而整数和分数可以统一写成分数的形式，也就是说，有理数可以写成分数的形式. 老师追问：如果有理数全部表示成小数形式呢？什么样的小数是有理数？（请学生计算下面各题,改写为小数） 2=________；=_________；=_________；=_________. （师生活动）一起总结：发现任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.因此有理数是有限小数和无限不循环小数. 所以不是有理数. 老师追问：那么像这种无限不循环小数还有吗？ （学生举例，老师总结，引出无理数概念） =1.732 050 80…，=1.442 249 57…，π=3.141 592 65…. 这些都是无限不循环小数，无限不循环小数叫做无理数. 无理数可分为正无理数（如，，π等）与负无理数（如，，－π等）. 【探究3】实数的概念与实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 老师提问：实数怎么分类？（学生尝试分类） （师生活动）引导学生按两种形式分类 （1）按化成小数的类型分类 （2）按大小关系分类 3.学以致用，应用新知 考点1 认识无理数 【例1】在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.101 001 000 1…，无理数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 考点2 估计无理数的大小 【例2】设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：D 考点3 实数的分类 【例3】把下列各数分别填到相应的集合内： －3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.101 00…. (1)有理数集合{　　　　　　　…}； (2)无理数集合{　　　　　　　…}； (3)整数集合{　　　　　　　　…}； (4)负实数集合{　　　　　　　…}． 答案：(1)有理数集合{-3.6，，5,0,－，，3.14，…}； (2)无理数集合{，，，0.101 00…，…}； (3)整数集合{，5，0，－，…}； (4)负实数集合{－3.6，，－，…}． 4.随堂训练，巩固新知 1.（日照中考改编）在实数，，，中无理数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2.下列说法正确的是(　　) A．正实数和负实数统称为实数 B．正数、零和负数统称为有理数 C．带根号的数和分数统称为实数 D．无理数和有理数统称为实数 答案：D 3.下列各数分别填入下列相应的括号内： ，，，π，，，，，0，，0.373 773 777 3…. （1）无理数：{ …}； （2）有理数：{ …}； （3）正实数：{ …}； （4）负实数：{ …}. 答案：（1）无理数：{，，π，，0.373 773 777 3…，…}； （2）有理数：{，，，，0，，…}； （3）正实数：{，，，π，，0，，0.373 773 777 3…，…}； （4）负实数：{，，，…}. 5.课堂小结，自我完善 （1）无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数. （2）实数的概念：有理数和无理数统称为实数. （3）实数的分类 6.布置作业 课本P12练习第1、3题，P15习题6.2第1、2题. 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，可以得到一个面积为2的大正方形. 根据上面的拼接，我们知道这个正方形的面积是四个小正方形面积的一半，即两个小正方形的面积和2. 正方形的边长，取面积的算术平方根. 采用逐步逼近的方法探究是一个无限不循环小数. 用被开方数所在的范围，估计二次根式的范围. 设置多个小问的目的是降低思维难度，让学生真切感知推理探究的依据. 问题3答案： 1.21,1.44,1.69, 1.96,2.25,2.56. 1.4,1.5 问题4答案： 1.988 1,2.016 4， 2.044 9. 1.41,1.42 可以让学生放到教材P4,对照用计算器得到的的结果. 答案：2.0；0.625； 0.；0.1428. 参考数学园地尝试化一下：0.2. 0.2= 开方开不尽的数（如等），π，2.101 001 000 1…（两个1之间依次增加一个0）等这些都是无限不循环小数，都是无理数. 分类的方法可以不同，但是一定要坚持分类的标准统一，做到不重复、不遗漏. 常见无理数的三种形式：①是开方开不尽的数，②是化简后含有π的数，③是无规律不循环的小数. 本题的关键是根据特殊有理数找出最接近的完全平方数. 实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数． 判断一个数是有理数还是无理数，要看这个数化简后是什么数，比如=2，是有理数. 提醒学生注意，并不是所有含根号的数都是无理数. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.
板书设计 1.无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数. 无理数包含的三类数： (1)开方开不尽而得到的数； (2)圆周率π以及含有π的数； (3)看似循环，但不循环的无限小数． 2.实数的概念 3.实数的分类
教后反思 本节课学习了无理数、实数的有关概念及实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念． 本节课要注意的地方有两个： ①所有的分数都是有理数 ②化简后含有π的的数是无理数.
第6章 实 数
6.2 实 数
第2课时 实数的运算与大小比较
课题 实数的运算与大小比较 课型 新授课
教学内容 教材第13-15页的内容
教学目标 1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义. 2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较.
教学重难点 教学重点：理解实数与数轴一一对应的关系，能进行实数的大小比较. 教学难点：理解实数与数轴一一对应的关系.
教 学 过 程 备 注
1.回顾与思考 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ，0，1.41，， （学生回答） 老师追问：之前学习过有理数可以用数轴上的点来表示，那么无理数能用数轴上的点表示吗？ 2.探索新知，归纳知识 【探究1】能用数轴上的点表示吗？ 如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线长（）为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作A，那么，点A表示什么数？ （老师引导学生，回顾有关圆中半径的特点） 图中0A的长度等于所画圆弧的半径，即，因此点A表示的数是. 老师追问：图中点A’是画圆弧时与数轴的另一个交点，它表示什么数呢？ 显然，图中0A’的长度等于所画圆弧的半径，即，因为点A’在原点左侧，因此点A’表示的数是. （根据学生的回答，老归纳总结） 一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. （请学生在数轴上找出表示无理数） 【探究2】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样吗？ （类比有理数，回答下面问题） （1）的相反数是______，的相反数是______， 的相反数是______. （2）2的倒数是_______，的倒数是______， 的倒数是______. （3）2的绝对值是_______，-2的绝对值是______. 的绝对值是______，的绝对值是______. （师生活动）根据学生的回答，老师引导学生归纳总结： 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内一样. 并且任一个实数a的绝对值仍然用|a|表示. 【探究3】有理数可以做加、减、乘、除、乘方、开立方运算，正有理数可以开平方运算，这些在实数范围可以进行吗？ （老师直接总结）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用. （老师提问）两个无理数的和、差、积、商是否仍然是无理数？ （教师引导，学生举例说明） 两个无理数的和、差、积、商可能是有理数. 【探究4】实数的大小比较 两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点表示的数. 在实数范围内也有： 正数大于零，负数小于零，正数大于负数. 两个正数，绝对值大的数较大. 两个负数，绝对值大的数反而小. 【教材例题】 例1 近似计算： （1）+π（精确到0.01）； （2）×（精确到0.1）. 解：（1）+π≈1.732+3.142=4.874≈1.87. （2）×≈2.24×2.65=5.936≈5.9 . 例2 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们. -1，，-2，-，|-2|，5. 解： -2＜-＜-1＜＜＜|-2|＜5. 【交流思考】比较和的大小 （学生分组讨论探究）学生给出答案 （教师确认答案及比较方法）＜ 方法一：可以用计算器直接计算出近似值，然后比较. 方法二：根据分数的大小比较方法，分母相同，比较分子即可. 用作差法比较分子的大小：. =3，所以＜0，＜1，＜. 3.学以致用，应用新知 考点1 求数轴上的点对应的实数 【例1】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是(　　) A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1 解析：圆的周长为πR=π. 圆的滚动方向分情况讨论： 向左滚动一周后，点A’表示－π－1； 向右滚动一周后，点A’表示π－1. 答案：D 考点2 实数的性质 【例2】求下列各数的相反数和绝对值： (1)；　(2)－；　(3)－1＋. 解：(1)的相反数是－，绝对值是； (2)－的相反数是－－，绝对值是－－； (3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋. 考点3 实数的简单运算 【例3】计算－的结果是(　　) A．3 B．7 C．－3 D．－7 答案：A 考点4 实数的大小比较 【例4】比较大小：与. 解：因为＝<0，所以＜. 或＝－1＜1，所以＜. 4.随堂训练，巩固新知 1.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 答案：C 2.如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是(　　) A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处 C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上 答案：B 3.估计与 6 的大小. 答案：因为37＞36，所以＞6. 5.课堂小结，自我完善 1．实数与数轴的关系 实数与数轴上的点一一对应． 2．实数的性质 有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义． 3．实数的运算 4．实数的大小比较 正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小． 6.布置作业 课本P15练习第3、4题，P15习题6.2第3、4题. 回顾旧知，为新课奠定基础. 表示有理数的点在数轴上都能找到. 由于学生还没有学习勾股定理，因此可以引导学生是根据上一节求正方形边长所得出（参考教材P9图6-6）. 类比有理数在数轴上表示的方法： 在数轴上，表示正数的点在原点右侧，表示负数的点在原点左侧. 有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点是一一对应的，通过在数轴上表示实数，让学生进一步体会数形结合的思想. 答案： （1）+()=0， +=0. -2 - （2）×()=1, ×()=1. （3）2 2 加：+()=0 减：=0 乘：×()=1 除：÷=1 这两个例题，说明有理数的运算性质和运算律在实数范围仍然成立. 注意：此处不涉及二次根式的性质. 实数的大小比较与有理数的相似，利用数轴直接比较即可. 作差法涉及二次根式的简单运算，以及对二次根式的估算. 也可用来比较两个带根号的负实数的大小. 此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，充分体现了数形结合的思想. 注意在没有说明滚动方向时，要分情况讨论.此题 求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可． 求一个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 作差法比较实数大小：设a，b为任意两个实数，当a－b<0时，a0时，a>b． 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，巩固所学知识，加深对有理数分类的认识.
板书设计
教后反思 通过复习有理数的性质、运算及大小比较，并强调这些在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.

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