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沪科版七年级数学下册第七章（同步教学设计）
第7章 一元一次不等式与不等式组
单 元 备 课
第7章 本单元所需课时数 10课时
课标要求 1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型思想，建立符号意识. 2结合具体问题，了解不等式的意义. 3.探索并掌握不等式的基本性质. 4.理解不等式（组）的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集;会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集. 5.通过用数轴表示不等式(组）的解的过程，发展几何直观. 6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理，发展应用意识. 7.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别. 8.进一步感受数学和生活的联系，体会数学的价值.
教材分析 本章是在学生掌握了有理数的大小比较、等式及其性质、一元一次方程和方程组等知识的基础上进行的.不等式的概念和性质、一元一次不等式及不等式组是最基本的内容,对它的学习可为后续不等式知识的学习打下基础.
主要内容 本章的主要内容是不等式及其基本性质、一元一次不等式（组）、解一元一次不等式(组).7.1节“不等式及其基本性质”主要是通过解决实际问题，引入不等关系，然后探究不等式及其基本性质，7.2节“一元一次不等式”主要是学习一元一次不等式的概念及其解法，再根据实际问题中约束条件的增加，引出7.3节“一元一次不等式组”.
教学目标 1.了解不等式的意义;理解不等式的解和解集的意义. 2．探索不等式的基本性质;能运用不等式的基本性质探究一元一次不等式的解法. 3.掌握一元一次不等式的解法;会用数轴确定不等式的解集,并能体会解法中蕴含的化归思想. 4.了解一元一次不等式组及其解集;会解一元一次不等式组；会用数轴求出不等式组的解集;了解数形结合的方法. 5.经历“问题情景—数学建模—问题解决”的学习过程,感受数学的应用价值;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题.
课时分配 7.1 不等式及其基本性质 2课时 7.2 一元一次不等式 3课时 7.3 一元一次不等式组 2课时 7.4 综合与实践 排队问题 1课时 数学活动 小结 2课时
教与学建议 1.教学中始终关注学生活动的整个过程，关注学生参与教学活动的积极性、思维特质和动手能力. 2.教学中应通过平时练习、测验或口头提问等多侧面了解学生对基础知识的理解与掌握. 3.教学中引导学生有效地从实际问题中建立数学模型，求出符合实际的解.
7.1 不等式及其基本性质
课题 不等式及其基本性质 课型 新授课
教学内容 教材第23-27页的内容
教学目标 1.熟练掌握常见不等号的读法和意义. 2.理解并掌握不等式的概念，会用不等式表示数量之间的不等关系. 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质解不等式. 4.通过观察、思考、探究、交流的学习过程，体会数学发现的乐趣.
教学重难点 教学重点：理解并掌握不等式的概念及其基本性质. 教学难点：理解不等式的基本性质，正确分析实际问题中的不等关系，并能用不等式表示.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【问题1】用适当的式子表示下列关系： （1）2x与3的和不大于-6； （2）x的5倍与1的差小于x的3倍； （3）a与b的差是负数. （师生活动）老师引导学生复习学习过的不等关系、实数的大小比较、代数式等知识，写出本题答案. 老师提问式分析，学生口答： （1）2x与3的和表示为_______，它不大于-6，表示为______. （2）x的5倍与1的差表示为_____,x的3倍表示为_____,它们之间的关系表示为_______； （3）a与b的差表示为_____,它是负数，可以表示为_____. 答案：（1）2x+3，2x+3≤-6；（2）5x-1，3x，5x-1＜3x； （3）a-b，a-b＜0. 【问题2】雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高. 设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是_______________. 老师提问：该问题中，雷电的温度与太阳表面温度之间是怎样的关系？ 老师追问：它们的关系用数学语言怎样表示呢？ 学生分组讨论，最后老师提问学生回答. 老师总结：雷电的温度比太阳表面温度的4.5倍还高. 也就是：雷电的温度＞太阳表面温度×4.5 用数学语言表示：28 000＞4.5t 【问题3】一种药品每片为0.25 g，说明书上写着：“每日用量0.75~2.25 g，分3次服用”.设某人一次服用x 片，那么x应满足的关系式是________________. （师生活动）学生分组分析问题中存在的数量关系，探究x满足的条件. 老师提问：说明书上的用量0.75~2.25 g，转化为片数，应该是____~____片，从而得到x满足的关系式为___________. 【归纳总结】 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式. 2.探索新知，归纳知识 【回顾复习】等式的基本性质 （师生活动）老师引导学生回答，老师板书 等式的基本性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立. 如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的基本性质2：等式的两边都乘（或除以）一个不为 0 的数，等式仍然成立. 如果a=b，那么ac=bc,，c≠0. 【探索新知】不等式具有怎样的性质？ 老师展示教材P24观察中图7-3，并提出下列问题： 问题1：根据图中左侧天平，可以直观得到关系式________. （a＞b或b＜a） 问题2：如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平的倾斜方向会改变吗？（不改变） 这时可以得到的数量关系是__________. （a+c＞b+c或b+c＜a+c） 问题3：如果在两端托盘中同时减去质量为c的物体，天平的倾斜方向会改变吗？（不改变） 这时可以得到的数量关系是__________. （a-c＞b-c或b-c＜a-c） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 如果 a＞b，那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c. 【思考】对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？ 老师举例分析：在上面的天平中，左侧托盘中增加一个质量为a的物体，右侧托盘中增加一个质量为b的物体，此时左侧质量为2a，右侧质量为2b，显然天平的倾斜方向不改变，也就是2a＞2b. （学生举例分析，缩小为原来的时的情况） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 2 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc，. 【探究】不等式的基本性质3 问题1：如果a＞b，那么它们的相反数-a与-b哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？ 已知a,b在数轴上的位置如图所示，找出-a,-b的位置，并比较大小.（请学生上台找出来，并比较大小） -a______-b 【问题2】根据问题1，我们知道，如果a＞b，那么-a＜-b，这个式子可理解为：a×（-1）＜b×（-1）. 这样，对于不等式a＞b，两边同时乘以-3，会得到什么结果呢？（学生小组交流，老师提醒，可以使用前面的性质1,2） （师生活动）老师引导学生回答， （完成以后，回答下列问题）用“＞”“＜”或“=”填空： 已知5＞4，那么： 5×2_____4×2； 5÷2_____4÷2； 5×（-2）______4×（-2）； 5÷（-2）______4÷（-2）. 根据上面例题，回答下面问题： 【问题3】如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？（显然ac＜bc） （教师引导学生，总结不等式的基本性质） 性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 如果 a > b，c ＜0，那么 ac＜bc，. （思考）等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗 （学生复习回顾等式的对称性及传递性） 老师提问：已知 x > 5，那么 5 < x 吗 （5＜x） （引出性质4） 性质4 如果a＞b，那么b＜a. 【观察】如图，设数轴上的三个点A，B，C分别表示三个实数a，b，c.从中你能发现不等式的什么性质？ （师生活动）观察数轴，不难发现c＜b＜a，这就体现了不等式的另一个性质（引出不等式的基本性质5）. 性质5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°. 【交流】等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点. 板书呈现，学生分小组交流讨论. 3.学以致用，应用新知 考点1 不等式的概念 【例1】下列式子是不等式的有(　　) A．2个　　B．3个　　 C．4个　　　D．5个 解析：判断一个式子是否为不等式的关键在于式子中是否含有“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”，由此可知②③⑤⑥⑧是不等式． 答案：D 考点2 用不等式表示简单的数量关系 【例2】下列数量关系用不等式表示错误的是(　　) A．若a是负数，则a＜0 B．若m的值小于1，则m＜1 C．若x与－1的和大于0，则x－1＞0 D．若a的大于b，则 a≠b 答案：D 考点3 根据实际问题列不等式 【例3】 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元，知道他至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350 C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350 答案：B 考点4 不等式的性质 【例4】下列推理正确的是(　　) A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2 C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d 答案：C 【例5】（2021河北中考）已知a＞b，则一定﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 答案：B 考点5 把不等式化成“x>a”或“x－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 答案：B （2）根据下列数量关系，列出不等式： ①x与2的和是负数； ②m与1的相反数的和是非负数； ③a与－2的差不大于它的3倍； ④a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍． 解：①x＋2<0； ②m－1≥0； ③a＋2≤3a； ④a2＋b2≥2ab. （3）用“ > ”或“ < ”填空： ①如果1-x>3，那么-x ______3-1，得 x______-2； ②如果x+2<3x+8，那么x-3x____8-2，即-2x___6，得x___-3. 答案：①＞ ＜ ②＜ ＜ ＞ （4）已知m＜5，将不等式( m－5 ) x＞m－5变形为“x＜a”或“x＞a”的形式. 解：因为m＜5，所以m－5＜0(不等式的基本性质1). 由(m－5)x＞m－5，得x＜1(不等式的基本性质3). 5.课堂小结，自我完善 （1）不等式的概念：用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式. （2）不等式的基本性质： 性质1：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c； 性质2：如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc，； 性质3：如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc，； 性质4：如果 a＞b，那么 b＜a； 性质5：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c. 6.布置作业 课本P26练习第1-4题，P27习题7.1第1、3、4、5题. 本节通过问题1复习，接着由2个实际问题让学生体会实际生活中广泛存在的不等关系. 不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示. 也可以写成： 太阳表面温度×4.5 ＜雷电温度， 4.5t＜28 000. 答案： 1 3 1≤x≤3 “≥”可以表示“至少”“不少（小）于”等； “≤”可以表示“之多”“不超过”“不大于”等. 类比是重要的数学思想，探索不等式的基本性质时，注意与等式的基本性质进行比较. 结合生活实际，回答问题. 然后类比等式的基本性质，结合探究结果，总结不等式的基本性质. 不等式的基本性质1中，提醒学生不管c取任何实数，不等号的方向都不改变. 引导学生举例分析，通过不断探索得出结论，让学生体会数学中的乐趣. 不等式的基本性质2中，提醒学生特别注意c＞0，不等号的方向不变. 在数轴上表示a,b的相反数： 显然-a＜-b. 对于不等式a×（-3）＜b×（-3），两边同时除以-3，会得到什么结果呢？（引导学生倒推回去） a×（-3）÷（-3）＞b×（-3）÷（-3） 不等式的基本性质3 是本节的重难点，课堂中注意引导学生独立探究，在探究中理解记忆. 提醒学生注意不等式的基本性质3中，c＜0，不等号的方向改变. 注意引导学生结合等式的基本性质类比不等式的基本性质，让学生感受类比的数学思想. 老师需要提醒学生注意，在不等式的基本性质3中，不同于等式的基本性质，这里要求c≠0，这是方程变形与不等式变形的一个重要区别，教学中要引起高度重视. 关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 用不等式表示实际问题中数量关系时，要找准题干中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；正确理解题中的关键词，如大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义． 运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1. 此考点为下一节学习解一元一次不等式奠定了基础，强调务必打好基础. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计
教后反思 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方.
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的概念及解法
课题 一元一次不等式的概念及解法 课型 新授课
教学内容 教材第28-31页的内容
教学目标 1.理解一元一次不等式、不等式的解集、解不等式等概念. 2.掌握一元一次不等式的解法,并能在数轴上表示出不等式的解集. 3.体会解一元一次不等式与解一元一次方程之间的不同.
教学重难点 教学重点：理解一元一次不等式的概念和解法. 教学难点：会用数轴表示不等式的解集.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【回顾复习】某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元.如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？ （老师提问）本题中存在什么数量关系？ 该公司增加的年利润=该公司科研经费增加的数量×1.8 该公司原来的年利润+增加的年利润＞245万元 （老师追问）若设该公司增加科研经费x万元，那么年利润增加多少？（增加1.8万元） 从而可以得到不等式:200+1.8x＞245. 2.探索新知，归纳知识 像200+1.8x＞245这种，含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式. （小试牛刀）判断下列不等式是一元一次不等式的有_____. ①x+2＜2，②x -1＞0，③3+x＞y， ④＜3，⑤x（x+1）＜2x. 【探究1】对于不等式200+1.8x＞245，x取不同的值，这个不等式有什么变化？ （师生活动）当x分别取26,25,24时，不等式还成立吗？ 当x取26时，代入原不等式左边，得200+1.8×26=246.8， 246.8＞245，原不等式成立； 当x取25时，代入原不等式左边，得200+1.8×25=245. 245=245，原不等式不成立； 当x取24时，代入原不等式左边，得200+1.8×24=243.2， 243.2＜245，原不等式不成立. 这也就说明了，当x取某些值（如26）时，不等式200+1.8x＞245成立；当x取另外一些值（如25，24）时，不等式200+1.8x＞245不成立. 【思考】 1.判断下列给出的数中哪些能使不等式200+1.8x＞245成立：30.5，24.5，25.5，22，10. 学生计算后回答：30.5,25.5可以使不等式成立. 2.你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？能找到多少个？ 学生回答：当x取27时，代入原不等式左边，得200+1.8×27=248.6， 248.6＞245，原不等式成立； 当x取28时，代入原不等式左边，得200+1.8×28=250.4， 250.4＞245，原不等式成立； 可以找到无数个数使不等式成立. （老师总结）一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集. 所以说，当未知数在这个范围内取值时,不等式能成立;当未知数在这个范围之外取值时,不等式不能成立. 老师提问：有哪位同学能说一下不等式的解与不等式的解集的区别与联系. 学生1：不等式的解是满足不等式的一个解，不等式的解集是满足不等式的所有的解； 学生2：不等式的解集里包含不等式的解. 老师总结： 老师提问：那么我们应该怎么找到这个范围呢？ 学生回答：解这个不等式就行了. （老师给出定义）求不等式的解集的过程叫做解不等式. 老师引导：请同学们先回顾一下解一元一次方程的步骤. 解方程：2x+8=2（2-x）（找学生在黑板上写答案） 解：去括号，得2x+8=4-2x，移项，得2x+2x=4-8, 合并同类项，得4x=-4，系数化为1，得x=-1. 老师点评：解题过程既规范又正确，下面就请同学们仿照解方程的步骤，解下面的一元一次不等式. 【教材例题】 例1 解不等式：2x+5≤7（2-x）. （找学生在黑板上写答案） 解：去括号，得2x+5≤14-7x.移项，得2x+7x≤14-5. 合并同类项，得9x≤9.x系数化成1，得x≤1. 老师点评：解题过程很完美. 根据这位同学的解题过程，我们可以总结，解一元一次不等式的过程：去括号——移项——合并同类项——系数化为1. 老师继续提问：我们之前学习过数轴，如果让你们把上面不等式的解集表示在数轴上，该怎么表示呢？ 请两位同学上来画一下. 学生甲： 学生乙： 老师点评：学生甲的画法是错误的，学生乙的是正确的. 总结：在数轴上表示不等式的解集时，端点数也满足不等式时，在数轴上端点处要画出实心点，端点数不满足不等式时，在数轴上端点处要画成空心点.且大于往右画，小于往左画. 【教材例题】 例2 解不等式：-1＜，并把它的解集在数轴上表示出来. （找学生在黑板上写答案） 解：去分母，得2（4+x）-6＜3x. 去括号，得8+2x-6＜3x. 移项、合并同类项，得-x＜-2. x系数化成1，得x＞2. 在数轴上表示不等式的解集为 老师点评：解题过程很完美.尤其是在最后一步，系数化为1时，没有忘记不等号变号，值得表扬.另外，在数轴上表示解集时，端点处画空心点，处理的也很好. 老师总结：根据这位同学的解题过程，我们可以总结，解带分母的一元一次不等式的过程：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1（特别注意系数为负数的情况）. 通过解上面两个例题，下面请同学们交流讨论一下，一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法有哪些相同点和不同点？是什么原因造成它们之间不同的呢？（观察后回答） 学生交流：看着和解一元一次方程的步骤一样啊，就是等号换成了＞或＜. 老师提醒：观察一下上面两个的最后一步，有什么发现？ 学生回答：知道了，系数化为1时，解方程利用等式的性质，得到解，仍是等式；而解不等式利用不等式的基本性质3，不等号变号了. 老师点评：非常棒，它们之间的不同就在于“系数化为1”时，如果前面的系数是负数，那么解不等式时就要变号，而解方程是不变的. 3.学以致用，应用新知 考点1 一元一次不等式的概念 【例1】下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　) A．5x－2＞0 B．－3＜2＋ C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2 解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式，所以选A. 答案：A 考点2 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 【例2】已知是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是_______． 解析：由题意，可知2a-1=1,解得a=1. 答案：1 考点3 一元一次不等式的解与解集 【例3】在-4，-3，-2，-1，0，，中，能使不等式x-2＞2x成立的数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 【例4】下列说法： ①x＝0是2x－1＜0的一个解； ②x＝－3不是3x－2＞0的解； ③－2x＋1＜0的解集是x＞2. 其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 考点4 解一元一次不等式 【例5】不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示的是( ) 答案：D 【例6】解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：去括号，得12-6x≥2-4x.移项，得 -6x+4x≥2-12.合并同类项，得-2x≥-10.x系数化为1，得x≤5. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示： 考点5 求一元一次不等式的特殊解 【例7】当x取什么值时，代数式的值大于或等于0？ 并求出所有满足条件的正整数。 解：根据题意，得≥0 ，解得x ≤ 6. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示： 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6. 4.课堂小结，自我完善 （1）一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. （2）解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫做解不等式. （3）解一元一次不等式的步骤： 去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1（特别注意系数为负数的情况）. 5.布置作业 课本P30练习第1-3题，P31练习第1-3题. 本节由实际问题引出一元一次不等式的概念，用类比的方法探究一元一次不等式的解法. 对于此问题，采用老师提问，学生口答的形式，帮学生回顾上一节知识，引出本节知识. 让学生根据概念判断一下. 类比判断某一个数值是不是方程的解，同样把数值代入不等式的一边，验证不等式是否成立. 这种验证方法为下一步验证不等式解的不唯一性及学习不等式的解集奠定基础. 这里可以帮助学生理解不等式解的意义，即可以使不等式成立的数不是唯一的，同时也不是所有的数都能使不等式成立，从而引出不等式解集的定义. 一般地,不等式的解是某个特定范围内的所有数的全体,把这个范围称为不等式的解集. 通过对比，让学生理解某个使不等式成立的数只是不等式的一个解，是不等式成立的一个方位，是不等式的解集. 让学生回顾一元一次方程的解题步骤，从而自主探求一元一次不等式的解法，可以提升学生类比归纳的能力，切身体会类比的数学思想. 本题中没有涉及去分母，这里暂时可以不提去分母. 用数轴百世不等式的解集，简单明了，是数形结合的具体体现，要特别强调端点处空心点与实心点的使用，让学生理解它们在表示不等式解集时的差别. 例2是含分母的一元一次不等式，注意第一步就是去分母. 本题与例1比较，强调不等式基本性质3的应用，即在最后一步，x系数化为1时，若此时x的系数是负数，就需要应用基本性质3，改变不等号的方向. 此处思考问题，尽量让全体学生参与探索，鼓励学生发现解一元一次不等式与解一元一次方程的区别只在于“系数化为1”这一步，其余的二者一样，培养学生的自学能力与归纳能力. 通过做题，让学生体会一元一次不等式满足的三个条件： ①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1； ③不等式的两边都是关于未知数的整式． 应用一元一次不等式满足的条件解题. 判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，再进行比较即可． 在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈． 本节的重点是寻求解一元一次不等式的“通法”，准确在数轴上表示不等式的解集，开始接触应该让学生按照一般步骤、规范格式做练习，以养成良好的解题习惯.
板书设计
教后反思 本节课通过类比一元一次方程的解法，得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在系数化为1这一步时有所不同，这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，让学生自己探索解题步骤，体会类比的数学思想. 系数化为1时，如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变.
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
课题 一元一次不等式的应用 课型 新授课
教学内容 教材第32-33页的内容
教学目标 1.能根据实际问题中的数量关系，列一元一次不等式求解，体会数学建模思想. 2.进一步巩固解一元一次不等式的方法和步骤.
教学重难点 教学重点：会在实际问题中寻找数量关系；会列一元一次不等式解决实际问题. 教学难点：累列一元一次不等式解决实际问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【回顾复习】上节课我们学习了如何解一元一次不等式，这节课我们学习如何列一元一次不等式解决简单的实际问题. 老师：先回顾一下应用一元一次方程解决实际问题的步骤. 学生回答：…… 老师： 【情境引入】 松山公园菊花展个人票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠.在人数不足20人的情况下，试问何时买20人的团体票比买个人票要便宜？ 2.探索新知，归纳知识 老师：我们首先分析题目，已知条件是什么，所求问题是什么？ 学生：已知每张票10元，买20张及以上打8折，目前人数比20人少，求：多少人买团体票时比单买个人票便宜. 老师：分析的很好，下面我们仿照用一元一次方程解决问题的步骤，一步步解决. 解：设人数为x，买个人票需要10x元，买20人的团体票需要20×10×80%元. 根据题意， 存在的等量关系是买个人票所需钱数＞买团体票所需钱数. 据此可以列出不等式10x＞20×10×80%. 解不等式，得x＞16. 老师问：这样就解决完了吗？ 学生1：还没有，人数需要是整数. 学生2：题干中限制人数小于20，所以x还应满足x＜20. 老师：同学们思考的很全面. 因为人数必须是小于20的整数，即x＜20.因此，当人数是17，18，19时，买20人的团体票比买个人票要便宜. 老师：根据上面的例题，我们一起归纳一下利用一元一次不等式解决实际问题的步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； ③列：由题意寻求不等关系，列出一元一次不等式； ④解：解一元一次不等式； ⑤答：根据实际情况，求出符合题意的解. 接下来，我们根据上面的步骤，练习几道题目. 3.学以致用，应用新知 【例1】学校准备用2 000元购买名著和辞典,其中名著每套65元,辞典每本40元.现已购买名著20套,问最多还能买辞典多少本 老师：谁能分析一下这道题中的已知条件与所求问题？ 学生：已知名著65元/套，买了20套，辞典40元/本，购买名著和辞典总费用不超过2 000元，问可以买多少本辞典. 老师：分析的很全面，并且注意到本题的关键信息：总费用不超过2 000元.所以我们可以得到本题的不等关系是： 学生：买名著的费用+买辞典的费用≤2 000元. 老师：是的，知道了这个不等关系，接下来列一元一次不等式就可以解决了.（下面请一位同学继续解答一下这个题） 学生：设可以买x本辞典，则辞典所需费用为40x元， 根据题意，得65×20+40x≤2 000, 解这个不等式，得x≤17.5. 因为本数是正整数，所以x最大取17. 因此最多还能买辞典17本. 老师：首先这位同学解题的格式十分规范，解题过程清晰，最后考虑到本题中的隐含条件“本数是正整数”,思考很全面，解决的很正确. 下面我们看另一道题. 【例2】某种导火绳燃烧的速度是0.8 cm/s,一位工人点燃导火绳后以6 m/s的速度跑到距爆破点120 m以外的安全区,问导火绳至少要多长 老师：这个题中我们要找的不等关系是关于什么的呢？涉及哪些公式？ 学生：涉及“时间=路程÷速度”，考虑关于时间的不等关系. 老师：是的，出于安全考虑，要求工人在爆破前就要跑到安全区，所以说工人跑的时间要比导火绳燃烧的时间短. 根据这个不等关系解决. 学生：设导火绳长x cm. 根据题意，得，解这个不等式，得x≥16. 因此，导火绳至少要16 cm. 老师：回答正确，这位同学是利用了“时间=路程÷速度”，根据时间比较的，其他同学还有不同的解法吗？ 学生：可以根据“路程=时间×速度”根据路程比较. 设导火绳长x cm. 根据题意，得，解这个不等式，得x≥16. 因此，导火绳至少要16 cm. 老师：该同学的回答也很正确，并且给我们提供了另一种解题思路.我们要学习这位同学，养成从多角度考虑问题的习惯. 4.随堂训练，巩固新知 （1）某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？ 解：设可以打x折出售此商品. 由题意，得180×－120≥120×20%. 解这个不等式，得x≥8. 答：最多可以打8折出售此商品． （2） 某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？ 解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为(25－x)． 根据他的得分要超过80分，得4x－2(25－x)＞80， 解这个不等式，得x＞21. 因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题． 答：小明至少要答对22道题． （3）有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？ 解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的为(10－x)人． 根据题意，得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6， 解得x≤4. 答：最多只能安排4人种甲种蔬菜． （4）“绿水青山，就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共10台(每种型号至少买1台).已知每台A型设备日处理能力为12吨，每台B型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨.请你为该景区设计购买A，B两种设备的方案. 解：设购买A型设备x台，则购买B型设备(10－x)台． 根据题意，得12x＋15(10－x)≥140，解得x≤3. 因为x为正整数，所以x＝1，2，3. 所以该景区有三种购买方案： 方案一：购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二：购买A型设备2台，B型设备8台； 方案三：购买A型设备3台，B型设备7台． 5.课堂小结，自我完善 本节课通过讲解例题的方式，引导学生利用一元一次不等式解决实际问题，最后归纳总结出解题步骤. 审→设→列→解→答 6.布置作业 课本P32练习第2题，P32习题7.2第6-9题. 本节仍可采用类比思想，结合通过回顾用一元一次方程解决实际问题的步骤，探索用一元一次不等式解决实际问题的步骤. 本节是在学习了一元一次不等式解法的基础上，利用不等式解实际问题. 根据利用一元一次方程解决实际问题的步骤，引导学生独立探索本题的解法，鼓励学生从不同的角度对问题进行分析，并对多种方案展开讨论，以提高学生探索交流的能力. 本题题干中的限制条件“x＜20”渗透了一元一次不等式组的解法，教学中要充分利用本节为下一节的学习做好铺垫. 可通过师生交流的形式归纳总结步骤，让学生参与进来，感受归纳总结的过程. 解决实际问题的关键是审清题意，明确题目所需已知条件及涉及的公式. 本题涉及的公式： 单价×数量=总价 采用老师提问，学生回答的讲题模式，引导学生独立解决. 最后提醒学生注意题目中的隐含条件. 一般未知数涉及人数、本数、题数等，所取值只能是正整数. 引导学生理解题中的“至少”“最多”“不超过”“不低于”等是建立不等式的关键词，也是列不等式的依据． 引导学生从多个角度看问题，开拓思维，同一个问题中，往往不止一个不等关系. 商品销售问题的基本关系： 售价－进价＝利润 利润÷进价=利润率 竞赛积分问题的基本关系： 得分－扣分＝最后得分． 调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数． 此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于方案设计问题，通过题目中的数量关系（等量关系或不等关系）找出问题的所有方案. 有时题目会要求找到最优方案，就需要进一步比较几种方案，然后进行选择.
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教后反思 本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与课堂学习，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系. 讲解例题过程中，可引导学生开拓思维，从多角度分析问题，解决问题.
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.3 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组
课题 一元一次不等式组及解简单的一元一次不等式组 课型 新授课
教学内容 教材第34-35页的内容
教学目标 1.了解一元一次不等式组的概含，理解一元一次不等式组的解集的意义,能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集. 2.通过探讨一元一次不等式组的解法及解集的确定,渗透数形结合的思想方法,感受类比与化归的思想.
教学重难点 教学重点：一元一次不等式组的解集和解法. 教学难点：一元一次不等式组解集的确定.
教 学 过 程 备 注
1.回顾复习，巩固旧知 老师：我们上节课学习了一元一次不等式，请同学们写出一个一元一次不等式.（学生1，学生2上讲台，在黑板上演示） 学生1：4x-4＞0 学生2：5-x＜6 学生3：…… 老师：写的都很正确，下面请解一下你们写出的一元一次不等式，并在同一个数轴上表示出来. 学生1：x＞1. 学生2：x＞-2. 学生3：…… 老师：很好，我们发现，他们两人在数轴上画的线，有重叠的地方，这是怎么回事呢？带着你们的好奇心，我们来学习本节的知识. 2.创设情境，引入课题 问题① 小莉带5元钱去超市买作业本，她拿了5本，付款时钱不够，于是小莉退掉一本，收银员找给她一些零钱.请你估计一下，作业本的单价约是多少元？ 老师：读完这个题目，我们请一位同学分析它的已知条件与所求问题. 学生甲：已知用5元钱买作业本，买5本钱不够，退掉一本，也就是买4本，钱还有剩余，需要求作业本的单价. 老师：学生甲帮我们审清了题意，那么我们就知道这个题中存在的不等关系. 学生乙：我知道，有两个不等关系. ①根据“拿5本，付款时钱不够”可知，5本作业本的钱大于5元； ②根据“退掉一本，收银员找给她一些零钱”可知，4本作业本的钱小于5元. 老师：很好，这样我们就可以参考上节课学习的利用一元一次不等式解决实际问题来列不等式求解了. （师生互动）设作业本的单价为x元， 那么5本作业本的价格为5x元，根据学生1分析的不等关系①，可列不等式5x＞5, 4本作业本的价格为4x元，根据学生1分析的不等关系②，可列不等式4x＜5. 显然，作业本的单价x应同时满足上述两个不等式. 针对这种问题，类比二元一次方程组给出一种新的书写方式， 我们把这两个不等式合写在一起，并用括号括起来，就得到一个不等式组： 接下来我们再看另一个例子. 问题② 某村种植杂交水稻8 hm ，去年的总产量是94 800 kg.今年改进了耕作技术，估计总产量比去年增产2%~4%（包括2%和4%）.那么今年水稻平均每公顷的产量将会在什么范围内？ 老师：小组讨论分析，找出已知条件与所求问题，并找到题中包含的不等关系. 3组学生代表：本题的关键是“总产量比去年增产2%~4%（包括2%和4%）”.所以存在两个不等关系： ①总产量比去年最少增产2%，今年总产量≥去年总产量×（1+2%）； ②总产量比去年最多增产4%，今年总产量≤去年总产量×（1+4%）. 老师：3组同学分析的很正确，找到了这两个不等关系，我们参考问题①做出解答. （师生互动）设今年水稻平均每公顷的产量为x kg，则今年水稻的总产量为8x kg，根据题意，得 老师：接下来，我们为这个式子起个名字. 3.探索新知，归纳知识 像上面这样，由几个含有同一未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 老师：在这里需要特别注意一元一次不等式组概念中的关键词“几个”“同一个未知数”“一元一次”. 一元一次不等式组必须同时满足三个条件： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②含有同一个未知数； ③不等式的个数不少于2. 老师提问：是不是一元一次不等式组？ 学生：是. 老师：知道了什么是一元一次不等式组，下面来求解一元一次不等式. 例：一元一次不等式组的解集如何确定 老师：同学们可以小组交流讨论一下解法，类比二元一次方程组的解法试一试. 学生讨论：是不是把两个不等式的解集合一起就是这个不等式组的解？ 应该不是，不能单纯地合一起，可能是两个一元一次不等式解集的公共部分才是这个不等式的解. （师生互动）我们可以在同一个数轴分别表示这个不等式组中的两个不等式的解.如图： 通过数轴，我们知道两条线重叠的部分就是同时满足两个不等式的解集，也就是不等式组的解集. 因为解集的公共部分是x＞0，所以原不等式组的解集是x＞0. 老师总结：求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组. 下面我们看一下教材中的例题. 【例1】解不等式组： （师生互动）下面我们一起来解这个不等式组. 解不等式①，得x＞-1.5， 解不等式②，得x＞2. 在数轴上分别表示这两个不等式的解集. 所以这个不等组的解集是x＞2. 老师：学习完这个例题，我们来练习一下. 4.学以致用，应用新知 考点1 一元一次不等式组的概念 【例1】判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ （1）　 (2)　(3) (4)　 (5) 答案：（3）（5） 考点2 一元一次不等式组的解集 【例2】不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 答案：C 考点3 解简单的一元一次不等式组，并在数轴上表示解集 【例3】解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来. 解：解不等式①，得x＞-2， 解不等式②，得x＜3. 在数轴上分别表示这两个不等式的解集. 所以这个不等式组的解集是-2＜x＜3. 5.课堂小结，自我完善 （1）一元一次不等式组的概念：由几个含有同一未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. （2）解不等式组：求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组. 6.布置作业 课本P35练习第1-2题，P37习题7.3第1题. 引导学生复习一元一次不等式的概念与解法，为解一元一次不等式组做好铺垫. 用生活中的实例引入，激起学生学习的兴趣，让学生体会熟悉来源于生活，同时让学生感受，可以从实际问题问题中抽象出数学模型，从而解决问题. 鼓励学生交流讨论对“够”与“不够”的理解，自主探索出题目中存在的两个不等关系. 课堂中鼓励学生分组讨论交流，培养学生良好的思维习惯和合作交流意识. 再一次让学生感受同一个x可以同时符合两个不等式的要求，为引出一元一次不等式组及其解集做铺垫. 课堂中引导学生通过类比二元一次方程组的概念得出一元一次方程组的概念. 讲解过程中，老师强调有时一个未知数同时满足的不等式不止是2个，可以使3个，甚至更多. 一元一次不等式组的解集是比较抽象的概念，以简单的一元一次不等式组为例，通过数轴来确定解集，很直观，化解了本节课的难点，同时渗透了数形结合的思想. 通过老师的规范板书，让学生明确解一元一次不等式组的一般步骤，同时给学生规范书写做出示例. 通过多做练习，可以帮学生总结确定解集的口诀： 同大取大, 同小取小， 大大小小无处找， 大小小大中间找.
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教后反思 解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分，学生的易错点在确定不等式的解集，教学中可以把利用数轴与利用口诀确定不等式组的解集结合起来，互相验证. .
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.3 一元一次不等式组
第2课时 解复杂的一元一次不等式组
课题 解复杂的一元一次不等式组 课型 新授课
教学内容 教材第36-37页的内容
教学目标 1.复习并巩固简单一元一次不等式组的解法，学会解复杂的一元一次不等式组. 2.系统归纳一元一次不等式组的解法以及解集的情况，并能够运用其解决实际问题．
教学重难点 教学重点：一元一次不等式组的解集和解法. 教学难点：一元一次不等式组解集的确定.
教 学 过 程 备 注
1.回顾复习，巩固旧知 老师：我们上节课学习了解简单一元一次不等式组，请同学们写出一个一元一次不等式组，并解答.（学生1上讲台，在黑板上演示） 学生1： 解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x＜4， 所以不等式组的解集是2＜x＜4. 学生2：…… 老师：很好，接下里我们学习解复杂的一元一次不等式组，及，探索无解的一元一次不等式组. 2.探索新知，归纳知识 老师：我们看一下教材中的例题. 【例2】解不等式组： （师生互动）下面我们一起来解这个不等式组. 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x＜-1. 在数轴上分别表示这两个不等式的解集. 观察数轴，发现这两个不等式的解集没有公共部分，也就是说没有一个数同时满足两个不等式， 所以这个不等式组无解. 老师：根据前面的学习，小组讨论交流，不等式组的解集有哪几种情况？ 1组学生代表：这种的解集是x＞2； 这种的解集是-4＜x＜2； 这种的解集是无解. 老师：还有学生补充吗？ 4组学生代表：还有一种，这种的解集是x＜-4. 老师：我们把这两位同学的回答结合起来，就是一元一次不等式组全部解集的情况. 老师：假设a＜b,请同学们快速说出下列不等式组的解集： 学生回答：（1）x＞b;（2）x＜a；（3）a＜x＜b；（4）无解. 老师：同学们回答的都很正确，下面我们借助数轴来理解，总结一下口诀： 老师：我们学习解一元一次不等式（组）终归是用来解决问题，下面让我们参考利用一元一次不等式解决实际问题的步骤，利用一元一次不等式组来解决实际问题. 【例3】某地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4 000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3 000元/台，安装及运输费用为800元/台，若要求购买的费用不超过40 000元，安装及运输费用不超过9 200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台？ （师生互动）解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12－x)台，购买设备的费用为[4 000x＋3 000(12－x)]元，安装及运输费用为[600x＋800(12－x)]元， 根据题意，得 解得2≤x≤4，由于x取整数，所以x＝2，3，4. 答：有三种方案：①购买甲种设备2台，乙种设备10台； ②购买甲种设备3台，乙种设备9台； ③购买甲种设备4台，乙种设备8台． 4.学以致用，应用新知 考点1 根据一元一次不等式组的解集求字母的取值范围 【例1】若不等式组无解，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥－1 B．a＜－1 C．a≤1 D．a≤－1 解析：解第一个不等式得x≥－a，解第二个不等式得x＜1.因为不等式组无解，故－a≥1，解得a≤－1.故选D. 答案：D 老师总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围步骤： ①解每一个不等式，把解集用数字或字母来表示； ②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意； ③解这个不等式，求出字母的取值范围． 考点2 一元一次不等式组的应用 【例2】3 个小组计划在 10 天内生产 500 件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？ 解：设每个小组原先每天生产 x 件产品， 由题意，得 解这个不等式组，得. 根据题意，x 的值应取整数，所以 x = 16. 答：每个小组原先每天生产16 件产品. 5.课堂小结，自我完善 确定一元一次不等式组解集的口诀： 同大取大,同小取小，大大小小无处找，大小小大中间找. 6.布置作业 课本P36练习第1题，P37习题7.3第2-3题. 复习解简单的一元一次不等式组. 引导学生观察给出的不等式组的形势，比较这个复杂在什么地方，指出解题过程中难点：一是含有分母；二是理解最终解集是误解. 鼓励学生分组讨论，在交流学习的过程中探索出不等式组解集的情况. 鼓励学生充分发表个人观点，用特例归纳“通解”. 当用字母a,b替换数字时，有些学生可能会遇到困难，这里主要是引导学生现将字母a,b在数轴上的位置确定下来，然后再讨论不等式（组）的解集. 一元一次不等式组解集的口诀： 同大取大, 同小取小， 大大小小无处找， 大小小大中间找. 列不等式组解应用题时，一般只设一个未知数，找出两个或两个以上的不等关系，相应地列出两个或两个以上的不等式组成不等式组求解．在实际问题中，大部分情况下应求整数解． 加深学生对不等式组的解集是无解的理解.
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