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8.3.3 组合数的两个性质
1．掌握组合数的两个性质，学会简便计算求值．
2．探索组合数的两个性质，简便计算，感受数学的魅力，激发学习兴趣．
重点：组合数的两个性质．
难点：利用组合数的两个性质计算求值．
组合数的两个性质”是学生学习了排列、组合以及组合数公式等知识的基础上提出来的，与数学归纳法有内在的联系。通过性质的学习，一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算。另一方面也为以后学习《二项式定理》等内容提供了理论基础。故组合数性质是一个承上启下的内容．
教学课件
8.1.1 分类计数原理
（一）创设情境，生成问题
组合数计算公式为：
问题： 某小组有 7 人：
（1）选出 3 人植树，可以有多少种不同的选法？
（2）选出 4 人清扫校园，可以有多少种不同的选法？
解：，
即选出 3 人植树或选出 4 人清扫校园都有 35 种不同的选法．
从这个例题可以看出，从 7 个不同的元素中选出 3 个和选出 7-3＝4（个）的组合数是相等的，即=.
思考：上述情况加以推广可得到组合数的什么性质
由计算结果发现
【设计意图】以“简便计算”为实例, 吸引学生注意力，激起学生的学习兴趣.
（二）探究新知
一般地，组合数具有如下性质
性质1
证明
所以
此性质可以这样理解，从n个不同的元素中取出m个元素组成一组后，剩下的个元素自然也成一组，即每取出m个元素都有唯一的个元素与之对应，所以从n个不同的元素中取出m个元素的组合数一定与从n个不同的元素中取出个元素的组合数相等.
【设计意图】由教师主导，分析、演示、讲解组合数的两个性质的分析、推导过程.
（三）典例辨析
例1.计算:
解
思考：由例1可以看出，，此关系是否具有一般性？
事实上，组合数具有如下性质.
性质2
证明
所以
例2. 计算：
解：
例3. （1）已知C＝C，则m等于 (　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．3或4
(2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为 (　　)
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
[解析]　（1）由C＝C得m＝2m－1或m＝8－(2m－1)，解得m＝1或m＝3，均满足0≤m≤8且0≤2m－1≤8，故选C．
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1．
组合数的两个性质在计算组合数时的作用
第一个性质中，若m＞，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用．
【设计意图】例题练习，加深学生印象，巩固新知。及时了解学生知识掌握情况。有针对性的讲解，答疑解惑.
（四）巩固练习
1. 计算：（ ）
A．2018 B．2019 C．4037 D．1
解：由组合数公式可得.
故选：B.
2. 已知，则x的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
解：因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
3．（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
解:因为，
所以．
故选：D．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固计数原理概念.
（六）作业布置
随堂练习8.3.3；习题8.3,水平二，1题.

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