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第1讲　比例与相似三角形性质
【中考考纲】
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
比例与比例线段 比例的性质 √
平行线分线段成比例定理 √
相似三角形的性质 相似三角形的性质 √
位似 √
【知识框架】
【知识精讲】
比例的性质
1．比例的基本性质：；
2．反比定理：；
3．更比定理：(或)；
4．合比定理：；
5．分比定理：；
6．合分比定理：；
7．等比定理：.
成比例线段
1．比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的项：在比例式（）中，称为比例外项，称为比例内项，叫做的第四比例项．
三条线段（）中，叫做和的比例中项．
3．黄金分割：如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比．
平行线分线段成比例定理
1．定理；三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线性质：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．
当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．
【经典例题】
若，则（ ）
A． B． C． D．
已知：，则 ．
已知：．求．
设，则_______．
如图所示，一张矩形纸片的长，宽，分别为、的中点，这张纸片沿直线对折后，矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，则等于（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求．
如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（ ）
A B
C D
如图，已知梯形中，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于 ．
如图，在中，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
如图， 中，，有一内接正方形，连接交于， ，，求．
如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.
如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于．若，求证:．
已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：
【知识精讲】
相似的概念
1．相似形：具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．
2．相似图形的特性：两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．
3．相似比：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
相似三角形的概念
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．
2．相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．
相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．
2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
对应中线：与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．
对应高线：与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．
对应角平分线：与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．
4．相似三角形周长的比等于相似比．
如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．
位似
1．位似图形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．
(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一点，叫做位似中心．
(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比．
说明：位似图形必须满足的两个条件：
（1）两个图形是相似图形；
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．
2．位似图形的性质：位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图：
3．图形的相似与位似图形的区别与联系：
两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；
两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．
【经典例题】
如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么与放大镜中的的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
下列图形不是相似图形的是（ ）
A．所有的正三角形 B．所有的矩形 C．所有的圆 D．所有的圆
把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为___________．
如图，若,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．
的三边长分别为、、，的两边长分别为和，若与 相似，则的第三条边长 ．
已知的三边长分别为20、50、60，现要利用长度分别为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为多少？
在和中，，，．如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次是 ．
如图，已知分别是的边上的一点，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，．若、、的面积分别为、、，则的面积为 ．
如图所示，把沿AB平移到的位置，它们的重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
已知：如图，是边的三等分点，．求：∶∶．
已知：四边形及点，试以点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．
如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，则位似中心的坐标和的值分别为( )
A．， B．， C．， D．，
判断满足下列关系的与是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．
（1）如图1所示，相交于点，且；
（2）如图2所示，相交于点，且．
【随堂练习】
若，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
已知，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______．
在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交 于、两点，求证：．
【课后作业】
如果，那么等于（ ）．
A． B． C． D．
若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第三、四象限
如图，梯形中的对角线垂直于两底，且，，，则=______．
如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，请在网格中画出的一个位似图形，使两个图形以为位似中心，且所画图形与的位似比________．

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