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第1讲　圆的概念及性质（一）
【中考考纲】
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
圆的相关概念 圆的相关概念 √
圆的性质 垂径定理 √
弧、弦、圆心角、弦心距的关系 √
【知识框架】
【知识精讲】
圆的概念
描述性定义: 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所 形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．
集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径．
圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”．
同圆、同心圆、等圆：
圆心相同且半径相等的圆叫同圆；
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
能够重合的两个圆叫做等圆．
注意：同圆或等圆的半径相等．
弦与弧的相关概念：
1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．
3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．
5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
圆心角与圆周角
1．圆心角: 顶点在圆心的角叫做圆心角．
将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2．圆周角: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
【经典例题】
判断：
（1）直径是弦，弦是直径 （ ）
（2）半圆是圆弧 （ ）
（3）长度相等的弧是等弧 （ ）
（4）能够重合的弧是等弧 （ ）
（5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ）
（6）优弧一定大于劣弧 （ ）
（7）半径相等的圆是等圆 （ ）
下列说法中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B． 优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦
D．直径是弦且是同一个圆中最长的弦
下列命题中正确的是（ ）．
A．过圆心的线段叫做圆的直径
B． 面积相等的两个圆是等圆
C．大于半圆的弧叫劣弧
D．平分弦的直径垂直于这条弦．
过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（ ）
A．你只能塞过一张纸 B．你只能塞过一只书包
C．你能钻过铁丝 D．你能直起身体走过铁丝
如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是( )
A． B． C． D．
如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【知识精讲】
圆的对称性：
1. 轴对称性：
（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．
（2）圆的轴对称性垂径定理．
2. 旋转对称性：
（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．
（2）圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
垂径定理:
1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 推论1：
（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3. 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
1. 定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
2. 推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量分别相等．
【经典例题】
题型一：垂径定理
下列判断中正确的是（ ）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段（包括端点）上移动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
如图，的直径为，弦为，是弦上一点，若的长为整数，则满足条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
已知：如图，是的弦，半径于点D，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
如图，是圆的弦，是圆的直径，，，则点到直线的距离的和是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于和两点，,，则的长为_________
如图，在梯形中，，，，．以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是__________cm．
已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_____________．
如图，是的直径，是弦，于，交于．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若，，求的半径．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径．
如图，分别是中长度相等但不平行的两条弦的中点．求证：．
如图所示，已知的直径和弦相交于点，，，，求的长．
已知的直径是，的两条平行弦，，求弦与间的距离．
在半径为的中，弦的长分别为和，求的度数．
（1）如图1，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，
求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
（2）如图2，若保持角度不变，
求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是的面积的．
题型二：弦、弧、弦心距、圆心角的关系
如图所示在中，，那么（ ）
与的大小关系不能确定
如图，过的直径上两点，分别作弦，若．求证：（1） ；（2）．
已知点、、、顺次在上，，于点，求证：．
在中，，是它的外接圆上包含点的弧的中点，上的点使得，求证：．
【随堂练习】
下列判断中正确的是( )
A． 平分弦的直线垂直于弦
B． 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C． 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D． 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
在同圆中，的度数小于，且，那么弦和弦的大小关系为( )
A． B． C． D．无法确定
如图所示，在中，，，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则 ．
如图，已知是半圆的直径，为半圆周上一点，是的中点，于，则与的关系是___________．
如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．
⑴ 求证：．
⑵ 若，求的直径．
【课后作业】
⑴ 若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_______．
⑵ 在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．
⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，，的弦心距等于，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．
如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______．
如图，点是上的三点，．
（1）求证：平分；
（2）过点作于点，交于点．若，求的长．
如图，中，是直径，弦，交于．求证：．

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