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第1讲　二次函数的图像与性质
【中考考纲】
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
二次函数的概念 二次函数的概念 √
二次函数的图象与性质 二次函数的图象 √
二次函数的性质 √
【知识框架】
【知识精讲】
二次函数的概念：
二次函数的定义：一般地，形如 （为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．
2． 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
【经典例题】
判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么？
⑴； ⑵；
⑶(是常数)； ⑷；
⑸； ⑹（是常数，）；
⑺（为常数）； ⑻
已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？
已知函数
① 当，，是怎样的数时，它是一次函数？
② 当，，是怎样的数时，它是正比例函数？
③ 当，，是怎样的数时，它是二次函数？
二次函数的函数值是，那么对应的的值是（ ）
A． B． C． D．
若是二次函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
已知方程（为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为____________；成立的条件是____________；是___________函数．
已知：函数是二次函数．
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴：____________；顶点坐标是____________；
（3）求图象与轴的交点坐标．
【知识精讲】
的图象与性质
的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的图象与性质
的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的图象与性质
1． 的图象及性质：
的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质
向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值．
2． 二次函数图象的画法：
（1）五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，
（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．
（2）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．
【经典例题】
（1）在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象．
（2）在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象．
画出下列函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．
（1）；（2）；（3）
⑴ 若二次函数有最大值，则________．
⑵ 若二次函数有最小值，则________．
… …
… …
（1）已知二次函数中，与的部分对应值如下表：
（1）求当为何值时，有最小值或最大值，最值是多少？
（2）已知抛物线有最大值，求抛物线的解析式？
（3）已知：二次函数和分别有最大值、最小值，则和的图像有 个交点．
设抛物线为，根据下列各条件，求的值．
⑴ 抛物线的顶点在轴上；
⑵ 抛物线的顶点在轴上；
⑶ 抛物线经过点；
⑷ 抛物线经过原点；
⑸ 当时，有最小值；
⑹ 的最小值为．
⑴ 求函数的最小值是 ．
⑵ 若，求的最大值、最小值；
⑶ 若，求的最大值、最小值；
⑷ 若，求的最大值、最小值．
抛物线的对称轴为，函数的最小值是，求实数，的值．
设，
⑴ 当取任意实数时，恒为非负数，求的取值范围；
⑵ 当时，的值恒为非负数，求实数的取值范围．
已知点，是函数上两点，则当时，
函数值___________
已知，当取不同的值，时函数值相等，则当时的值（ ）．
与的函数相等 与的函数相等
与的函数相等 与的函数相等
已知，点，，，，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图象如图所示，根据图象可得与的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，的值等于（ ）．
A． B． C． D．
已知二次函数的图象如图所示，有以下结论①；②；③；④；⑤；其中所有正确结论的序号是（ ）．
A． B． C． D．
已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限．
已知抛物线的一段图象如图所示．
⑴确定、、的符号；
⑵求的取值范围．
【随堂练习】
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．
已知二次函数的图象过点．若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
的图象如图所示．并设则（ ）．
A． B．
C． D．不能确定为正，为负或为
二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围．
【课后作业】
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，并画出函数的图像．
(1) (2)
(3) (4)
(5)
二次函数的图象上最低点的坐标是( )．
A． B． C． D．
已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．
若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
若二次函数（为常数）的图象如下中图，则的值为（ ）．
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）．
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
已知函数（）的图象，如图所示．求证：．

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