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第2讲　二次函数的解析式
【中考考纲】
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
二次函数的解析式 二次函数的一般式 √
二次函数的顶点数 √
二次函数的交点式 √
【知识框架】
【知识精讲】
二次函数的表达式
一般式：.
顶点式：.
两根式（交点式）：（）.
如何设点
一次函数（）图像上的任意点可设为；其中时，该点为直线与轴交点.
反比例函数（）图像上的任意点可设为.
二次函数（）图像上的任意一点可设为；时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点.
点关于的对称点为．
如何设解析式
已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；
已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；
已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.
已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式
（交点式可视为对称点式的特例）
注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【经典例题】
已知抛物线过、和三点，那么的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A． B．
C． D．
若二次函数配方后为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）
… …
… …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧
D．无交点
-1 0 1
1
8 3
若，则由表格中信息可知与之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
把二次函数用配方法化成的形式是_________，该二次函数图象的顶点坐标是_________．
已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是，则的值是_________．
已知一个二次函数过，，，，，三点，求二次函数的解析式．
已知二次函数过点，，且顶点为，.求函数解析式．
求符合下列条件的解析式：
（1）通过点；
（2）与的图象开口大小相同，方向相反；
（3）当自变量的值由增加到时，函数值减少．
有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线；
乙：与轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为．
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式？
已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：
（1）二次函数的解析式；
（2）的值；
（3）该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标．
已知二次函数的图象经过点，且与轴交于两点
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由．
已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、、.
二次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，若，，且点的横坐标分别为，求这两个函数的解析式．
已知抛物线（其中）不经过第二象限．
（1）判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由；
（2）若经过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式．
如图二次函数的图象经过三点．
（1）观察图象，写出三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）观察图象，当取何值时，.
如图，直线和抛物线都经过点．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）求不等式的解集．（直接写出答案）
如图，抛物线与轴交于和两点，交轴于点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线与抛物线交于两点，与轴交于点，连接，求的面积．
【随堂练习】
已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）．
… …
… …
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时， D．方程的正根在与之间
请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是______________．
已知：一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式．
已知二次函数的对称轴为：，且经过点，、，，求二次函数的解析式．
已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，随的增大而增大？
【课后作业】
将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
已知二次函数图象经过点，，，，，三点，求此二次函数解析式．
设二次函数，当时取得最大值为，并且它的图象在轴上截得的线段长为．求二次函数的解析式．
老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；
乙：函数的图象经过第一象限；
丙：当时，随的增大而减小；
丁：当时，．
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数__________．
已知二次函数
（1）用配方法将化成的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，？．

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