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第1讲　反比例函数
【中考考纲】
考点 课标要求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
反比例函数及应用 反比例函数的图像及性质 √
反比例函数的应用 √
反比例函数与几何综合 反比例函数k的几何意义 √
反比例函数与面积综合 √
【知识框架】
【知识精讲】
反比例函数的定义
函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
反比例函数的图象
反比例函数(为常数，)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线．
反比例函数与()的图像关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数图象的性质
反比例函数(为常数，)的图像是双曲线；
当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
（1）反比例函数()的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
（2）由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，
但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
（3）在画出的图象上要注明函数的解析式．
【经典例题】
若函数(k为常数)是反比例函数，则k的值是______，解析式为_________________．
函数,的图象如图所示，则结论：
（1）函数图象的交点的坐标为；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．
其中正确结论的序号是____________．
【知识精讲】
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
【经典例题】
保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元．
(1)分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式．
(2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，
人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600，回答下列问题：
（1）用含的代数式表示，是的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板面积为0.2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000，木板面积至少要多大？
【知识精讲】
反比例函数k的几何意义
反比例函数(为常数，)中比例系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为．
二、反比例函数与面积综合
反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型．
【经典例题】
如图，直线和双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，
则_______．
如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的倍，求的值．
如图，已知正方形的面积为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为．
（1）求点坐标和的值；
（2）当时，求点P的坐标。写出与的函数关系式．
已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知与的面积相等，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）如图，点在反比例函数的图象上，过点作，过点作，
垂足分别为．试应用（1）中得到的结论证明：．
（3）若（1）中的其他条件不变，只改变点的位置如图所示，请判断与是否平行．
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（ ）．
A．12 B．9 C．6 D．4
如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在坐标轴上，顶点的坐标为．过点和的直线分别与，交于点，．
（1）求直线的解析式和点的坐标；
（2）若反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数的图象与有公共点，请直接写出的取值范围．
如图，双曲线经过矩形的的中点，交于点．若梯形的面积为，则双曲线的解析式为_______．
如图，已知点，在双曲线上，于点，于点，与交于点，是的中点，若的面积为，求的值．
如图，矩形的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使落在轴上，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C． D．
如图，直线与反比例函数,的图象分别交于两点，为轴上的任意一点，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．不能确定
【随堂练习】
如图，直线与双曲线相交于两点，过点作于点，过点作
于点，连接，分别记与的面积为、，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、
、都在轴上，求点的坐标．
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；
②四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；
④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
如图，点、在反比例函数()的图象上，且点、的横坐标分别为和()
轴，垂足为，的面积为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(，)，(，)也在反比例函数的图象上，试比较与的大小；
（3）求的面积．
【课后作业】
如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．
反比例函数与的大致图象如图所示，若阴影部分的两个三角形面积之和为，则与的值可以是（ ）
A． B． C． D．
如图，函数的图象与矩形的边、交于、两点，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，，那么四边形的面积为（ ）
A．5 B．6.5 C．6 D．7
如图，已知两点是反比例函数的图象上的任意两点，过点分别作轴的垂线，垂足分别是，记住梯形的面积是，的面积是，则的值是_________．
如图所示，点是双曲线上的一动点，过作，垂足为点，作的垂直平分线双曲线于点，交轴于点．当点在双曲线上从左到右运动时，四边形的面积（ ）
A．逐渐变小 B．由大变小再由小变大 C．由小变大再由大变小 D．不变

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