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等腰三角形
第1题
如图5-1所示，在正方形 ABCD中，点 P 是线段CB的延长线上的一个动点.连接PA，PD,点M、点 N 分别为BC,AP 的中点,连接MN 交 PD 于点Q.判断 的形状并加以证明.
解题策略 根据图形，不难判断 的形状是等腰三角形.而欲证此结论，则考虑证 可以构造全等三角形或利用三角函数来证明这一结论，而构造图形的过程应充分考虑“点M、点 N 分别为BC，AP 的中点”这一条件.
解法一△QPM 是等腰三角形.
证明:如图5-2所示,延长BC 至点E,使CE=BP,连接AE.
∵PB=CE,
∴PB+BC=CE+BC,即CP=BE.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
在△DCP 和△ABE 中,
∴△DCP≌△ABE.
∴∠1=∠E.
∵M为BC的中点,
∴MB=MC.
∴MB+BP=MC+CE,即MP=ME.
∴M为PE的中点.
∵N为AP的中点,
∴NM∥AE.
∴∠2=∠E.
∴∠1=∠2.
∴QP=QM.
∴△QPM 是等腰三角形.
解法二 △QPM 是等腰三角形.
证明:如图5-3 所示,延长 MN 交 DA 的延长线于点E.过点 M 作MF⊥AD 于点F,则.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴四边形 ABMF,四边形 FMCD 均是矩形.
∵点M、点 N 分别为BC,AP 的中点,
∴MB=MC,AN=PN.
∴AF=MC.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD∥BC.
∵点 N 为 AP 中点,
∴AN=PN.
∴△AEN≌△PMN.
∴AE=PM.
∴AE+AF=PM+MC,即EF=PC.
∴QP=QM.
∴△QPM是等腰三角形.
解法三 △QPM 是等腰三角形.
证明:如图5-4 所示,过点 N 作. 于点H,则.
∵点M、点 N 分别为BC,AP 的中点,
∵四边形ABCD 是正方形,
∴NH∥AB.
在 Rt△NHM中,
在 Rt△PCD 中,
∴∠QMP=∠QPM.
∴QP=QM.
∴△QPM 是等腰三角形.
解法四 △QPM 是等腰三角形.
证明:如图5-5 所示,取AD 的中点E,连接NE,NB,则
∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠ABP=90°,∠ADP=∠DPC.
∵点M为BC中点,
∵AD=BC,
∴AE=BM.
∵点 N,点 E 分别为AP,AD 中点,
∴NE∥PD.
∵在 Rt△ABP 中,点 N 为AP 的中点,
∴∠NAB=∠NBA.
∴∠NAE=∠NBM.
在△NAE 和△NBM 中,
∴△NAE≌△NBM.
∴∠AEN=∠BMN.
又∵NE∥PD,
∴∠AEN=∠ADP=∠DPC.
∴∠BMN=∠DPC.
∴QP=QM.
∴△QPM 是等腰三角形.
解后反思 我们经常根据“等角对等边”来证明三角形是等腰三角形，进而证明两角相等，可以通过这两角所在的两个三角形全等来证明；或者计算这两角的同名三角函数值，根据“在锐角范围内，两个角同名三角函数值相等，则这两角相等”这一结论来证明.当然，还可以依据其他结论为两角相等的几何定理来证明.
举一反三
1. 我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系.比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”容易得到它的判定“等角对等边”.小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：
(1) 若一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；
(2)若一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；
(3)若一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形.
我们运用线段垂直平分线的性质，容易证明猜想(1)的正确性.现请你帮助小明判断他的猜想(2)、(3)是否成立 若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明.
2. 我们都知道，在等腰三角形中有等边对等角(或等角对等边)，那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢 让我们来探究一下.
如图5-6所示,在△ABC中,已知. 猜想 与 的大小关系，并证明你的结论.
证明：猜想∠C>∠B，对于这个猜想我们可以这样来证明：
在 AB上截取AD=AC,连接CD.
∵AB>AC,∴点 D 必在∠BCA 的内部,
∴∠BCA>∠ACD.
∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC.
又∵∠ADC 是△BCD 的一个外角,
∴∠BCA>∠ACD>∠B,即∠C >∠B.
上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的一种方法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解决问题，体现了数学的转化思想.请你仿照类比上述方法，解决下面问题：
(1) 如图5-7 所示,在△ABC 中,已知 AC>BC,猜想∠B 与∠A 的大小关系,并证明你的结论；
(2)如图5-8 所示,在△ABC 中,已知∠C>∠B,猜想AB 与AC 的大小关系,并证明你的结论；
(3) 根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论.
3.在△ABC 中,AB=BC,BD⊥AC 于点D.
(1)如图5-9所示,当∠ABC=90°时,若CE 平分∠ACB,交AB 于点E,交BD 于点F.
①求证:△BEF 是等腰三角形;
②求证:
(2) 点 E 在 AB 边上,连接CE.若 在图5-10中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路.
解题策略 问题(1)①比较简单，将△BEF 的各角度数求出即可；②要证明 (BC+BF),可先转化为2BD=BC+BF,只需找到一点M,使BM=BC,则EM=EB+BC,利用中位线2BD=CM,再证CM=EM,∠BMC=45°即得证.问题(2)可仿照对问题(1)的求解思路进行.
解 如图 5-9 所示,在△ABC 中,AB=BC,BD⊥AC 于点D.
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD.
(1) 证明:①∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=∠CAB=45°.
∵CE 平分∠ACB,
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.
∴BE=BF.
∴△BEF 是等腰三角形.
②证法一 如图5-11所示,延长AB 至点M,使得BM=BA,连接CM.
∵BM=BA,AD=CD,
∴∠BCM=∠CBD.
由①,知∠ABC=90°.
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∵BD∥CM,
∴∠ABD=∠M=45°.
∴∠BCM=∠CBD=∠ABD=∠M=45°.
∴BC=BM.
∵BD∥CM,
∴MC⊥AC,∠MCA=90°.
由①,知∠ACE=22.5°,
∴∠MCE=90°-22.5°=67.5°.
∴∠BEF=∠MCE.
∴ME=MC.
证法二 如图5-11所示,过点C作CM∥BD,交AB 的延长线于点M.
∴MC⊥AC,∴∠ACM=90°.
由①,得
∴∠M=45°,∴∠ACB=∠M.
∴AC=MC.
∴△ACM 是等腰直角三角形.
∵D 是AC 中点,且BD∥MC,
∴BD 是△ACM 的中位线.
以下同证法一.
证法三 如图5-12所示,过点 F 作FH⊥BC,交 BC 于点 H.
∵EC平分∠ACB,∴FD=FH.
设 FD=FH=x.
∵FH⊥BC,
∴∠FHB=90°.
由①,得∠CBD=45°,
∴∠HBF=∠HFB=45°,HB=HF.
∴△HBF 是等腰直角三角形.
在△FDC 和△HFC 中,
∴△FDC≌△HFC.
∴DC=HC= x+x,BF+BC=BF+BH+HC=2( x+x)=2BD.
证法四 如图5-13所示,过点 E 作EM⊥AC,交 AC 于点M,即∠EMA=∠EMC=90°.
∵∠A=45°,∴∠AEM=45°.∴∠A=∠AEM.
∴AM=ME.
∵CE 是∠ACB 的平分线,
∴∠BCE=∠ACE,EM=BE=AM.
在 Rt△EMC 和 Rt△EBC中,
|EM=EB,
∴Rt△EMC≌Rt△EBC.
∴MC=BC,AC=AM+MC=BE+BC=BF+BC.
证法五 如图5-14 所示,延长 BD 至点M,使 DM=BD,连接CM.
由题易得△ABC 是等腰直角三角形,BD⊥AC,
易得△MCB 是等腰直角三角形,BC=MC,AB∥MC.
又∵∠BEF =∠BFE=∠MFC=67.5°,
∠MCF =∠FCD+∠MCD=22.5°+45°=67.5°,
∴∠MFC=∠MCF.
∴MF=MC.
∴△MFC 是等腰三角形.
∴BM=2BD=BF+MF=BF+BC.
即
如图5-15，与问题(1)②的证法一同理可证
由 可知△PEC 和△BEF 分别是等腰三角形.
∵∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,
又∵∠BFE=∠DFC,
解后反思 在问题(1)②中，证法一和证法二都是利用中点构造中位线，它们的不同点在于证法一倍长 AB，证法二则是构造平行线；证法三引入参数，这也是解决图形数量关系的常用方法；证法四利用角平分线的性质，体现轴对称思路；证法五倍长中线，体现旋转思路.
举一反三
1. 已知△ACB 和△DCE 均为等腰三角形,点A,D,E 在同一条直线上,连接BE.
(1) 如图5-16 所示,若 则
①求证:
②求 的度数.
(2) 如图5-17 所示,若 CM 为 中DE 边上的高,BN为△ABE 中AE 边上的高,试证明:
2. 在△ABC 中,CA=CB,CD为AB 边的中线,点P 是线段AC 上任意一点(不与点 C重合),过点 P 作 PE 交CD 于点E,使 过点C作( 交PE的延长线于点F，交AB 于点G.
(1) 若 则
①如图5-18所示，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与 全等的一个三角形；
②如图5-19所示，当点 P 不与点A 重合时，求 的值；
(2)如果∠CAB=a,如图5-20所示,请直接写出 的值.(用含a 的式子表示)
第3题
在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC 于点E,AD⊥BC 于点D.
(1)如图5-21 所示,作∠ADB 的平分线DF,交 BE 于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;
(2)如图5-22所示,连接DE,点G 与点 D 关于直线AC 对称,连接 DG,EG.
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段 AE，BE，DG 之间的数量关系，并加以证明.
解题策略 (1) 由分析可得△ADB 为等腰三角形，且DF 为∠ADB 的角平分线，因此可证△ADF 和△BDF 对称全等，从而得出角度相等；
(2) 通过简单测量，可以发现：BE=AE+DG.利用“截长补短法”解题.
考虑“截长”,可以直接“截长”,在 BE 上截取BH=AE,连接DH,证明. (如证法一);或在BE 上截取EH=AE,连接AH,通过△AED 与△AHB 的旋转相似关系证明(如证法二);也可以间接“截长”,过点D 作 DH⊥DE 交 BE 于点 H,证明. (如证法三).还可以考虑“补短”(如证法四).
解 (1) 证明:如图5-23所示,∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°.
∴∠ABC=∠BAD.
∴AD=BD.
∵DF 平分∠ADB,
∴∠1=∠2.
在△ADF 和△BDF中,
∴△ADF≌△BDF.
∴AF=BF.
∴∠FAB=∠FBA.
(2) ①补全图形,如图5-24所示;
②数量关系是
证法 如图5-25 所示,在 BE 上截取 连接DH.
∵BE⊥AC 于点E, 于点D,
∴∠EAD=∠HBD.
∴AD=BD.
在 和△HBD中,
∴△EAD≌△HBD.
∴ED=HD.
∴∠DEB=∠EHD.
∵点G 与点D 关于直线AC 对称,
∴DG⊥AC,∠GEC=∠DEC,EG=ED.
∴GD∥BE.
∵BE⊥AC 于点E,AD⊥BC 于点D,
∴∠AEB=∠ADB=90°.
∴A,E,D,B 四点共圆.
∴∠DEB=∠DAB=45°.
∴∠GEC=∠DEC=45°,∠DEB=∠EHD=45°.
∴∠GED=∠EDH=90°.
∴GE∥DH.
∴四边形GEHD 是平行四边形.
∴DG=EH.
∴BE=EH+BH=DG+AE.
证法二如图5-26 所示,在EB 上截取EH=AE,连接AH.
易知∠EAH=∠DAB=45°,
∴∠EAD=∠HAB.
∴△AED∽△AHB.
根据“等角的补角相等”可得
∵点G 与点D 关于直线AC 对称,
∴△GED 为等腰直角三角形.
∴BE=BH+HE=DG+AE.
证法三 如图5-27 所示,过点 D 作. 交BE于点H.
∵AD⊥BC,
∴∠ADE=∠BDH.
∴∠DAE=∠DBH.
在△ADE 和△BDH 中,
∴△ADE≌△BDH.
∴DE=DH,AE=BH.
∵DH⊥DE,
∴∠DEH=∠DHE=45°.
∵BE⊥AC,
∴∠DEC=45°.
∵点G与点D关于直线AC 对称，
∴AC 垂直平分GD.
∴GD∥BE,∠GEC=∠DEC=45°.
∴∠GED=∠EDH=90°.
∴GE∥DH.
∴四边形GEHD 是平行四边形.
∴GD=EH.
∴BE=EH+HB=DG+AE.
证 法 四 如图5-28所示,过点 D 作 DH⊥DE,交 AC 的延长线于点H,连接GH.
类比证法三,可证△ADH≌△BDE,DH=DE,AH=BE. H
∵点G 与点D 关于直线AC 对称,
∴AC 垂直平分DG,
∴EG=ED.
又∵DE=DH,
∴GH=HD=DE=EG.
∵∠EDH=90°,
∴四边形 EGHD 是正方形,DG=EH.
∴BE=AH=AE+EH=AE+DG.
解后反思 在几何综合题的分析上，要注意模式识别，通过已经解过的与之相似的题目，获取有效的解题经验.如本题中在证明三条线段数量关系时，“截长补短”是常见的解题思路.而“截长补短”的处理方法不同，解题难度也会相差比较大，因此在思路受阻时要尝试使用新的处理问题的方法.
举一反三
1. 在△ABC 中, 点D 是 BC 边的中点,作射线 DE,与边 AB 交于点E,射线 DE 绕点D 按顺时针方向旋转 120°,与直线AC 交于点 F.
(1) 依题意将图5-29补全;
(2) 小华通过观察、实验提出猜想：在点 E 运动的过程中，始终有 请帮助小华证明DE=DF;
(3)在点 E 运动的过程中，直接写出BE，CF，AB 之间的数量关系.
2. 在等边三角形ABC 外侧作直线AP,点B 关于直线AP 的对称点为D,连接BD,CD,其中CD 交直线AP 于点E.
(1) 依题意补全图5-29;
(2)若 求 的度数；
(3) 如图 5-30所示,若( ，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.
第4题
如图5-32所示, 求证： 是等腰三角形.
解题策略 本题证法较多，关键在于利用已知条件 为此，既可用构造全等三角形，又可以用构造正三角形，同时还可以用相似形和圆的有关性质来证明.
证法一 如图 5-33 所示,以 AC 为边在 外作正三角形ACE,则点 D 在CE上,且.
=∠ADB.
在△ADB 和△ADE 中,
∴△ADB≌△ADE.
∴AB=AE.
∴AB=AC,即△ABC 是等腰三角形.
证法二如图5-34 所示，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交BD于点E,则AE=AD,∠AED=∠ADB.
即∠ADB+∠ADB+∠BDC=180°.
∴∠ADB+∠ADC=180°.
∵∠AED+∠AEB=180°,
∴∠ADC=∠AEB.
在△AEB 和△ADC 中,
∴△AEB≌△ADC.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
证法三 如图5-35 所示,设AC,BD 相交于点E.
∵∠ABD=∠ACD=60°,∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△DEC.
又∵∠AED=∠BEC,
∴△AED∽△BEC.
∴∠ADB=∠ACB.
即
又∵
∴∠ABC=∠ACB,即△ABC 是等腰三角形.
证 法 四 如图5-36 所示,∵∠ABD=∠ACD,
∴A,B,C,D 四点共圆.
∴∠ADB=∠ACB,∠BDC=∠BAC.
∴2∠ACB+∠BAC=180°.
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC 是等腰三角形.
解后反思 本题中几种证法的关键都是利用已知条件 证法一构造了一个正三角形，证法四是利用圆的性质，它们都是化为平角.证法二构造了全等三角形，化为三角形内角和问题，证法三是利用相似三角形直接计算.从证法二、三、四还可以看出，将题中条件“∠ABD=∠ACD=60°”改为“ ，命题结论依然成立.
举一反三
1. 如图5-37 所示,在△ABC中,. 的平分线BD 交 AC于点D,过点C 作CE⊥BD 交BD 的延长线于点E,求证:
2. 在正方形 ABCD 外侧作直线AP,点B 关于直线AP 的对称点为E,连接BE,DE,其中 DE 交直线AP 于点F.
(1) 依题意补全图5-38;
(2) 若 求 的度数；
(3)如图5-39 所示,若 ，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.
第5题
在等腰三角形ABC 中，
(1) 如图 5-40所示,若 为等边三角形，D 为线段BC 的中点，线段 AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE，连接DE，则.∠BDE的度数为 ；
(2)若 为等边三角形，点 D 为线段BC 上一动点(不与点 B、点 C 重合)，连接AD并将线段AD 绕点D 逆时针旋转( 得到线段DE,连接BE.
①根据题意在图5-41中补全图形；
②在点D 运动的过程中，求证：(
(3)如图5-42所示,若 且 ,此时BE,BD,AC 三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是 .(直接给出结论，无需证明)
解题策略 要证明 CD=BE，只需要连接AE，并证明 ;或过点 D 作DF∥AB,交 AC 于点F,证明 或延长CB 至点G，使得. 证明△ADC≌△DEG.
解 (1) 30°.
(2) ①补全图形,如图5-43 所示.
②证法一 如图 5-44,连接AE.
∵AD=DE,∠ADE=60°,
∴△ADE 为等边三角形.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠EAB=∠DAC,AB=AC,AE=AD.
∴△EAB≌△DAC.
∴CD=BE.
证法二 如图5-45 所示,过点 D 作DF∥AB,交 AC 于点 F.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AC=BC,∠BAC=60°.
又∵DF∥AB,
∴∠DFC=60°.
∴△CDF 为等边三角形.
∴AF=BD.
∵∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°,
又因为∠DAF+∠C+∠ADC=∠EDB+∠ADE+∠ADC=180°.
∴∠DAF=∠EDB.
又∵AD=DE,
∴△ADF≌△DEB.
∴DF=BE=CD.
证法三 如图5-46 所示,延长CB 至点G,使 BG=CD.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AC=BC,∠BAC=60°.
∵CD=BG,
∴DG=AC.
∵∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°,又∵∠DAC+∠C+∠ADC=∠EDG+∠ADE+∠ADC=180°.
∴∠DAC=∠EDG.
又∵AD=DE,
∴△ADC≌△DEG.
∴CD=EG=BG,∠C=∠G=60°.
∴△BGE 为等边三角形.
∴BE=BG=CD.
(3)k(BE+BD)=AC.
解后反思 等边三角形的三条边相等，三个内角相等，所以我们说等边三角形是最完美的三角形.等边三角形的这一性质使得通过构造等边三角形更利于在已知和未知之间架起一座桥梁，使分散的未知和已知条件更好地融合起来，再利用等边三角形的性质和判定定理能有效地解决有关边和角的数量关系问题.
举一反三
1. 如图5-47 所示,D 是△ABC 外一点,AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°.求∠ACD的度数.
2. 如图5-48所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长边AB 到点D,延长边 CA 到点E，连接DE，恰好有 ,求证:.
第6题
如图5-49 所示,在△ABC中,AB=AC,P 是底边上任意一点,过点P 作. 于点D,PE⊥AC 于点E,过点 B 作BF⊥AC 于点F.
求证:PD+PE=BF.
解题策略 因为 PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,垂足 D,E,F都在△ABC的腰上，要证PD+PE=BF，只要能找出这三条线段分别属于哪个三角形即可；或者连接AP，把△ABC 分成两个三角形：△ABP 和△ACP，并通过这两个三角形的面积和与原来的等腰三角形的面积相等来证明.此外，根据要证明的等式，可以考虑“截长补短”法证明.
证 法 一 如图5-50所示,过点 P 作PH⊥BF 于点H,易证四边形 PEFH 是矩形.
∴PE=HF,HP∥AC,
∴∠C=∠HPB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠ABC=∠HPB.
∵PD⊥AB于点D,
∴∠BDP=∠PHB=90°.
在△BDP 和△PHB中,
∴△BDP≌△PHB.
∴PD=BH.
∴PD+PE=BH+HF=BF.
证法二 如图5-51所示,连接AP.
∵PD⊥AB 于点D,PE⊥AC 于点E,BF⊥AC 于点F,
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,
又∵AB=AC,
∴PD+PE=BF.
解后反思 等面积法就是利用面积关系确定面积关系式.如要证一个关于线段或角度相等的关系式，可以根据图形，先建立一个面积关系式，再由面积关系式中找出线段或角度的关系式，进而解决问题.
举一反三
1. 如图5-52所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6,腰AB 上的高CE=8,求△ABC 的周长.
2. 如图5-53,在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,F 是AD 上一点,且 过点 E 作EG⊥CF 于点G.求证:∠BCE=∠ECF.
如图5-54所示,在△ABC中,∠C=2∠A,AC=2BC,求证:∠B=90°.
解题策略 要证∠B=90°，可设法证∠B 等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C 的平分线CE，则△ACE 是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高 ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE 即可;或作∠C 的平分线CD,将△CDA 沿CD 翻折过来,得△CDE,要证∠ABC=90°,需证CD=ED,BC=BE;再或者延长AC到点D,使CD=BC,连接BD,则△CBD、△ABD 都是等腰三角形,由条件 AC=2BC,可想到取 AC 的中点E,连接 BE,则∠DBE =90°,要证∠ABC=90°,只需证∠ABE =∠DBC.
证法一 如图5-55 所示,作∠C 的平分线CE,交AB 于点E.过点 E 作 ED⊥AC 于点D,则∠ACE=∠A,AE=CE.
∵DE⊥AC,
∵AC=2BC,
∴CD=BC.
在△CDE 和△CBE 中,
∴△CDE≌△CBE.
∴∠CDE=∠B=90°.
证 法 二 如图5-56 所示,作∠C 的平分线CD,延长CB 到点E,使CE=AC,则AC=BC+BE.
∵AC=2BC,∴BC=BE.
在△ACD 和△ECD中,
∴△ACD≌△ECD.
∴∠A=∠E.
又
∵∠ACB=2∠A,
∴∠DCB=∠A.
∴∠E=∠DCB.
∴DC=DE.
∴∠ABC=90°.
证 法 三 如图5-57 所示,延长AC 到点D,使CD=BC,连接BD.取AC 的中点E,连接BE,则EC=CD=BC,易证∠DBE=90°.
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠D.
∴∠ACB=∠CBD+∠D=2∠D.
∵∠ACB=2∠A,
∴∠A=∠D.
∴AB=BD.
在△ABE 和△DBC 中,
∴△ABE≌△DBC,
∴∠ABE=∠DBC,
∴∠ABC=∠EBD=90°.
解后反思 一些几何题中常含有一个角是另一个角的2倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线.
(1) 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
如图5-58 所示,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,则∠DBC=∠C,△DBC 是等腰三角形.
(2)延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.
如图5-59 所示,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,可延长CB 到点D,使. 连接AD,则△ABD、△ADC 都是等腰三角形.
举一反三
1. 如图5-60所示,在△ABD 中,AB=AC,过点C 作CD⊥AB 于点D.
求证:∠BAC=2∠DCB.

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