资源简介

北师大版必修第二册第一章《三角函数》
《5.2.2余弦函数性质再认识》教学设计
【教学目标】
1.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的单调区间、最值；（数学运算）
2.利用余弦函数的图象理解余弦函数的奇偶性、对称性；（数学运算）
3.通过对余弦函数图象的研究过程，深化对一般函数研究方法的再认识.（直观想象）
【教学重点】
1.借助余弦函数的图象理解余弦函数的性质；
2.掌握求余弦函数单调区间、最值、熟练应用余弦函数的奇偶性、对称性解决问题.
【教学难点】
余弦型函数性质的综合应用
【教学过程】
一、复习回顾，提出问题
在第4.2节中，我们借助单位圆学习了余弦函数y＝cos x 的定义域、值域、最值、周期、单调性等性质，这节课，我继续从余弦函数的图象进一步理解余弦函数的性质.
请同学们观察图1-35，结合余弦函数的图象思考一下问题：
（1）余弦函数y＝sin x的定义域是？
（2）余弦函数的图象每间隔2π个单位长度，函数值呈现什么规律，余弦函数的周期是？
（3）余弦函数的单调性？
（4）余弦函数的最值和值域？
（5）余弦函数的奇偶性？
（6）探索余弦函数图象的对称性.它有对称轴吗 有对称中心吗
二、余弦函数性质的再认识
结合余弦曲线，继续探究余弦函数的性质，从图象的直观对余弦函数的性质再认识.
（1）余弦函数的定义域
从余弦函数图象上看，余弦函数的定义域是实数集R.
（2）余弦函数的周期性
请同学们从函数图象、诱导公式、图象变换三个角度探究余弦函数的周期性，留时间给学生思考，教师再引导得出结论.
①从余弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即余弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.
②从诱导公式cos (2kπ＋x)＝cos x，k∈Z中得到余弦函数的最小正周期为2π.
③从函数图象变换的角度，考虑，由于余弦函数y＝cos x的图象由正弦曲线y＝sin x想左平移个单位得到的，因此余弦函数的周期性与正弦函数一样，都是周期函数，最小正周期是2π.
（3）余弦函数的单调性
请同学们类比正弦函数单调性的探究，选取一个选取长度为2π的区间，进行单调性研究，并归纳总结出余弦函数的单调区间.
请同学们分小组探究，归纳总结出余弦函数的单调区间，并完成下列填空：
余弦函数在 上是增函数；在 上是减函数.
在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是减函数
（4）余弦函数的最值和值域
设集合A={x| x =2kπ, k∈Z}, B={x| π＋2kπ, k∈Z }
当x∈A时,余弦函数y＝cos x取得最大值1;反之,当余弦函数y＝cos x达到最大值1时, x∈A.
当x∈B时,余弦函数y＝cos x取得最小值-1;反之,当余弦函数y＝cos x达到最小值-1时, x∈B.
从余弦函数的图象(如图)可以看出，余弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以余弦函数的值域是[-1，1].
（5）余弦函数的奇偶性
请同学们借助奇偶函数的定义从图象的角度和定义的角度来探究偶函数的奇偶性.
余弦曲线关于y轴对称，如图.由诱导公式cos (-x)=cos x可知，余弦函数是偶函数.
（6）余弦函数的对称性
请同学们从余弦函数图象，探究余弦函数的对称性，是否有对称轴，是否有对称中心.
提示：有，对称轴是x＝kπ，k∈Z；对称中心是（＋kπ，0）.
余弦函数在最值位置取到对称轴，图象与x轴的交点是对称中心.
归纳总结，形成知识网络
1.余弦函数的性质
函数 余弦函数y＝cos x，x∈R
定义域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称
周期性 周期函数，周期为2kπ，k∈Z，k≠0，2π为最小正周期
单调性 在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是减函数
最值 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1
对称轴 x＝kπ，k∈Z
对称中心 ＋kπ，k∈Z
三、余弦函数性质的应用
应用一、与余弦函数有关的定义域问题
课本P37A组第3题
3.求下列函数的定义域
（3） （4） ；
【方法点拨】求具体函数的定义域(有解析式的)
（1）①②()③④⑤若同时出现以上多中类型，先分别求再取交集；
（2）与余弦函数有关的定义域问题，转化为解余弦不等式的问题.
应用二、与余弦函数有关的值域问题
（1）当时,的最值：
例1．函数的最大值为 .
解：因为的最大值为，所以的最大值为3.
【当堂训练1】课本P39A组练习第2题
2.求使下列函数取得最大值、最小值的x自变量的集合，并分别写出最大值、最小值.
（3）； （4）
（2）形如y＝a sin x＋b(a≠0)的函数的最值或值域问题，一般利用余弦函数的有界性(sin x∈[－1，1])求解
例2．函数，的值域为 .
【分析】先由自变量的范围，求出y＝cos x的范围，再求出.
解：因为，所以，所以.
【当堂训练2】
2．函数的值域为 .
解：由余弦函数性质知：在上递增，在上递减，，，，所以值域为．
3.求形如y＝a cos 2x＋b cosx＋c(a≠0)的函数的最值或值域问题
利用一元二次函数求最值,考虑对称轴与给定区间的关系
例3.已知函数y＝－cos2x＋cosx，它的值域为________.
【分析】将cosx看作一个整体，换元为一元二次函数的，利用一元二次函数求最值的方法求解原函数的最值.
解：y＝－cos2x＋cosx＝－(cos x－)2＋，∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，ymax＝；
当cos x＝－1时，ymin＝－2，∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是[－2，].
【当堂训练3】
1．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小值是 .
【参考答案】1.【答案】B【详解】由题意，在中，在中，，对称轴：，∴函数在上单调递增，在处取最小值，.
2.【答案】0 【详解】解：令 ，则，则，则函数在上为减函数，则，即函数的最小值是0.
应用三、余弦函数的奇偶性
1．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
2．函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【分析】与余弦函数有关的奇偶性的判断，利用奇偶函数的定义及诱导公式进行化简证明判断.
参考答案：1．A
【详解】，函数定义域为，，，
为偶函数，故选：A
2．B【详解】因为，显然是偶函数.故选：B.
应用四、余弦函数的单调性及其应用
（1）求与余弦函数有关的单调区间
例4. 函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是______________________.
解∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.]
【当堂训练4】
1.(多选题)下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A.y＝sin (2x＋) B.y＝－cos (2x＋) C.y＝sin (x＋) D.y＝cos (x＋)
解：因为函数周期为π，所以排除选项C，D.函数y＝－cos (2x＋)＝sin 2x在[，]上为减函数；函数y＝sin (2x＋)＝cos 2x在上为减函数.所以答案是AB.
（2）借助余弦函数的单调性比较余弦值的大小
课本P37练习第4题
例5.比较与的大小
【分析】比较两个三角函数的大小，先化角，负角化正角，大角化小角，知道两个角在同一个单调区间，再利用单调性比较函数的大小关系
解：，
，且在上是减函数，则，即.
【当堂训练5】
1．（多选题）下列式子成立的有（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：1．AD
【详解】A．由，，又因为，所以，
所以，故A正确；
B．，，因为，
所以，故B错误；
C．由，又因为，所以，故C错误；
D．因为，所以，因为，所以，
所以，故D正确.故选：AD.
四、迁移应用，掌握概念
1.已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的图象.
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期.
(3)求出这个函数的单调递增区间.
解　(1)由题意，
y＝cos x＋|cos x|＝
函数图象如下图所示.
(2)由图象知这个函数是周期函数，最小正周期是2π.
(3)由图象知函数的单调递增区间为[－＋2kπ，2kπ]，k∈Z.
五、当堂检测，巩固达标
1．函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
3．函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．写出函数在上的一个减区间： .
【参考答案】
1．A【详解】函数的定义域为R，，因此，
所以函数的值域为.故选：A
2．B【详解】函数、的最小正周期为，AC不是；
函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是.故选：B
3．C【详解】函数有意义，则满足，即.解得，所以函数的定义域.
故选：C.
4．（答案不唯一）【详解】函数的减区间为的增区间，即，据此只需写内的任何一个非空子集，例如.故答案为：（答案不唯一）
六、课堂小结，升华素养
七、布置作业，即时检测
课本P37练习第5、6题、A组第4（3）（4）

展开更多......

收起↑