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6.3 乘法交换律和结合律
乘法交换律
两个数相乘，交换两个数的位置，积不变。
如果用字母a、b分别表示两个乘数，上面的规律可以写成：a×b=b×a。
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
如果用字母a、b、c分别表示三个乘数，上面的规律可以写成：
(a×b)×c=a×(b×c)
例1：下面得数不相等的一组算式是（ ）。
A． B． C．
答案：B
分析：运用乘法交换律：a×b＝b×a分别计算出这两个算式的结果，再进行比较；有乘有加，先计算乘法再计算加法，计算出（68×100＋2）的结果，将102拆为（100＋2），再运用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c计算出（68×102）的结果，然后进行比较；先计算小括号里的算式，再计算小括号外面的算式，计算出587×（104－4）的结果，运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c计算出（287×104－287×4）的结果，然后进行比较；据此解答。
详解：根据分析：
A．25×49×8
＝25×8×49
＝200×49
＝9800
49×25×8
＝25×8×49
＝200×49
＝9800
9800＝9800；
B．68×100＋2
＝6800＋2
＝6802
68×102
＝68×（100＋2）
＝68×100＋68×2
＝6800＋136
＝6936
6802＜6936；
C．587×（104－4）
＝587×100
＝58700
287×104－287×4
＝287×（104－4）
＝587×100
＝58700
58700＝58700
所以得数不相等的一组算式是。
故答案为：B
例2：先在横线上上合适的数，再在后面括号里写出各应用了什么运算律。
35×36＝36× ，( )律。
125×（8×9）＝（ ×8）× ，( )律。
（25×64）×4＝（ × ）×64，( )律和( )律。
答案： 35 乘法交换 125 9 乘法结合 25 4 乘法交换 乘法结合
分析：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。叫做乘法交换律；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
详解：35×36＝36×35，这是运用的乘法交换律；
125×（8×9）＝（125×8）×9，这是运用的乘法结合律；
（25×64）×4＝（25×4）×64，这是运用的乘法交换律和乘法结合律。
例3：将算式14×28×25改成28×（14×25），只运用了乘法结合律。( )
答案：×
分析：乘法结合律为：在乘法算式中，先将前两个数相乘，或先将后两个数相乘，积不变；乘法交换律是交换因数的位置，积不变；算式14×28×25＝28×（14×25）首先运用了乘法交换律，然后运用了乘法结合律。
详解：由分析得：
将算式14×28×25改成28×（14×25），运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：×
分析：我们要牢记乘法交换律、乘法结合律的概念，根据概念灵活运用，同时要注意简便算法经常综合在一起使用。
例4：在用简便方法计算这道题时，小云运用了乘法结合律，小华运用了乘法分配律，你知道他们两个是怎样计算的吗？请把计算过程写下来。
小云： 小华：
答案：见详解
分析：小云运用了乘法结合律，把44化成11×4进行简算；小华运用了乘法分配律，把44看作40＋4进行简算。
详解：小云：44×25
＝11×4×25
＝11×（4×25）
＝11×100
＝1100
小华：44×25
＝（40＋4）×25
＝40×25＋4×25
＝1000＋100
＝1100
基础过关练
一、选择题
1．运用了（ ）运算律。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法分配律
2．已知〇×▽＝80，则（〇×2）×（▽÷4）＝（ ）。
A．40 B．160 C．20
3．下列算式中，与25×14的结果不相等的是（ ）。
A．25×10＋4 B．14×25 C．25×2×7 D．25×（8＋6）
4．如图中的竖式（未算完），应用的规律是（ ）。
A．乘法的交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．积的变化规律
5．下面三幅图中，（ ）可以表示乘法分配律。
A．
B．
C．
6．25×（40＋4）＝25×40＋25×4，运用了（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律
二、填空题
7．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
25×8＋80( )25×（8＋80） 33×（200－2）( )33×200－33×2
75×25×4( )25×75×4 101×78( )100×78－100
8．根据运算律在横线上填数。
（39＋ ）＋24＝ ＋（76＋24） 48× ＝15×
125×5×8×2＝（ × ）×（5×2） 343×22＋343×78＝343×（ ＋ ）
9．3.56×3＋7×3.56可以用( )律来进行简算，0.25×9.8×8可以用( )律进行简算。
10．水果店运进4车香蕉，每车45箱，每箱25千克。水果店共运进香蕉( )千克。
11．贝贝的计算器上的数字键“3”失灵了，她想计算“”，请你帮忙用算式表示出计算的思考过程：( )。
12．根据a×b＝10，在括号里填上合适的数。
（a÷5）×（b×5）＝( )
（a×5）×（b×5）＝( )
三、判断题
13．先乘前两个数或先乘后两个数，积不变，这是乘法交换律。( )
14．应用了乘法交换律。( )
15．25×7×4＝7×（25×4）运用了乘法交换律和乘法结合律。( )
16．125×4×25×8＝（125×8）×（25×4）运用了乘法分配律。( )
17．4×7×25×9=100×28。( )
培优提升练
四、计算题
18．用简便方法计算下面各题。
386＋254＋46 25×（37×4）
35×98 56×37＋37×44
五、解答题
19．一本画册有25页，每页都有29幅彩图。4本这样的画册有多少幅彩图？
20．明光小学新建一幢5层的教学楼，每层4个教室，每个教室放24张课桌，一共需要多少张课桌？
21．参加市小学生田径运动会开幕式表演的每个方阵排4队，每队12人，共有15个方阵。参加开幕式表演的一共有多少学生？
22．下面哪些算式运用了乘法分配律？
117×3＋117×7＝117×（3＋7）
24×（5＋12）＝24×17
4×a＋a×5＝（4＋5）×a
36×（4×6）＝36×6×4
1．C
分析：两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律。两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。
详解：125×17×8＝17×（125×8）运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：C
分析：熟记乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义是解题关键。
2．A
分析：依题意，结合所学知识分析如下：
由于〇×▽＝80，可以采用以下方法试算：
赋值法：可以对〇与▽赋上相应的值，再代入（〇×2）×（▽÷4）中得出答案。
整体代入法：可以将〇×▽看作一个整体，把（〇×2）×（▽÷4）去括号后利用乘法交换律变换成（〇×▽）×2÷4，代入运算即可。
详解：依题意，解答如下：
赋值法：把〇看作1，▽看作80，则（〇×2）×（▽÷4）＝（1×2）×（80÷4）＝2×20＝40
整体代入法：
〇×▽＝80
（〇×2）×（▽÷4）
＝（〇×▽）×（2÷4）
＝80×0.5
＝40
则（〇×2）×（▽÷4）＝40。
故答案选：A
分析：本题考查学生对乘法运算律的理解和掌握，学生能用赋值法和乘法交换律进行转换是关键。
3．A
分析：乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c；乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c）；乘法交换律：a×b＝b×a；据此即可解答。
详解：A．25×14＝25×10＋25×4≠25×10＋4
B．25×14＝14×25
C．25×14＝25×（2×7）＝25×2×7
D．25×14＝25×（8＋6）
故答案为：A
分析：熟练掌握整数的运算律知识是解答本题的关键。
4．D
分析：两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律，用字母表示为：a×b＝b×a。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个乘数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个乘数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
详解：850×20
＝（85×10）×（2×10）
＝（85×2）×（10×10）
＝170×100
＝17000
如图中的竖式（未算完），应用的规律是积的变化规律。

故答案为：D
分析：熟记乘法运算律和积的变化规律是将解题关键。
5．B
分析：A．图中只是交换了两个加数的位置，和不变，此处体现的是加法交换律；
B．蓝色部分的面积是a×c，灰色部分的面积是b×c，也可以将图看作长为a＋b，宽为c的长方形，则面积为（a＋b）×c，即（a＋b）×c ＝a×c＋b×c，可以表示乘法分配律；
C．求☆的总个数，可以用a×b，也可以用b×a，可以表示为乘法交换律。
详解：A．可以表示加法交换律；
B．可以表示乘法分配律；
C．可以表示乘法交换律；
故答案为：B
分析：熟记乘法、加法的运算律是解答的关键。
6．C
分析：两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律。两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。
详解：25×（40＋4）＝25×40＋25×4运用了乘法分配律，
故答案为：C
分析：熟记乘法运算律的定义是解题关键。
7． ＜ ＝ ＝ ＞
分析：
（1）根据乘法分配律把右侧算式括号去掉即可比较；
（2）根据乘法分配律把左侧算式括号去掉即可比较；
（3）根据乘法交换律交换乘数的位置即可比较；
（4）把101写成（100＋1）形式，再根据乘法分配律把括号去掉，即可进行比较。
详解：
25×（8＋80）＝25×8＋25×80，25×8＋80＜25×8＋25×80，即25×8＋80＜25×（8＋80）
33×（200－2）＝33×200－33×2，即33×（200－2）＝33×200－33×2
75×25×4＝25×75×4，即75×25×4＝25×75×4
101×78＝（100＋1）×78＝100×78＋1×78＝100×78＋78，100×78＋78＞100×78－100，即101×78＞100×78－100
8． 76 39 15 48 125 8 22 78
分析：（1）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。用字母表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；
（2）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用公式表示为：a×b＝b×a；
（3）乘法交换律和结合律：125×5×8×2，先交换8与5的位置， 125×8×5×2，再根据乘法结合律，把前两个因数以及后两个因数分别结合，（125×8）×（5×2）；
（4）乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。用字母表示为a×（b＋c）＝a×b＋a×c。
详解：（1）（39＋76）＋24＝39＋（76＋24）
（2）48×15＝15×48
（3）125×5×8×2
＝125×8×5×2
＝（125×8）×（5×2）
（4）343×22＋343×78＝343×（22＋78）
（39＋76）＋24＝39＋（76＋24） 48×15＝15×48
125×5×8×2＝（125×8）×（5×2） 343×22＋343×78＝343×（22＋78）
9． 乘法分配 乘法交换
分析：3.56×3＋7×3.56可以用乘法分配律进行简算，乘法分配律：两个数相加（或相减）再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数或减数相乘，再把两个积加数或相减，得数不变。0.25×9.8×8可以用乘法交换律进行简算。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，多数相乘，任意两个数交换位置，其积不变。依此解答即可。
详解：3.56×3＋7×3.56
＝3.56×（3＋7）
＝3.56×10
＝35.6
运用了乘法分配律。
0.25×9.8×8
＝0.25×8×9.8
＝2×9.8
＝19.6
运用了乘法交换律。
3.56×3＋7×3.56可以用乘法分配律来进行简算，0.25×9.8×8可以用乘法交换律进行简算。
10．4500
分析：每箱香蕉的千克数乘每车的箱数等于每车香蕉的千克数，再乘运进的车数即可解答。
详解：25×45×4
＝25×4×45
＝100×45
＝4500（千克）
水果店共运进香蕉4500千克。
分析：本题主要考查了乘法交换律的应用，要熟练掌握。
11．36×275＝4×275×9＝9900
分析：两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律。据此把36变成4×9，再运用乘法交换律和乘法结合律计算。
详解：36×275
＝（4×9）×275
＝4×275×9
＝1100×9
＝9900
（答案不唯一）
分析：熟练掌握乘法运算律是解题关键。
12． 10 250
分析：已知a×b＝10，可以运用乘法交换律和乘法结合律，将算式变化出a×b，再将10代入到算式中，就能算出结果。
详解：已知a×b＝10：
（a÷5）×（b×5）
＝a÷5×b×5
＝a×b
＝10
（a×5）×（b×5）
＝a×5×b×5
＝（a×b）×5×5
＝10×25
＝250
分析：也可以根据积的变化规律：一个乘数扩大几倍，另一个乘数也扩大几倍，那么积扩大的倍数是两个乘数扩大倍数的乘积；一个乘数扩大几倍，另一个乘数缩小为原来的几分之一，那么积不变，据此可以快速得出答案。
13．×
分析：乘法交换律：交换两个乘数的位置，积不变；
乘法结合律：先乘前两个数或先乘后两个数，积不变；
由此进行判断。
详解：先乘前两个数或先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律，不是乘法交换律；原题说法错误。
故答案为：
分析：解决本题关键是熟练掌握乘法交换律和乘法结合律。
14．×
分析：根据乘法交换律的运算方法进行判断即可。
详解：本题是将进行了结合即运用了乘法的结合律，并没用乘法的交换律。
故答案为：×
分析：本题主要考查了乘法交换律和乘法结合律的区分，熟练掌握相关运算方法是解决本题的关键。
15．√
分析：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；用公式表示为：a×b＝b×a。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变；用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。据此判断即可。
详解：25×7×4
＝7×25×4
＝7×（25×4）
＝7×100
＝700
运用了乘法交换律和结合律。
故答案为：√
分析：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的运用和掌握情况。
16．×
解析：125×4×25×8＝（125×8）×（25×4），首先交换了8和4的位置，应用了乘法交换律，然后125和8凑整，25和4凑整，应用的是乘法结合律。
详解：125×4×25×8＝（125×8）×（25×4）运用的是乘法交换律和乘法结合律；
题干阐述错误，故答案为：×。
分析：本题考查的是乘法的运算律，25和4，125和8可以看成是固定搭配，可以利用这一点进行凑整计算。
17．×
分析：根据乘法交换律和乘法结合律对算式进行简算即可。
详解：4×7×25×9
＝（25×4）×（7×9）
＝100×63
故答案为：×
分析：本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
18．686；3700；
3430；3700
分析：（1）根据加法结合律，三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，进行简算；
（2）根据乘法结合律和乘法交换律进行简算；
（3）把98看成（100－2），然后根据乘法分配律进行简算；
（4）根据乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此简算即可。
详解：386＋254＋46
＝386＋（254＋46）
＝386＋300
＝686
25×（37×4）
＝25×37×4
＝25×4×37
＝100×37
＝3700
35×98
＝35×（100－2）
＝35×100－35×2
＝3500－70
＝3430
56×37＋37×44
＝（56＋44）×37
＝100×37
＝3700
19．2900幅
分析：一本画册有25页，4本这样的画册共有4个25页，即（25×4＝100）页；每页都有29幅彩图，共有100个29幅，即（29×100）幅。
详解：25×29×4
＝25×4×29
＝100×29
＝2900（幅）
答：4本这样的画册有2900幅彩图。
分析：本题考查两边连乘解决问题。先列出算式，再根据乘法交换律进行简算。
20．480张
分析：先求出一共有多少间教室，再用教室数×每个教室课桌数＝共需多少张课桌。
详解：5×4×24
＝20×24
＝480（张）
答：一共需要480张课桌。
分析：本题也可以先求出每层教室有多少张课桌，再乘教学楼的层数求出所需课桌总数。
21．720人
分析：此题可以先计算每个方阵的人数，然后乘15，就是15个方阵的人数，即参加开幕式表演的一共有多少学生。
详解：4×12×15
＝4×15×12
＝60×12
＝720（人）
答：参加开幕式表演的一共有720人。
分析：解答本题的关键是求出每个方阵的学生。
22．117×3＋117×7＝117×（3＋7）
4×a＋a×5＝（4＋5）×a
分析：乘法运算定律包括：乘法交换律：a×b＝b×a；乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；
四则混合运算法则：在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法；在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。
根据乘法运算定律和四则混合运算法则对每个算式进行分析即可。
详解：117×3＋117×7＝117×（3＋7），运用了乘法分配律；
24×（5＋12）＝24×17，运用了四则混合运算法则；
4×a＋a×5＝（4＋5）×a，运用了乘法分配律；
36×（4×6）＝36×6×4，运用了乘法交换律；
综上所述，运用了乘法分配律的算式有：117×3＋117×7＝117×（3＋7）、4×a＋a×5＝（4＋5）×a。

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