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6.4 乘法分配律
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。
如果用字母a、b、c分别表示三个乘数，上面的规律可以写成：
(a+b)×c =a×c+b×c
例1：乐乐在计算50×（□＋8），把算式算成了50×□＋8，请你帮他算一算，这样他的计算结果与正确结果相差了（ ）。
A．492 B．392 C．8 D．400
答案：B
分析：乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此将50×（□＋5）的括号去掉后再进行比较即可。
详解：50×（□＋8）＝50×□＋50×8
50×8－8
＝400－8
＝392
所以他的计算结果与正确结果相差了392。
故答案为：B
例2：小明在抄题计算12×（□＋4）时，漏写了括号，结果与原来相比少了( )。
答案：44
分析：先运用乘法分配律将12×（□＋4）展开，再与12×□＋4求差，即可计算出漏写括号后，结果与原来相比少了多少。据此解答。
详解：12×（□＋4）＝12×□＋12×4
12×□＋12×4－（12×□＋4）
＝12×□＋48－12×□－4
＝48－4
＝44
小明在抄题计算12×（□＋4）时，漏写了括号，结果与原来相比少了44。
例3：199×9＋199＝9×（199＋1）。( )
答案：×
分析：左边算式根据乘法分配律，可以先求出9与1的和，再乘199；右边算式按照运算顺序先算小括号里，再算括号外，计算出两个式子的得数，再比较。
详解：199×9＋199
＝199×（9＋1）
＝199×10
＝1990
9×（199＋1）
＝9×200
＝1800
1990＞1800
所以原题说法错误；
故答案为：×
分析：此题重点考查学生对运算顺序、以及运算律的掌握情况。
例4：用运算律知识比较下面两个算式的积的大小，并写出你是如何比较的。
A＝2021×2022 B＝2020×2023
答案：A＞B；过程见详解
分析：观察两道算式，因为第一道算式的第一个因数与第二道算式的第二个因数相差1，第一道算式的第二个因数与第二道算式的第二个因数相差1，所以在第一道算式中可以把2021看成（2020十1），再运用乘法分配律。第二道算式中可以把2023看成（2022＋1），再运用乘法分配律，最后再比大小。
详解：
A＝2021×2022＝（2020＋1）×2022＝2020×2022＋2022
B＝2020×2023＝2020×（2022＋1）＝2020×2022＋2020
两式中都有2020×2022，因为2022＞2020，所以A＞B。
基础过关练
一、选择题
1．防疫期间为保障复工复产，李叔叔要买25箱防护口罩，每箱304元，一共需要多少钱？小明列的算式是304×25。他想用乘法分配律计算，下列算法中正确的是（ ）。
A．300×20＋4×5 B．304×20＋5 C．304×20×5 D．300×25＋4×25
2．计算125×99的最简便的算法是（ ）。
A．100×99＋25×99 B．125×100－125
C．125×90＋125×9 D．125×9×11
3．计算250×24，错误的算式是（ ）。
A．250×3×8 B．250×4×6 C．250×20×4
4．下面算式（ ）与31×20－31×2的结果相等。
A．31×20－2 B．31×2－20 C．31×（20－2）
5．林林从乘法分配律类推出a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c （其中 b≠0，c≠0 ），大家讨论热烈。小花：“我赞同，这个规律和乘法分配律差不多，是对的。”小乐：“ 12÷（2＋4）＝2，12÷2＋12÷4＝9 ，得数不相等，林林的式子不成立！”小刚：“林林的式子不对，我画图研究，应该是（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（其中 c≠0 ）。”

对此，我认为（ ）。
A．小花说得有道理
B．小乐举的例子太少，不能说明问题
C．乘法和除法关联不大，小刚的规律不对
D．我欣赏小刚的观点，画图和举例都是学习数学的好方法
6．某小区有24幢楼，平均每幢楼住125户。该小区一共住了多少户？以下四位同学的解题方法，其中（ ）用的运算律与其它三个选项不同。
A．125×24
＝125×8×3
＝1000×3
＝3000
B．125×24
＝125×（4＋20）
＝125×4＋125×20
＝500＋2500
＝3000
C．125×24
＝125×（8＋8＋8）
＝125×8＋125×8＋125×8
＝1000＋1000＋100
＝3000
D．
二、填空题
7．看图填空。
方法一：（65＋75）×5先算的是( )。
方法二：65×5＋75×5先算的是( )。
8．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
51×（70＋3）( )51×70＋51×3 209×9＋209( )209×（9＋1）
25×（80＋8）( )25×80＋8 125×（8＋4）( )125×8×4
9．下面图形①②的运动变化过程，可以解释的运算律是( )律。
10．47×101＝47×100＋47运用了( )律。
11．小马虎计算（48＋a）×5时，把小括号看丢了，结果与正确得数相比，减少了( )。
12．小强在计算41×（A＋5）时，把算式错看成了41×A＋5，这样两个算式的结果相差( )。
13．如果73×＋57×＝73×（＋57）＝73×100，那么＝( )，＝( )。
三、判断题
14．32×102＝32×100＋2。( )
15．67×99＝67×100－1。( )
16．小光把（2＋□）×8错写成2＋□×8，他得到的结果与正确答案相差16。( )
17．（a＋b）×c＝a×c＋b×c是乘法结合律。( )
18．125×64＝125×8×8，这是运用了乘法分配律。( )
培优提升练
四、计算题
19．计算下面各题，怎样简便怎样计算。
55＋36＋64 75×55－75×45
417－（89＋117） 125×25×32
五、解答题
20．布置主题班会场景需要用到180只纸鹤，东东和月月主动承担任务。已知东东每小时能折27只，月月每小时能折35只。按照这样的速度，给两人3个小时的时间，他们能完成任务吗？
21．“六一”儿童节，学校为舞蹈队的36名同学购买演出服和舞蹈鞋，一共需要多少元？演出服比舞蹈鞋多花多少元？
22．每个排球27元，每个足球56元。王师傅买了5个排球和5个足球，买排球的钱比买足球的钱少多少元？
23．有两个工程队开挖一段隧道，两队同时从两端施工，甲队每天挖340米，乙队每天挖280米，6天后开通这段隧道。这段隧道长多少米？
24．每年大约需要浇水13次。把漫灌改为喷灌，一年一共可以节约用水多少升？

25．王大爷在一块花地里分别种上了牡丹花和月季花（如下图），这块地的面积是多少平方米？
26．师徒两人共同加工一批零件。
1．D
分析：乘法分配律：。计算304×25时，可将304拆为300＋4，再运用乘法分配律简算。即304×25＝（300＋4）×25＝300×25＋4×25。
详解：A．304×25＝（300＋4）×（20＋5）＝300×（20＋5）＋4×（20＋5）＝300×20＋300×5＋4×20＋4×5≠300×20＋4×5，即A选项错误。
B．304×25＝304×（20＋5）≠304×20＋5，即B选项错误。
C．304×25＝304×（20＋5）≠304×20×5，即C选项错误。
D．304×25＝（300＋4）×25＝300×25＋4×25，即D选项正确。
故答案为：D
2．B
分析：计算125×99，把99看作100－1，再运用乘法分配律简算即可。
详解：125×99
＝125×（100－1）
＝125×100－125（运用乘法分配律）
＝12500－125
＝12375
故答案为：B
分析：灵活运用乘法分配律是解决本题关键。
3．C
分析：根据乘法结合律，将24看成3×8或者4×6，则250×24＝250×3×8＝250×4×6。根据乘法分配律，将24看成20＋4，用250分别乘20和4，再将两个积相加，即250×24＝250×20＋250×4。
详解：A．250×24＝250×（3×8）＝250×3×8
B．250×24＝250×（4×6）＝250×4×6
C．250×24＝250×20＋250×4，则250×24≠250×20×4
故答案为：C
分析：本题考查学生对乘法结合律和乘法分配律的认识和掌握。
4．C
分析：根据乘法分配律：（a－b）×c＝a×c－b×c进行分析即可。
详解：31×20－31×2
＝31×（20－2）
即31×（20－2）和31×20－31×2计算结果相同。
故答案为：C
分析：熟练运用乘法分配律是解决本题关键。
5．D
分析：12÷（2＋4）＝2，12÷2＋12÷4＝9，12÷（2＋4）≠12÷2＋12÷4，说明“a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c（其中 b≠0，c≠0 ）”这个规律不正确，小花的说法没有道理，小乐举的例子能说明问题；12÷3＋6÷3＝4＋2＝6，（12＋6）÷3＝18÷3＝6，所以12÷3＋6÷3＝（12＋6）÷3，说明“（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（其中 c≠0 ）”这个规律正确，并且小刚还画图进行了说明，这个方法很好。
详解：A．根据分析可知，小花说得没有道理，原说法错误。
B．只要有一个例子不符合，就可以说明这个规律不正确，所以小乐举的例子能说明问题，原说法错误。
C．根据分析可知，小刚的规律正确，原说法错误。
D．小刚的规律正确，画图和举例都是学习数学的好方法，原说法正确。
故答案为：D
分析：本题主要考查学生对乘法分配律的掌握和灵活运用。
6．A
分析：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。
详解：A．125×24
＝125×8×3
＝1000×3
＝3000
运用了乘法结合律；
B．125×24
＝125×（4＋20）
＝125×4＋125×20
＝500＋2500
＝3000
运用了乘法分配律；
C．125×24
＝125×（8＋8＋8）
＝125×8＋125×8＋125×8
＝1000＋1000＋100
＝3000
运用了乘法分配律；
D．
竖式表示：125×24
＝125×4＋125×20
＝500＋2500
＝3000
运用的是乘法分配律。
125×24
＝125×8×3
＝1000×3
＝3000
运用的运算律与其他三个选项不同。
故答案为：A
分析：熟记乘法分配律和乘法结合律的定义并灵活运用是解题关键。
7． 四年级一共有多少人 男生和女生各需要领多少本练习本
分析：根据题意，65为四年级的男生人数，75为四年级的女生人数，65＋75算的是四年级一共有多少人；5为每个人领的练习本数量，65×5算的是男生领的练习本数量，75×5算的是女生领的练习本数量，据此解答即可。
详解：方法一：（65＋75）×5先算的是四年级一共有多少人。
方法二：65×5＋75×5先算的是男生和女生各需要领多少本练习本。
8． ＝ ＝ ＞ ＜
分析：（1）根据乘法分配律，两个数的和与一个数相乘的积，等于先把它们分别与这个数相乘，再相加的和；
（2）209×9＋209根据乘法分配律简算，把9看成（9＋1），即209×（9＋1），所以两个算式相等；
（3）左边的算式按照乘法分配律简算，右边的算式按照四则混合运算计算，然后把它们的积进行比较即可；
（4）左边的算式按照乘法分配律简算，右边的算式按照乘法交换律简算；然后把它们的积进行比较即可求解。
详解：（1）51×（70＋3）＝51×70＋51×3
（2）209×9＋209＝209×（9＋1）
（3）25×（80＋8）
＝25×80＋25×8
＝2000＋200
＝2200
25×80＋8
＝2000＋8
＝2008
25×（80＋8）＞25×80＋8
（4）125×（8＋4）
＝125×8＋125×4
＝1000＋500
＝1500
125×8×4
＝125×4×8
＝500×8
＝4000
125×（8＋4）＜125×8×4
51×（70＋3）＝51×70＋51×3 209×9＋209＝209×（9＋1）
25×（80＋8）＞25×80＋8 125×（8＋4）＜125×8×4
9．乘法分配
分析：乘法分配律的逆运用：a×c＋b×c＝（a＋b）×c；观察发现图形①中每行3个小正方形，共6行，图形②中每行4个小正方形，共3行，这两个图形经过运动变化后形成了一个新的图形，新图形中每行6＋4＝10（个）小正方形，共3行；运动变化前后，图中小正方形的总个数是不变的，即6×3＋4×3＝（6＋4）×3，可知该过程可以解释乘法分配律；据此解答。
详解：根据分析：图形①②的运动变化过程，可以解释的运算律是乘法分配律。
10．乘法分配
分析：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。计算47×101时，把101分成（100＋1），再根据乘法分配律进行计算。
详解：47×101
＝47×（100＋1）
＝47×100＋47×1
＝4700＋47
＝4747
47×101＝47×100＋47运用了乘法分配律。
11．192
分析：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c；
小马虎计算（48＋a）×5时，把小括号看丢后变为48＋a×5，因此根据乘法分配律把（48＋a）×5化成48×5＋a×5，再与48＋a×5相减即可。
详解：（48＋a）×5－（48＋a×5）
＝48×5＋a×5－48－a×5
＝240＋a×5－48－a×5
＝240－48
＝192
小马虎计算（48＋a）×5时，把小括号看丢了，结果与正确得数相比，减少了192。
12．200
分析：根据乘法分配律，41×（A＋5）可变形为41×A＋41×5，小强把算式错看成了41×A＋5，两算式比较可知，两个算式相差了41×5－5，计算出结果即可。
详解：根据分析可知：
41×5－5
＝205－5
＝200
所以，两个算式的结果相差200。
13． 43 73
分析：由73×＋57×＝73×（＋57）可知，等式符合乘法分配律，说明加号两边都有一个共同的乘数73，那么＝73；由73×（＋57）＝73×100可知，＋57＝100，据此计算即可解答。
详解：73×＋57×＝73×（＋57）＝73×100
＝73，＋57＝100，所以＝100－57＝43
如果73×＋57×＝73×（＋57）＝73×100，那么＝43，＝73。
14．×
分析：根据乘法分配律，将102看成100＋2，用32分别乘100和2，再将两个积相加。
详解：32×102
＝32×（100＋2）
＝3200＋64
＝3264
而32×100＋2
＝3200＋2
＝3202
原题计算错误。
故答案为：×
分析：本题考查学生对乘法分配律的理解和掌握。
15．×
分析：99＝100－1，67×99＝67×（100－1），再根据乘法分配律，把67×（100－1）写成67×100－67，67×100－67≠67×100－1，据此解答。
详解：67×99
＝67×（100－1）
＝67×100－67
67×100－67≠67×100－1，则67×99≠67×100－1。
故答案为：×
分析：熟练掌握乘法分配律是解答此题的关键。
16．×
分析：把（2＋□）×8运用乘法分配律化简，然后减去2＋□×8就可以求出他得到的结果与正确的结果相差多少。
详解：（2＋□）×8
＝2×8＋□×8
＝16＋□×8
（16＋□×8）－（2＋□×8）
＝16＋□×8－2－□×8
＝□×8－□×8＋16－2
＝16－2
＝14
他得到的结果与正确的结果相差14。
故答案为：×
分析：此题要运用乘法分配律和减法的性质，灵活运用所学知识解答问题，提高我们解决问题的能力。
17．×
分析：乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此判断即可。
详解：（a＋b）×c＝a×c＋b×c是乘法分配律。a×b×c＝a×（b×c）是乘法结合律。
故答案为：×。
分析：本题考查学生对乘法运算定律的掌握情况。
18．×
分析：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示就是（a＋b）×c＝a×c＋b×c ，然后和题目对比一下就可以。
详解：根据分析：
125×64＝125×8×8运用的不是乘法分配律，所以是错误的。
故答案为：×。
分析：此题考查学生对乘法分配律的理解和运用。
19．155；750
211；100000
分析：根据加法的结合律，36和64结合，先算36与64的和，再与55相加即可；
根据乘法分配律进行简算即可；
根据加法交换律，先交换89和117的位置，再根据减法的性质将括号去掉，然后从左往右依次计算即可；
把32看作4×8，再根据乘法交换律和乘法结合律进行简算即可。
详解：（1）55＋36＋64
＝55＋（36＋64）
＝55＋100
＝155
（2）75×55－75×45
＝75×（55－45）
＝75×10
＝750
（3）417－（89＋117）
＝417－（117＋89）
＝417－117－89
＝300－89
＝211
（4）125×25×32
＝125×25×4×8
＝（125×8）×（25×4）
＝1000×100
＝100000
20．能完成
分析：
把东东和月月每小时折的纸鹤只数相加，求出东东和月月两人每小时折纸鹤的只数，再乘3，求出两人3个小时一共折多少纸鹤，再与布置主题班会场景需要用到的纸鹤总只数进行比较即可。
详解：
（27＋35）×3
＝27×3＋35×3
＝81＋105
＝186（只）
186＞180，能完成。
答：他们能完成任务。
21．3240元； 1440元
分析：
先用加法求出一件演出服和一双舞蹈鞋的价格和，再乘舞蹈队人数即可求出一共需要多少元。
先用减法求出一件演出服和一双舞蹈鞋的价格差，再乘舞蹈队人数即可求出演出服比舞蹈鞋多花多少元。
详解：
（65＋25）×36
＝90×36
＝3240（元）
（65－25）×36
＝40×36
＝1440（元）
答：一共需要3240元；演出服比舞蹈鞋多花1440元。
22．145元
分析：单价×数量＝总价，分别计算出两种球的总价，再相减即可；计算时可以运用乘法分配律：a×c－b×c＝（a－b）×c，据此解答。
详解：56×5－27×5
＝（56－27）×5
＝29×5
＝145（元）
答：买排球的钱比买足球的钱少145元。
23．3720米
分析：6个340米加6个280米，就是这段隧道的总长度，因此，甲队每天挖的长度×6＋乙队每天挖的长度×6＝这段隧道的总长度，依此列式并计算即可。注意计算过程中应用乘法分配律进行简便计算。
详解：340×6＋280×6
＝（340＋280）×6
＝620×6
＝3720（米）
答：这段隧道长3720米。
24．6240升
分析：先求出一次可以节约多少升水，用840减360，因为一年要浇水13次，再用这个差乘13即可解答。
详解：（840－360）×13
＝480×13
＝6240（升）
答：一年一共可以节约用水6240升。
分析：此题先算一次节约多少升水，再算一年节约多少升水，这样简便些。
25．2800平方米
分析：25米加55米等于这块地的长，这块地的宽为35米，长乘宽等于这块地的面积，据此即可解答。
详解：（25＋55）×35
＝80×35
＝2800（平方米）
答：这块地的面积是2800平方米。
分析：本题主要考查学生对长方形的面积及乘法分配律知识的掌握和灵活运用。
26．80个
分析：师傅每小时加工零件个数乘加工时间，可算出师傅一共加工了（72×8）个零件，徒弟每小时加工零件个数乘加工时间，可算出徒弟一共加工了（62×8）个零件，师傅加工零件个数减去徒弟加工零件个数即可算出师傅比徒弟多加工（72×8－62×8）个零件。
详解：72×8－62×8
＝（72－62）×8
＝10×8
＝80（个）
答：师傅比徒弟多加工80个零件。
分析：此题考查的是在具体的情境中理解乘法分配律。

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