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6.7 整理与练习
加法交换律
两个加数交换位置，和不变。
用字母表示： a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律
两个数相乘，交换两个数的位置，积不变。
用字母表示：a×b=b×a
乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
用字母表示：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。
用字母表示：(a+b)×c =a×c+b×c
解决问题
在解决行程问题时，可以用画图或列表的方法整理题目的条件和问题，根据整理的结果，分析数量关系，再列式计算。
例1：小东把30×（□＋4）算成了30×□＋4，这样得到的结果与正确结果相比，（ ）。
A．少算了30 B．少算了30×4 C．少算了29×4
答案：C
分析：
先把30×（□＋4）根据乘法分配律把括号去掉，再减去30×□＋4即可。
详解：30×（□＋4）＝30×□＋30×4
30×□＋30×4－（30×□＋4）
＝30×□＋30×4－30×□－4
＝30×4－4
＝（30－1）×4
＝29×4
即小东把30×（□＋4）算成了30×□＋4，这样得到的结果与正确结果相比，少算了29×4。
故答案为：C
例2：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
49亿( )499000000 240×30( )300×24
45×99( )45×100－1 374－101( )374－100＋1
答案： ＞ ＝ ＜ ＜
分析：第一空：先把49亿改写成4900000000，然后再根据大数的比较方法，即可比较大小；
第二空：两个数相乘，其中一个因数乘10，另一个因数除以10，积不变；
第三空：根据乘法分配律，即可进行解答；
第四空：根据减法的性质，即可简算解答。
详解：49亿＝4900000000，4900000000是一个十位数，499000000是一个九位数，十位数大于九位数，所以49亿＞499000000；
观察240×30与300×24，发现300是由30×10得到的，24是由240÷10得到的，根据积的变化规律可知，积不变，所以240×30＝300×24；
45×100－1＝45×（99＋1）－1＝45×99＋45－1＝45×99＋44，45×99＜45×100－1；
374－101＝374－（100＋1）＝374－100－1，374－100－1＜374－100＋1，所以374－101＜374－100＋1。
例3：720÷36＝720÷6×6。( )
答案：×
分析：根据除法的性质，a÷（b×c）＝a÷b÷c，据此判断。
详解：720÷36＝720÷6÷6
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×
分析：此题考查的目的是理解掌握除法的性质及应用。
例4：用简便方法计算。
263＋62＋38 53＋（47＋582） 46＋82＋18＋54
答案：363；682；200
分析：263＋62＋38运用加法结合律简便计算；
53＋（47＋582）运用加法结合律简便计算；
46＋82＋18＋54运用加法交换律和加法结合律简便计算。
详解：263＋62＋38
＝263＋（62＋38）
＝263＋100
＝363
53＋（47＋582）
＝53＋47＋582
＝100＋582
＝682
46＋82＋18＋54
＝（46＋54）＋（82＋18）
＝100＋100
＝200
基础过关练
一、选择题
1．如图，125×13的竖式计算过程中使用了（ ）。

A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
2．与74×20＋74结果相等的算式是（ ）。
A．20×（74＋1） B．74×（20＋1） C．74×20＋72×2
3．计算器上的数字键“4”坏了，如果用计算器计算6300÷24，下面方法正确的是（ ）。
A． B． C． D．
4．（13×125）×8＝13×（125×8），这是运用了（ ）。
A．加法结合律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．加法交换律
5．赵小亮把（4＋ ）×15错看成4＋ ×15，他计算的结果与正确的结果相差（ ）。
A．15 B．14 C．56
6．如果A－B＝50，那么A－（B－10）（ ）。
A．20 B．30 C．50 D．60
二、填空题
7．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。
726÷30( )726÷20 566÷36( )516÷36
513÷27( )513÷9÷3 350÷14( )700÷28
180÷3×2( )180÷（3×2） 96÷6＋10( )96÷（6＋10）
8．450÷30÷3＝450÷（）。
9．240÷12÷5，既可以按照( )的顺序计算，结果是( )；也可以加括号，将原式变为( )，先算( )法，再算( )法，结果相同，这样算更简便。
10．如果146×A＝292，146×5＝730，那么的积是( )。
11．小刚的计算器上数字键“3”坏了。你能用小刚的计算器算出“125×32”的得数吗？请将你的计算过程用综合算式表示出来：( )。
12．在用简便方法计算125×88时，欢欢是这样想的：125×88＝125×（80＋8）＝125×80＋125×8＝10000＋1000＝11000，这是运用了( )律；你还想到运用( )律，你的想法是( )。
三、判断题
13．540÷6÷15与540÷（6×15）的得数一样。( )
14．135×46＝135×40＋135×6。( )
15．125×（8×3）＝125×8＋125×3。( )
16．810÷90的商肯定和810÷18÷5的商一样大。( )
17． 365×21＝365×20＋365。( )
培优提升练
四、计算题
18．口算下面各题。
24×2＝ 5×31＝ 5×64＝ 25×3＝
18×4＝ 2×59＝ 7×41＝ 68×5＝
19．用简便方法计算下面各题。
175＋49＋251 37＋（158＋63） 240＋154＋246＋360
五、解答题
20．文体用品商店购进了3200个乒乓球，每25个装一袋，每4袋装一盒，已经准备了30个盒子，够不够用？
21．果果的哥哥给自己制定了一个跑步100千米的运动计划，前15天他平均每天跑3千米，剩下的路程他打算11天跑完，平均每天要跑多少千米？
22．小华和小明从同一地点同时出发，小华的速度是64米/分，小明的速度是72米/分。
（1）如果两人沿相反方向走，15分钟后相距多少米？
（2）如果两人沿相同方向走，15分钟后相距多少米？
23．王阿姨编写一份300页的稿件，前4天平均每天写45页，剩下的准备2天写完，平均每天要写多少页？
24．幸福家园小区共有8幢设计相同的居民楼，每层有3户，每幢楼都是25层，这个小区一共能入住多少户居民？
25．小松鼠花费三天的时间一共收集了800个松果，第一天它收集了237个，第二天它收集了163个，第三天它收集了多少个？（用两种方法解答）
方法一：
方法二：
26．客车、货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车的速度是86千米/时，货车的速度是80千米/时，3小时后两车还相距45千米。甲、乙两地相距多少千米？
1．C
分析：计算125×13时，先用13个位上的3乘125，再用13十位上的1乘125，再将两个积相加。相当于将13看成10＋3，分别用10和3乘125，再将两个积相加，应用了乘法分配律。据此解答。
详解：125×13
＝125×（10＋3）
＝125×10＋125×3
＝1250＋375
＝1625
竖式计算过程中使用了乘法分配律。
故答案为：C
分析：本题考查三位数乘两位数的计算方法以及乘法份分配律的应用，需熟练掌握。
2．B
分析：根据乘法分配律，计算74×20＋74时，将74看成74×1，先计算20＋1，再用74乘这个积。
详解：74×20＋74
＝74×20＋74×1
＝74×（20＋1）
＝74×21
＝1554
与74×20＋74结果相等的算式是74×（20＋1）。
故答案为：B
分析：本题考查学生对乘法分配律的掌握和应用。
3．B
分析：计算器上的数字键“4”坏了，把24分解成用不到数字4的算式，再用计算器计算。
详解：A．6300÷24＝6300÷（8×3）＝6300÷8÷3，6300÷8÷3≠6300÷8×3；
B．6300÷24＝6300÷（3×8）＝6300÷3÷8；
C．6300÷24＝6300÷（30－6），6300÷（30－6）≠6300÷30－6，6300÷24≠6300÷30－6；
D．计算器上的数字键“4”坏了，不能用6300÷（4×6）计算。
计算器上的数字键“4”坏了，如果用计算器计算6300÷24，方法正确的是6300÷3÷8。
故答案为：B
分析：注意分析式子中的数据，运用合适的简便方法计算，不能改变原式的结果。
4．C
分析：乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此解答。
详解：（13×125）×8
＝13×（125×8）
＝13×1000
＝13000
这是运用了乘法结合律。
故答案为：C
分析：本题考查学生对乘法结合律的认识和应用。
5．C
分析：（4＋ ）×15用乘法分配律进行化简，然后与4＋ ×15进行比较即可。
详解：（4＋ ）×15
＝4×15＋ ×15
＝60＋ ×15
60＋ ×15－（4＋ ×15）
＝60＋ ×15－4－ ×15
＝60－4
＝56
所以赵小亮计算的结果与正确的结果相差56。
故答案为：C
分析：本题主要考查了乘法分配律的运用，注意把两个式子变成相接近的形式，进而求解。
6．D
分析：被减数不变，减数加上几（0除外），差就减去相同的数（0除外）；被减数不变，减数减去几（0除外），差就加上相同的数（0除外）。
详解：A－（B－10）
＝A－B＋10
＝50＋10
＝60
故答案为：D
分析：此题的解题关键是灵活应用差的变化规律求解。
7． ＜ ＞ ＝ ＝ ＞ ＞
分析：被除数相等，除数越大商越小，据此比较726÷30和726÷20的大小。除数相等，被除数越大商越大，据此比较566÷36和516÷36的大小。一个数连续除以一个数，等于这个数除以这两个数的积，据此比较513÷27和513÷9÷3的大小。被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此比较350÷14和700÷28的大小。分别算出180÷3×2和180÷（3×2）的得数再比较大小。分别算出96÷6＋10和96÷（6＋10）的得数，再比较大小。
详解：30＞20，726÷30＜726÷20；
566＞516，566÷36＞516÷36；
513÷9÷3＝513÷（9×3）＝513÷27；
350÷14＝（350×2）÷（14×2）＝700÷28
180÷3×2＝60×2＝120，180÷（3×2）＝180÷6＝30，120＞30，180÷3×2＞180÷（3×2）；
96÷6＋10＝16＋10＝26，96÷（6＋10）＝96÷16＝6，26＞6，96÷6＋10＞96÷（6＋10）
726÷30（＜）726÷20 566÷36（＞）516÷36
513÷27（＝）513÷9÷3 350÷14（＝）700÷28
180÷3×2（＞）180÷（3×2） 96÷6＋10（＞）96÷（6＋10）
分析：此题主要考查了除数是两位数的除法计算、商不变的规律，除法的性质以及整数四则混合运算，属于基础题，应熟练掌握。
8．30；×；3；
分析：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后面两个数的积；依此解答即可。
详解：450÷30÷3＝450÷（30×3）。
分析：解答此题的关键是应熟练掌握整数除法的性质。
9． 从左到右 4 240÷（12×5） 乘 除
分析：根据整数连除的计算方法，计算“240÷12÷5”时，可以按照从左到右的顺序计算，也可以根据整数除法的性质进行简算。据此解答。
详解：240÷12÷5
＝20÷5
＝4
或240÷12÷5
＝240÷（12×5）
＝240÷60
＝4
即填空如下：
240÷12÷5，既可以按照从左到右的顺序计算，结果是4；也可以加括号，将原式变为240÷（12×5），先算乘法，再算除法，结果相同，这样算更简便。
分析：此题考查的目的是理解掌握整数连除的计算法则及应用，除法的性质及应用。
10．7592
分析：是一个三位数乘两位数，我们可以把两位数转化为几十加几的形式，那么，5A就可以转化成50＋A的形式，式子就可以转化为：146×（50＋A），再根据乘法分配律进行计算即可。
详解：由题意146×5＝730，那么146×50＝7300；
146×5A
＝146×（50＋A）
＝146×50＋146×A
＝7300＋292
＝7592
所以如果146×A＝292，146×5＝730，那么的积是7592。
分析：熟练掌握乘法分配律的应用是解题的关键。
11．125×32＝125×8×4＝4000
分析：数字键“3”坏了不能按出32，可以将32看成8×4，根据乘法结合律，先计算125×8，再用积乘4。
详解：125×32
＝125×（8×4）
＝125×8×4
＝1000×4
＝4000
请将你的计算过程用综合算式表示出来：125×32＝125×8×4＝4000。
分析：本题考查计算器的使用，当某个数字不能按出时，可以利用乘法结合律等运算定律进行解答。
12． 乘法分配 乘法结合 125×88＝125×（8×11）＝125×8×11＝1000×11＝11000
分析：两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。
详解：125×88
＝125×（8×11）
＝125×8×11
＝1000×11
＝11000
在用简便方法计算125×88时，欢欢是这样想的：125×88＝125×（80＋8）＝125×80＋125×8＝10000＋1000＝11000，这是运用了（乘法分配）律；你还想到运用（乘法结合）律，你的想法是125×88＝125×（8×11）＝125×8×11＝1000×11＝11000
分析：熟记乘法运算律并灵活运用是解题关键。
13．√
分析：除法的性质是指一个数连续除以两个数，可以除后两个数的积，也可以先除以第二个数，再除以第一个数，商不变。据此解答即可。
详解：根据除法的性质可知，540÷6÷15＝540÷（6×15）。
故答案为：√。
分析：本题考查除法的性质，常运用除法的性质进行简算。
14．√
分析：根据乘法分配律的意义：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，据此判断。
详解：135×46
＝135×（40＋6）
＝135×40＋135×6
＝5400＋810
＝6210
故答案为：√
分析：此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义及应用。
15．×
解析：括号前面是乘号，去掉括号后符号不变，乘两个数的积，相当于先乘第一个因数，再乘第二个因数。
详解：
题干阐述错误，答案为：×。
分析：本题考查的是乘法运算律，乘法与加法类似，括号前面是乘号时，去掉括号后符号不变。
16．√
详解：根据除法的性质，一个数连续除以两个数，可以除以后两个数的积，也可以先除以第一个数，再除以第二个数，商不变。所以810÷18÷5＝810÷（18×5）＝810÷90。所以此题正确。
17．√
分析：365×21＝365×（20＋1），然后根据乘法分配律化简式子，再进行判断。
详解：365×21
＝365×（20＋1）
＝365×20＋365×1
＝365×20＋365
故答案为：√
分析：本题考查学生对乘法运算定律的掌握与应用，有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，要根据实际情况选择合适的运算定律进行计算。
18．48；155；320；75
72；118；287；340
19．475；258；1000
分析：
根据加法结合律进行简便计算；根据加法交换律进行简便计算；加法交换律和结合律简便计算。
详解：
175＋49＋251
＝175＋（49＋251）
＝175＋300
＝475
37＋（158＋63）
＝37＋63＋158
＝100＋158
＝258
240＋154＋246＋360
＝240＋360＋154＋360
＝（240＋360）＋（154＋246）
＝600＋400
＝1000
20．不够
分析：
用25乘4求出一盒可以装乒乓球的个数，再乘30即可求出30盒可以装乒乓球的个数，再与3200进行比较即可解答。
详解：
25×4×30
＝100×30
＝3000（个）
3000＜3200
答：不够。
21．5千米
分析：根据题意，前15天每天跑步的路程乘3，得出已经跑了多少千米，再用100千米减去已经跑的路程，求出还剩下没跑的路程，用剩下没跑的路程除以11解答即可。
详解：（100－15×3）÷11
＝（100－45）÷11
＝55÷11
＝5（千米）
答：平均每天要跑5千米。
22．（1）2040米
（2）120米
分析：（1）两人反向而行，可按相遇问题计算，即相遇路程＝两个速度之和×相遇时间，代入数据计算即可。
（2）两人同向而行，可按追及问题计算，即相遇路程＝两个速度之差×相遇时间，代入数据计算即可。
详解：（1）15×（64＋72）
＝15×136
＝2040（米）
答：如果两人沿相反方向走，15分钟后相距2040米。
（2）15×（72－64）
＝15×8
＝120（米）
如果两人沿相同方向走，15分钟后相距120米。
23．60页
分析：
根据题意，先用乘法计算前4天写的页数，再用总页数减去前4天写的页数得到剩下的页数，再除以2天，即可解答。
详解：（300－4×45）÷2
＝（300－180）÷2
＝120÷2
＝60（页）
答：平均每天要写60页。
24．600户
分析：首先，我们知道每幢楼有25层，每层有3户，那么每幢楼的总户数就是层数乘以每层的户数。接下来，我们知道小区共有8幢这样的居民楼，所以整个小区的总户数就是每幢楼的户数乘以居民楼的总数。在计算过程中用乘法结合律可使计算简便。
详解：
3×25×8
＝3×（25×8）
＝3×200
＝600（户）
答：这个小区一共能入住600户居民。
25．方法一：800－237－163＝400（个）
方法二：800－（237＋163）＝400（个）
分析：方法一：先用收集松果的总个数减去第一天收集的个数，再用剩下的个数减去第二天收集的个数就是第三天收集的个数。
方法二：先算出第一天和第二天收集松果的个数，再用收集的总个数减去这两天收集的松果的个数，就是第三天收集的个数。
详解：方法一：800－237－163＝400（个）
方法二：800－（237＋163）
＝800－400
＝400（个）
答：第三天它收集了400个松果。
26．543千米
分析：因为客车与货车是相向而行，3小时后两车相距45千米，所以客车行驶的距离＋货车行驶的距离＋两车间的距离＝甲、乙两地间的距离，据此代入数据解题即可。
详解：86×3＋80×3＋45
＝（86＋80）×3＋45
＝166×3＋45
＝498＋45
＝543（千米）
答：甲、乙两地相距543千米。

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